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Université Paris 7 - Denis DiderotAnnée 200/2008

Licence 2MA 3

Compléments sur les séries

1 Le développement décimal d"un nombre réel

1.1 La fonction " partie entière »

Nous partons de la propriété suivante : pour tout réela?Ril existe un unique entier relatif entier relatif contenu dans]- ∞,a]. Définition-On appellepartie entière deal"entier relatif notéE(a)et défini par

1.2 Le développement décimal d"un nombre réel

Soita?R, considérons la suite de nombres rationnels u n=E(10n·a)

10n,pourn?N.

Par exemple, sia=π, on a :

u 0= 3 u

1= 3,1

u

2= 3,14

u

3= 3,141

etc. On voit sur l"exemple choisi que cette suite approche la valeur deade façon de plus en plus fine

par des nombres décimaux. Vérifions cela plus en détail en étudiant les propriétés de la suite

(un)n?N.

1.2.1unest croissante

Mais comme le plus grand entier qui est plus petit ou égal à10n+1·aestE(10n+1·a), on en déduit que

Divisant par10n+1, on obtient

E(10n·a)

1

1.2.2unfournit un encadrement deade plus en plus fin

par10n, u

10n.(3)

On voit au passage que la suite(un)n?Nest majorée paraet donc, comme elle est croissante, elle converge vers une limite??R. En passant à la limite dans (3), on obtient Mais on a mieux : en utilisant encore (1) (une fois pour10n+1·a, une fois pour10n·a), on a Mais comme les valeurs aux deux extrémités dans cette suite de relations sont desentiers, cela u

10n+1.(4)

1.2.3 Une série associée àa

Posonsa0=u0=E(a)et

a n=un-un-1,?n≥1.

On voit quea0peut être a priori un entier relatif quelconque, et quean=E(10n·a)-10·E(10n-1·a)

10n= d n

10n, oùdnest a priori un entier relatif. Mais les inégalités (2) et (4)entraînent

10n,?n≥1??dn?[[0,9]],?n≥1.

Donc, à partir du rangn= 1, lasuite(an)n?Nest une suitepositiveetmajoréepar la suite?9 10n? n?N.

A présent considérons lasérie de terme généralan: cela consiste à associer à la suite(an)n?Nla

suite(sn)n?Ndes sommes partielles s n=a0+a1+···+an=n? j=0a j.

Les théorèmes du cours

1nous garantissent que cette série estconvergente, c"est à dire que la

suite des sommes partiellessnconverge (en utilisant notament le fait que la série géométrique

de raison 1

10est convergente, ce qui entraîne que la série9·?110nest convergente). En fait, il

est immédiat que s n=a0+n? j=1u j-uj-1=un et donc que la limite desnest∞? j=0a j= limn→∞un=a.

1Exercice : lesquels?

2

Nous en déduisons l"écriture

a=∞?n=0a n=a0+∞?n=1d n

10n=a0+d110+d2102+d3103+···

notée dans la vie courante sous la forme du développement décimal a=a0,d1d2d3···. Exercice pour réfléchir :montrer que le cas où?n0?Ntel que?n > n0,dn= 9ne se produit jamais (indication : montrer que si cela était vrai alorsa=a0+??n0-1 j=1d j 10j? +dn0+110n0).

2 Produit de deux séries absolument convergentes

Théorème-Soit(an)n?Net(bn)n?Ndeux suites à valeurs dansCet soit(cn)n?Nla suite de terme général c n=a0bn+a1bn-1+···+an-1b1+anb0=? p+q=na pbq,?n?N. Supposons que les séries de terme généralanetbnsontabsolument convergentes,alors la série de terme généralcnest aussi absolument convergente et, de plus n=0c n=? n=0a n?? n=0b n? .(5) Preuve- Nous poseronsA=?∞n=0|an|etB=?∞n=0|bn|et nous considérons les sous-ensembles suivants deN×N: pour toutN?N, -QN= [[1,N]]2 q p 0N 2N N

2NΔ

NQ N T NT' N a) Montrons d"abord que la série?∞n=0cnest absolument convergente. Pour toutN?N, N n=0|cn|=N?n=0|? p+q=na pbq|

N?n=0?

p+q=n|ap||bq| (p,q)?ΔN|ap||bq| (p,q)?QN|ap||bq| N? p=0|ap|))(( N? q=0|bq|)) 3

Et comme|cn| ≥0cela prouve que la série?∞n=0|cn|converge, c"est à dire que la série?∞n=0cn

est absolument convergente. b) Etablissons à présent la relation (5). Noter qu"il s"agitde montrer qu"une certaine limite

(?∞n=0cn) est égale à un produit de deux limites. Pour cela, nous choisissonsN?Net évaluons

2N? n=0c n-(( N? p=0a p))(( N? q=0b q)) (p,q)?Δ2Na pbq-? (p,q)?QNa pbq| (p,q)?TNa pbq+? (p,q)?T?Na pbq| (p,q)?TN|ap||bq|+? (p,q)?T?N|ap||bq| 2N? p=N+1|ap|))(( N? q=1|bq|)) N? p=1|ap|))(( 2N? q=N+1|bq|)) p=N+1|ap|)) B+A(( q=N+1|bq|)) Or la dernière quantité tend vers 0 lorsqueN→+∞. On en déduit que lim

N→+∞2N?

n=0c n= limN→+∞(( N? p=0a p))(( N? q=0b q)) limN→+∞N p=0a p))(( limN→+∞N q=0b q))

Noter que, puisquelimN→+∞c2N+1= 0(exercice : le démontrer), on a aussitôtlimN→+∞?2N+1

n=0cn= lim

N→+∞?2N

n=0cn. On en déduit (5).

Exemple :sian=αn

n!etbn=βnn!, oùα,β?C, alors les séries?∞n=0αnn!et?∞n=0βnn!sont absolument convergentes pour toutes les valeurs deαetβ. De plus on calcule quecn=(α+β)n n!.

On en déduit que, si on pose

f(x) =∞? n=0x n n!, alorsf(α)f(β) =f(α+β),?(α,β)?C2.

3 Un résultat hors programme : le théorème de resommation de

Riemann

Ce résultat dit que, si une série estabsolument convergente, alors l"ordre dans lequel on somme ne change pas le résultat.

Théorème-Soit(un)n?Nune suite à valeurs dansC. Supposons que la série?∞n=0unsoit ab-

solument convergente, i.e.?∞n=0|un|<+∞, alors, pour toute bijectionφ:N-→N,?∞n=0uφ(n)

est absolument convergente et lim

N→∞N

n=0u

φ(n)=∞?

n=0u n.(6) Preuve- Observons d"abord que, en posantm=φ(n), on a N m=0|um|<∞, 4

ce qui entraîne le fait que?∞n=0uφ(n)est absolument convergente. Prouvons maintenant (6) :

fixonsε >0et choisissonsM?Ntel que?∞m=M+1|um|< ε. Alors, commeφest une bijection il existeN?Ntel que[[0,M]]?φ([[0,N]])(il suffit de prendre pourNle suprémum de l"ensemble finiφ-1([[0,M]])) et donc à partir de la décomposition N n=0u

φ(n)=M?

m=0u m+?

φ(n),

on obtient m=0u m-N? n=0u

φ(n)|=|∞?

m=M+1u m-?

φ(n)|

m=M+1|um|< ε, ce qui prouve bien (6).

Notons que, dans ce résultat, l"hypothèse que la série est absolument convergente est vraiment

capitale. Le résultat suivant, assez spectaculaire mais plus difficile, prouve en effet que l"addition

des termes dans les séries convergentes mais non absolumentconvergentes n"est pas commutative!

4 Un résultat hors programme et difficile

Théorème-Soit(un)n?N?une suite à valeurs dansR. On suppose que la série?∞n=1un estconvergentemaisnon absolument convergente. Alors, pourn"importe quellevaleur

λ?R, il existe une bijectionφ:N?-→N?telle que la série?∞n=1uφ(n)soit convergente et telle

que∞? n=1u

φ(n)=λ.

Remarque :on a choisi une suite définie surN?=N\{0}pour alléger les notations dans la suite. Preuve- Soitu+n= sup(0,un)etu-n=-inf(0,un)de sorte que?n?N?,un=u+n-u-n,|un|= u

n+u-netu+n≥0,u-n≥0. Commençons par remarquer que les séries?∞n=1u+net?∞n=1u-ndivergent toutes les deux, puisque si par exemple?∞n=1u+nconvergeait, alors?∞n=1|un|=

2?∞n=1u+n-?∞n=1unconvergerait, ce qui est contradictoire (même raisonnement pour?∞n=1u-n).

L"idée est alors que l"on dispose d"" un réservoir infini de termes positifs » (?u+n) et d"" un

réservoir infini de termes négatifs » (?u-n) et que l"on peut piocher alternativement dans un des

réservoirs. Voyons la mise en oeuvre de cette idée, qui est unpeu délicate à écrire. SoitA={n?N?|un≥0}etB={n?N?|un<0}. On aA∩B=∅etA?B=N?et de plus ces deux ensembles sont infinis dénombrables (à causede? n?Aun=?∞n=1u+n= +∞ et? n?Bun=-?∞n=1u-n=-∞). Soitα:N?-→Aetβ:N?-→Bles uniques bijections

monotones croissantes entre les ensembles considérés. Supposons pour fixer les idées queλ >0.

On considère

p

1= inf{p?N?|p?

i=1u

α(i)> λ}.

Cette valeur est finie puisque

?∞i=1uα(i)=?∞n=1u+n= +∞. On pose alors

φ(i) =α(i),?i?[[1,p1]].

5

Puis on considère

q

1= inf{q?N?|p

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