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Proposition 1 (rationnel = périodique) Sont rationnels les réels dont la partie décimale de leur(s) développement(s) est ultimement périodique Démonstration

  • Comment faire un développement décimal ?

    Pour le comprendre, il suffit de généraliser le principe de la division précédente. Supposons que l'on divise P par Q, dans la division de P par Q, on est amené, pour les décimales après la virgule, à « abaisser des zéros ». Si le reste précédent est r, on cherche alors à diviser 10r par Q.

  • Qu'est-ce que le développement décimal des nombres réels ?

    Le développement décimal d'un nombre est sa représentation en base 10 (c'est-à-dire dans le système décimal). Dans ce système, chaque « décimale » consiste en un chiffre 0-9 agencé de telle sorte que chaque chiffre est multiplié par une puissance de 10, décroissant de gauche à droite, et avec une décimale indiquant la place s.

  • Comment donner le développement décimal d'un nombre ?

    — Le développement décimal d'un nombre réel est fini ou périodique (à partir d'un certain rang) si et seulement s'il est rationnel. — Soit a = p 2k5lq un nombre rationnel avec k, l ? N et q premier avec 10p. Posons m = max(k, l). a) Le développement décimal de a est fini si et seulement si q = 1.
  • On effectue la division euclidienne a = bN + r0 de a par b, puis les divisions successives de 10ri par b, donnant pour quotient ai+1 et pour reste ri+1.
Nombres décimaux développement décimal dun rationnel Nombres décimaux, développement décimal d"un rationnel

Renaud Coulangeon

30 septembre 2009

1 Développement décimal des rationnels.

Théorème 1.1.Soit x=ab

2Q. Il existe une unique suite(an)n2Nvérifiant :

1. a 02Z. 2. a n2 f0,,9gpour n1.

3. Pour tout n2Non a :

a

0+a110

++an10 nxPreuve.Sans perte de généralité, on peut supposer dans toute la démonstration quebest stric-

tement positif(on peut même rajouter cette hypothèse dans l"énoncé...). On construit récursive-

ment deux suites(an)n2Net(rn)n2Nde la façon suivante :a0etr0sont respectivement le quotient et le reste de la division euclidienne deaparb, autrement dit a=ba0+r0, 0r010rn1=ban+rn, 0rn

On vérifie (récurrence), que pour toutn2N, l"entierrnest le reste de la division euclidienne de

10 naparb, et que le quotient de cette division est l"entierqn:=åni=0ai10ni. Ainsi, on a, pour tout n2N 10 na=b nå i=0a i10ni! +rn, 0rn0rn=10nab nå i=0a i10ni! n

ce qui équivaut à (1). Clairement, la suite(an)n2Nainsi construite vérifie donc (1), (2) et (3).

suite vérifiant (1), (2) et (3), alors pour toutn2N, l"entierq0n:=åni=0a0i10niest le quotient de la

division euclidienne de 10 naparb, ce qui permet (unicité du quotient de la division euclidienne)

de conclure récursivement quea0n=anpour toutn.Le développement décimal d"un rationnel jouit de la propriété remarquable suivante :

Proposition 1.1.Soit x=ab

2Q, avec b>0, de développement décimal x=a0,a1a2. Alors, la suite

(an)n2Nest ultimement périodique, ce qui signifie qu"il existe N1et T1tel que

8nN,an+T=an.

De plus, les nombres décimaux sont caractérisés par le fait que leur développement décimal est fini,i.e.

9N2NjnN)an=0.

Preuve.En reprenant les notations de la démonstration précédente, et en constatant qu"il y ab

restes possibles pour la division euclidienne d"un entier parb, on conclut qu"il existe deux entiers distinctssett, mettonss>t, tels quers=rt. Par définition même de la suitern, il suit que r s+k=rt+kpour toutk0, puis queas+k=at+kpour toutk0. La suite(an)n2Nest donc périodique à partir du rangt, et sa période est au plus égale àb.

La caractérisation des décimaux par la finitude de leur développement décimal se démontre

de la façon suivante : tout d"abord, six=ab est décimal, il existeN2Ntel que 10nab soit entier pour toutnN. Par conséquent,rnest nul pournN, puisque c"est le reste de la division euclidienne de 10 naparb, etanégalement, pournN+1. Inversement, si le développement

décimal d"un rationnelxvérifie le propriété qu"il existeN2Ntel queansoit nul pour toutnN,

alors on conclut grâce à la relation (1) que 0x a

0+a110

++aN10 N <110 n pour toutnN. Ceci n"est possible que six a

0+a110

++aN10 N =0, car le membre de droite

de l"inégalité ci-dessus peut être rendu arbitrairement petit pournarbitrairement grand (en toute

rigueur, on a besoin du fait queQestarchimédienpour conclure, ce qui se montre facilement avec la définition de la relation d"ordre dansQ...). Ainsix=a0+a110 ++aN10

Nest décimal.On peut préciser la proposition précédente en déterminant explicitement les entiersNetTde

la façon suivante : 2

Proposition 1.2.Soit x=pq

un rationnelnon décimalavec p et q étrangers. On pose q=2a5bq1, avec q

1étranger à10, et l"on noteg:=max(a,b)etn:=l"ordre de10dans le groupe multiplicatif(Z/q1Z),

i.e.le plus petit entier naturel non nul tel que10n1 modq1. On a alors : x=a0,a1aga g+1ag+n, la notationaga g+1ag+nsignifiant que le motifa g+1ag+nse répète à l"infini. Qui plus est,nest

le plus petit entier vérifiant cette propriété,i.e.tout entier m tel que le développement de x se termine par

un motif récurrent de longueur m est un multiple den. Si x estdécimal, son développement est fini d"après la proposition précédente. Preuve.Il revient au même de montrer que le développement dexou de 10gxest ultimement périodique (la multiplication par 10 gconsiste à "décaler" la virgule degpositions vers la droite).

On se ramène ainsi sans difficulté au cas oùqest étranger à 10,i.e.g=0. Dans ce cas, 10 est

inversible moduloq, et l"on notenson ordre dans(Z/qZ). On doit alors montrer que x=a0,a 1an.

On écrit

x=a0,a1an(2) 10 nx=a0a1an,an+1(3)

La condition 10

n1 modqimplique que 10nxx=kqpq =kpappartient àZ, ce qui, vu les équations (2) et (3) ci-dessus, implique quea1=an+1,a2=an+2, etc. Inversement, il est clair, en "retournant" le raisonnement précédent, que six=a0,a

1am, on doit avoir 10m10

modq, doncndivisem.Exemple :10 est d"ordre 6 dans(Z/7Z), ce qui permet d"affirmera priorique le développement

décimal d"un rationnel de la forme a7 ,aétranger à 7, est périodique de période 6. Par exemple : 227
=3,142857142857,37 =0,428571428571, etc. Pour plus de détails sur ces questions, voir par exemple [1], chapitre IX.

2 Est-ce que 0.9999...=1?

La seule réponse valable, eu égard au paragraphe précédent, est : "0.9999...n"est pasle déve-

loppement décimal d"un rationnel! ". En effet, on a la proposition suivante :

Proposition 2.1.Soit x=ab

2Q, avec b>0, de développement décimal x=a0,a1a2. Alors, les

termes de la suite(an)n2Nne peuvent pas être tous égaux à9à partir d"un certain rang, autrement dit

8N1,9nNjan6=9. (4)

3 Preuve.Par l"absurde : on suppose qu"il existeNtel que8nN,an=9. Pour toutnN, les inégalites (1) s"écrivent :

N1å

i=0a i10i+9nå i=N10ix110n+N1101N(xN1å i=0a i10i)<1 ou bien encore

0<1101N(xN1å

i=0a i10i)10n+N1

ce qui est absurde : il n"existe pas de nombre rationnelstrictementpositif qui soit inférieur à

10 n+N1pour toutnNpuisque pournarbitrairement grand 10n+N1est arbitrairement pe-

tit (pour être tout à fait rigoureux, il faut utiliser le fait queQestarchimédien, voir plus haut).Attentioncependant,certainsauteursautorisentlesdéveloppementsdécimauxdutype0.9999...

(c"est le cas notamment dans [2]). Ces auteurs énoncent en général une proposition un peu plus

faible que notre Proposition 1.1. précisément, le développement décimala0,a1a2d"un ration-

nelxest seulement assujetti aux inégalités a

0+a110

++an10 nxa0+a110 ++an10 n+110 n. (5)

unicitédu développement décimal. Certains rationnels ont deux développements décimaux : ce

sont précisément les nombres décimaux, qui ont un développementpropre(qui vérifie (1)) et un

développementimpropre.

Exemple :x=14

est un décimal de développement propre 0,25 et de développement impropre

0,2499999....

dique vérifiant les propriétés (1) et (2) de la Proposition (1.1) est le développement décimal (éven-

tuellement impropre) d"un rationnel, et même le développement décimalpropred"un rationnel si

l"on suppose en outre que la suite(an)2Nvérifie la condition (4). Si l"on oublie la propriété de

périodicité, on obtient une construction possible du corps des réels, mais c"est une autre histoire...

Références

[1] G. H. Hardy and E. M. Wright,An introduction to the theory of numbers.Fifth edition. The Clarendon Press, Oxford University Press, New York, 1979.

[2] D. Perrin,Mathématiques d"école : nombres, mesures et géométrie, Cassini, Paris, 2005.

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