[PDF] Séries connaissant la nature de la





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Séries numériques

Déterminer la nature des séries dont les termes généraux sont les suivants : Etudier la nature des séries de terme général et calculer leur somme :.



9.0 Fiche Méthode : Etude de la nature dune série

Nature d'une série. Méthodes. 1. Définition de la convergence. Soit (un)n?N une suite réelle. On dit que la série de terme général un converge.



LES SÉRIES NUMÉRIQUES ÉTUDIER LA NATURE DUNE SÉRIE

Cela nous donne un encadrement des sommes partielles et souvent on en déduit un équivalent. Exemple : Déterminer la nature de la série de Bertrand. X n!2. 1.



SERIES NUMERIQUES

(Le crochet s'écrit S - Rn où S est la somme et Rn le reste d'ordre n d'une série convergente.) Exercice 29. Déterminer la nature de la série de terme général 



Séries

que les deux séries sont de même nature. 4. Par comparaison ou recherche d'équivalent déterminer la nature de la série ?k?1 ln k.



Chapitre 12 Séries numériques

Déterminer la nature d'une série c'est déterminer si elle converge ou si elle diverge. Rédaction : Pour montrer que deux séries sont de même nature il faut 



Séries

connaissant la nature de la série de terme général un puis en calculer la somme en cas de convergence. Correction ?. [005698]. Exercice 12 ****. Soit (un)n 



Cours Thalès

Pour déterminer la nature de la série. ? f(n) on peut utiliser directement le théorème du cours permettant de se ramener à l'intégrabilité de f sur R+.



Sommaire 1. Convergence des Séries Numériques

(vk+1 ?vk) = vn+1 ?v0. Les suites (sn) et (vn+1) sont de même nature il en est de même de (vn). Cours de Spé T.S.I. © Christophe Caignaert – Lycée Colbert – 



L2 - Math4 Exercices corrigés sur les séries numériques

Exercice 3 Calculer la somme des séries. ? n?1. 1 qn (pour q ? R?) et. ? n?1. 1 n(n + 1) . Exercice 4 Étudier la nature des séries suivantes : ? n?1.



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Déterminer la nature des séries dont les termes généraux sont les suivants : Etudier la nature des séries de terme général et calculer leur somme :



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Montrer que un ? 0 et déterminer la nature de la série de terme général un Exercice 54 [ 01098 ] [Correction] Soit (un) la suite définie par u0 > 0 et pour 



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Nature d'une série Méthodes 1 Définition de la convergence Soit (un)n?N une suite réelle On dit que la série de terme général un converge



[PDF] Chapitre 12 Séries numériques

Déterminer la nature d'une série c'est déterminer si elle converge ou si elle diverge Rédaction : Pour montrer que deux séries sont de même nature il faut 

  • Comment déterminer la nature d'une série ?

    si la série de terme général vn converge, alors la série de terme général un converge également, si la série de terme général un diverge, alors la série de terme général vn diverge également, Si un?vn, alors les séries de terme général un et vn sont de même nature.

  • Comment étudier la nature d'une série numérique ?

    utiliser le critère des séries alternées; à l'aide de développements limités, décomposer le terme général un sous la forme un=vn+O(wn) u n = v n + O ( w n ) , où on sait étudier la nature des séries ?nvn ? n v n , et où on sait que la série ?nwn ? n w n est absolument convergente.

  • Comment calculer la somme d'une série numérique ?

    Pour calculer la somme d'une série ?nun ? n u n ,

    1écrire la suite (un) sous une forme "télescopique", un=vn?vn?1 u n = v n ? v n ? 1 , les termes en (vn) se simplifient alors (voir cet exercice).2utiliser la somme d'une série connue, et s'y ramener par des combinaisons linéaires, des changements d'indices…
  • Lorsqu'une telle série est convergente, on note ? n = n 0 + ? u n ou sa somme ? n = n 0 + ? u n (le choix de l'une ou l'autre notation étant d'ordre typographique et non mathématique) c'est-à-dire la limite de la suite ( ? k = n 0 n u k ) quand tend vers .
Séries Exo7

Séries

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile

I : Incontournable

Exercice 1Nature de la série de terme général

1) (*)lnn2+n+1n

2+n1

2) (*)1n+(1)npn

3) (**)n+32n+1

lnn4) (**)1ln(n)ln(chn)

5) (**)arccos3q11n

26) (*)n2(n1)!7)

cos1pn n1pe

8) (**)ln2p

arctann2+1n

9) (*)

Rp=2

0cos2xn

2+cos2xdx10) (**)np2sin(p4

+1n )11) (**)e1+1n n

Nature de la série de terme général

1) (***)

4pn

4+2n23pP(n)oùPest un polynôme.2) (**)1n

aS(n)oùS(n) =å+¥p=21p n.

3) (**)unoù8n2N,un=1n

eun1.

4) (****)un=1p

noùpnest len-ème nombre premier (indication : considérer

åNn=1ln

111p
n

åNn=1ln(1+pn+p2n+:::)).

5) (***)un=1n(c(n))aoùc(n)est le nombre de chiffres denen base 10.

6) (*)

(Õnk=2lnk)a(n!)ba>0 etb>0.7) (**)arctan1+1n a arctan11n a

8) (**)

1n aånk=1k3=2.9) (***)Õnk=11+kn a1.

Nature de la série de terme général

1) (***)sinpn2n+1

2) (**)(1)nn+(1)n13) (**)ln

1+(1)npn

4) (***)einan

,cos(na)n etsin(na)n

5) (**)(1)nlnnn

(1)nP(n)Q(n)oùPetQsont deux polynômes non nuls

7) (****)(sin(n!pe))ppentier naturel non nul.

Calculer les sommes des séries suivantes après avoir vérifié leur convergence.

1) (**)

å+¥n=0n+13

n2) (**)å+¥n=32n1n

34n3) (***)å+¥n=01(3n)!

4) (*)

å+¥n=21pn1+1pn+12pn

5) (**)

å+¥n=2ln

1+(1)nn

6) (***)

å+¥n=0lncosa2

na20;p2 textbf7)

å+¥n=0th

a2 n2 n 1 converge. Montrer queun=n!+¥o1n . Trouver un exemple de suite(un)n2Nde réels strictement positifs telle

que la série de terme généralunconverge mais telle que la suite de terme généralnunne tende pas vers 0.

2diverge.

u n)etRun0dx1+xesont de mêmes natures. terme généralpu nn

connaissant la nature de la série de terme généralunpuis en calculer la somme en cas de convergence.

Pourn2N, on poseSn=u0+:::+un. Etudier en fonction dea>0 la nature de la série de terme généralun(Sn)a.

2a,n>1.

+13 14 +:::=ln2.

A partir de la série précédente, on construit une nouvelle série en prenantptermes positifs,qtermes négatifs,p

termes positifs ... (Par exemple pourp=3 etq=2, on s"intéresse à 1+13 +15 12 14 +17 +19 +111
16 18 2

Convergence et somme de cette série.

Convergence et somme éventuelle de la série de terme général

1) (**)un=2n33n2+1(n+3)!2) (***)un=n!(a+1)(a+2):::(a+n),n>1,a2R+donné.

n!(a+1)(a+2):::(a+n)quandntend vers l"infini (aréel positif donné).

å+¥k=n+11k

2quandntend vers l"infini.

Partie principale quandntend vers+¥de

1) (***)

å+¥p=n+1(1)plnpp

2) (**)ånp=1pp.

n2N;n6=p1n 2p2 et

ån2N

p2N;p6=n1n 2p2 . Que peut-on en déduire ?

å+¥n=0(1)n3n+1.

. Montrer que si la série de terme général

(un)2converge alors la série de terme général(vn)2converge et queå+¥n=1(vn)264å+¥n=1(un)2(indication :

majorerv2n2unvn). 3

ånk=0(1)k2k+1,n>0.

Correction del"exer cice1 N1.Pour n>1, on poseun=lnn2+n+1n 2+n1 .8n>1,unexiste u n=ln1+1n +1n

2ln1+1n

1n

2=n!+¥

1n +O1n 21n
+O1n 2=O1n 2.

Comme la série de terme général

1n

2,n>1, converge (série de RIEMANNd"exposanta>1), la série de

terme généralunconverge. 2.

Pour n>2, on poseun=1n+(1)npn

.8n>2,unexiste et de plusunn!+¥1n . Comme la série de terme général 1n ,n>2, diverge et est positive, la série de terme généralundiverge. 3.

Pour n>1, on poseun=n+32n+1

lnn. Pourn>1,un>0 et ln(un) =ln(n)lnn+32n+1 =ln(n) ln12 +ln 1+3n ln 1+12n n!+¥ln(n) ln2+O1n n!+¥ln2ln(n)+o(1):

Doncun=eln(un)n!+¥eln2lnn=1n

ln2. Comme la série de terme général1n ln2,n>1, diverge (série de RIEMANNd"exposanta61) et est positive, la série de terme généralundiverge. 4. Pour n>2, on poseun=1ln(n)ln(chn).unexiste pourn>2. ln(chn)n!+¥lnen2 =nln2n!+¥net unn!+¥1nln(n)>0. Vérifions alors que la série de terme général

1nlnn,n>2, diverge. La fonctionx!xlnxest continue,

sur]1;+¥[). Par suite, la fonctionx!1xlnxest continue et décroissante sur]1;+¥[et pour tout entierk

supérieur ou égal à 2,

1klnk>Rk+1

k1xlnxdx

Par suite, pourn>2,

nk=2klnk>

ånk=2R

k+1 k1xlnxdx=Rn+1

Doncunest positif et équivalent au terme général d"une série divergente. La série de terme généralun

diverge. 5.

Pour n>1, on poseun=arccos3q11n

2.unexiste pourn>1. De plusun!n!+¥0. On en déduit que

u nn!+¥sin(un) =sin arccos 3r11n 2! =s1 11n 2 2=3 =n!+¥s11+23n2+o1n 2 n!+¥r2 3 1n >0

terme général d"une série de RIEMANNdivergente. La série de terme général un diverge.

6. Pour n>1, on poseun=n2(n1)!.unexiste etun6=0 pourn>1. De plus, 5 un+1u n =(n+1)2n

2(n1)!n!=(n+1)2n

3n!+¥1n

!n!+¥0<1. D"après la règle de d"ALEMBERT, la série de terme généralunconverge. 7.

Pour n>1, on poseun=

cos1pn n1pe .unest défini pourn>1 car pourn>1,1pn 20;p2 et donc cos 1pn >0. Ensuite ln cos1pn n!+¥ln

112n+124n2+o1n

2 n!+¥12n+124n218n2+o1n 2 n!+¥12n112n2+o1n 2

Puisnln

cos1pn =n!+¥12

112n+o1n

et donc u n=enln(cos(1=pn)1pe =n!+¥1pe e112n+o(1n )1 n!+¥112npe <0.

La série de terme général112npe

est divergente et donc la série de terme généralundiverge. 8. ln 2p arctann2+1n =ln 12p arctannn 2+1 n!+¥2p arctannn 2+1 n!+¥2p nn

2+1n!+¥2np<0:

Donc, la série de terme généralundiverge. 9.

Pour n>1, on poseun=Rp=2

0cos2xn

2+cos2xdx.

Pourn>1, la fonctionx7!cos2xn

2+cos2xdxest continue sur0;p2

et positive et donc,unexiste et est positif.

De plus, pourn>1,

06un6Rp=2

01n

2+0dx=p2n2.

La série de terme général

p2n2converge et donc la série de terme généralunconverge.

10.p2sin

p4 +1n =sin1n cos1n =n!+¥1+O1n puis p2sin p4 +1n lnn=n!+¥ln(n)+Olnnn =n!+¥ln(n)+o(1).

Par suite,

0 (p4 +1n )lnnn!+¥elnn=1n

La série de terme général

1n diverge et la série de terme généralundiverge.

11.nln1+1n

=n!+¥112n+o1n et donc u n=n!+¥ee112n+o(1n )=n!+¥e11+12n+o1n n!+¥e2n>0. 6

La série de terme général

e2ndiverge et la série de terme généralundiverge.Correction del"exer cice2 N1.Si Pn"estpasunitairededegré3,unnetendpasvers0etlasériedetermegénéralundivergegrossièrement.

SoitPun polynôme unitaire de degré 3. PosonsP=X3+aX2+bX+c. u n=n 1+2n 2 1=4 1+an +bn 2+cn 3 1=3! n!+¥nquotesdbs_dbs33.pdfusesText_39

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