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4

Développement décimal d"un réel

On rappelle que le corpsRdes nombres réels est archimédien, ce qui permet d"y définir la fonction partie entière.

En utilisant cette partie entière on verra dans ce chapitre que tout réel peut être approché

par des nombres rationnels particuliers que sont les nombres décimaux.

4.1 Nombres décimaux

Définition 4.1

On appelle nombre décimal tout nombre rationnel de la formea 10 moùaest un entier relatif etmun entier naturel.

On noteDl"ensemble des nombres décimaux.

Il est facile de vérifier queDest un sous-anneau deQ:Cet anneau est donc commutatif et intègre (i. e. sans diviseurs de0).

Exercice 4.1

Montrer qu"un nombre rationnel non nulr=p

entre eux est décimal si, et seulement si, les seuls diviseurs deqsont2et5:

Solution 4.1

Siq= 2n5m;on a alorsr=2m5np

10 n+m2D:

Réciproquement sir=p

q

2D;on a alorsp

q =a 10 entre eux entraîneqdivise10m= 2m5m(théorème de Gauss) et les seuls facteurs premiers de qsont2et5(unicité de la décomposition en facteurs premiers).

Exercice 4.2

Montrer que pour toutn2Nn f0;1gle rationnelr=n2+ 1 n(n2¡1)n"est jamais décimal.

Solution 4.2

Il suffit de remarquer que3divisen(n2¡1)(sin´0 mod3c"est clair et si n´1oun´2 mod3alorsn2¡1´0 mod3 et3ne divise pasn2+ 1(sin´0 mod3alors n

2+1´1 mod3et sin´1oun´2 mod3alorsn2+1´2 mod3), doncrs"écrit sous forme

irréductibler=p q avec3qui diviseqetr =2D:

Exercice 4.3

Montrer que l"ensemble des nombres décimaux inversibles est : D 79

80Développement décimal d"un réel

Solution 4.3

Un rationnelr=a

10 mest inversible dansDsi, et seulement si, il existe un entier relatifbet un entier naturelntels quea 10 mb 10 n= 1;ce qui revient à dire queab= 10n+mou encore que2et5sont les seuls diviseurs premiers possibles deaetb:

Exercice 4.4

Montrer que l"anneauDdes nombres décimaux est principal.

Solution 4.4

Il s"agit de montrer que dans l"anneau intègreD;tout idéalIest principal, c"est-

à-dire de la forme®Davec®2D:

Le résultat est trivial siI=f0g:

sous-groupe additif deD;il contient un décimald >0(sid2In f0g;alors¡d2In f0g) et en écrivantd=a 10 10 Du fait queIest un idéal deDon déduit que®D½I:

D"autre part, toutd2Is"écritd=a

10 paveca2Zetp2Net en effectuant la division euclidienne dea= 10pdpar®;on a10pd=®q+ravecq2Zet0·r·®¡1dansN;ce qui donner= 10pd¡®q2I\N(10pdet®qsont dansDpuisquedet®y sont etIest un idéal) et nécessairementr= 0par définition de®:On ad=®q 10 p2®DetI½®D;soit en définitive

I½®D:

De manière un plus générale, on peut montrer que tout sous-anneauAdeQest principal.

En effet, soitIun idéal deAnon réduit àf0g(le résultat est trivial siI=f0g). L"intersection

I\Zest un idéal deZ;donc principal et il existe un entieratel queI\Z=aZ:Tout élémentr deIs"écritr=p q avecpetqpremiers entre eux etqr=p2I\Z(rest dansIetqdansZ½A puisqueAest unitaire), il existe donc un entierktel queqr=ka;ce qui donner=ka q =k q a: Par ailleurs le théorème de Bézout nous dit qu"il existe deux entiersuetvtels queup+vq= 1; donc1 q =ur+v2A(Z½Aetr2I½A) etk a

2A:On a donc montré que tout élément de

Is"écritr=saavecs2Aeta2I;ce qui signifie queIest principal. On retrouve ainsi le fait que l"anneauDdes nombres décimaux est principal.

4.2 Approximations décimales des réels

Pour tout réelx;la partie entièrea0= [x]2Znous fournit une première approximation de xdansZ:On rappelle quea0est l"entier relatif défini par : a

0·x < a0+ 1:

En subdivisant l"intervalle[a0;a0+ 1]en10intervalles de même longueur, ce qui revient à

écrire que :

[a0;a0+ 1] =9[ k=0· a 0+k 10 ;a0+k+ 1 10 il existe un unique indicea1compris entre0et9tel que : r

1=a0+a1

10

·x < a0+a1+ 1

10 =r1+1 10

Approximations décimales des réels81

etr1est une approximation décimale dexplus fine quer0=a0:

En remarquant que10r1est entier et vérifie :

10r1·10x <10r1+ 1;

on déduit quer1=[10x] 10 En subdivisant de manière analogue l"intervalle r

1;r1+1

10 en10intervalles de même longueur, ce qui revient à écrire que : r

1;r1+1

10 =9[ k=0· r 1+k 100
;r1+k+ 1 100
il existe un unique indicea2compris entre0et9tel que : r

2=r1+a2

100

·x < r1+a2+ 1

100
=r2+1 100
etr2est une approximation décimale dexplus fine quer1: En remarquant que100r22Zet100r2·100x <100r2+ 1;on déduit quer2=[100x] 100
En continuant ainsi de suite, on définit les nombres décimauxrnpar :

8n2N; rn=[10nx]

10 n et ces nombres vont nous fournir des approximations décimales dex: En effet, par définition de la partie entière10nrn= [10nx];on a : 10 nrn·10nx <10nrn+ 1;(4.1) ce qui peut aussi s"écrirern·x < rn+1 10 n;ou encore :

0·x¡rn<1

10 n;(4.2) ce qui entraîne quelimn2N(rn) =x: L"encadrement(4:1)va nous fournir d"autres informations sur la convergence de cette suite. De10n+1rn+1>10n+1x¡1et¡10nrn¸ ¡10nx;on déduit que : 10 n+1(rn+1¡rn)>¡1 dansZ;ce qui équivaut à10n+1(rn+1¡rn)¸0:On arn+1¡rn¸0pour toutn¸0;ce qui signifie que la suite(rn)n2Nest donc croissante. De manière analogue les inégalités10n+1rn+1·10n+1xet¡10nrn<¡10nx+1nous donne : 10 n+1(rn+1¡rn)<10 dansZ;ce qui équivaut à10n+1(rn+1¡rn)·9:

En définitive, pour tout entiern:

a

82Développement décimal d"un réel

est un entier compris entre0et9et : r n+1=rn+an+1 10 n+1(4.3) ce qui n"est pas étonnant. En tenant compte der0=a0= [x];on déduit facilement par récurrence que :

8n2N; rn=nX

k=0a k 10 k;(4.4) où lesaksont des entiers compris entre0et9:

Théorème 4.1

Les suites(rn)n2Net(sn)n2N=µ

r n+1 10 n2Nsont des suites adjacentes de nombres décimaux qui convergent versxavecrn·x < snpour toutn2N: Démonstration.On vient de vérifier que la suite(rn)n2Nest croissante et convergente vers x:

Avec :

s n+1¡sn=rn+1¡rn¡9 10 n+1=an+1¡9 10 n+1·0; on déduit que la suite(sn)n2Nest donc décroissante.

Desn¡rn=1

10 n;on déduit quelimn2N(sn¡rn) = 0:Ces deux suites sont donc adjacentes et la suite(sn)n2Nconvergent aussi versx:

L"encadrement(4:2) 0·x¡rn<1

10 ns"écrit aussi : r n·x < rn+1 10 n=sn: L"encadrement(4:2)nous montre aussi que pour toutn2Non a : 8>< :x¡1 10 n< rn·x; x < s n=rn+1 10 n·x+1 10 n

Pour ces raisonsrnest appelée l"approximation décimale par défaut à10¡nprès dexetsn

l"approximation décimale par excès à10¡nprès. Le théorème précédent peut aussi s"exprimer comme suit.

Théorème 4.2

L"ensembleDdes nombres décimaux est dense dansR: La base de numération10peut en fait être remplacée par n"importe quelle baseb¸2; c"est-à-dire que l"ensemble : P=na b mja2Z; m2No est dense dansR: En utilisant le fait que les sous-groupes additifs deRsont denses ou discrets, on peut même De l"inclusionD½Q;on déduit le résultat suivant.

Approximations décimales des réels83

Corollaire 4.1

L"ensembleQdes nombres rationnel est dense dansR:

Exercice 4.5

Montrer que l"ensembleRnQdes nombres irrationnels est dense dansR:

Solution 4.5

Pour tout réelxil existe une suite(rn)n2Nde rationnels qui converge versx+p 2 et la suite de nombres irrationnels¡rn¡p 2 n2Nconverge versx: L"approximation décimale des réels permet de comparer deux réels.

Exercice 4.6

Soientx;ydeux réels et(rn)n2N;(r0n)n2Nles suites d"approximations décimales par défaut associées. Montrer quex < ysi, et seulement si, il existe un entierntel quern< r0n:

Solution 4.6

Six < yon peut alors trouver un entier naturelntel que10n(y¡x)>1(Rest archimédien) soit10ny >10nx+ 1et alors : 10 nrn+ 1 = [10nx] + 1·10nx+ 1<10ny <[10ny] + 1 = 10nr0n+ 1 etrn< r0n: Réciproquement s"il existen2Ntel quern< r0n;alors[10nx]<[10ny];ce qui équivaut à [10 nx]·[10ny]¡1et entraîne : 10 nx <[10nx] + 1·[10ny]·10ny; soitx < y: En utilisant(4:3)et(4:4);la convergence de la suite(rn)n2Nversxpeut aussi se traduire par le résultat suivant.

Théorème 4.3

Pour tout réelxon a :

x=+1X k=0a k 10 k(4.5) où

½a0= [x]

8n¸1; an= 10n(rn¡rn¡1) = [10nx]¡10[10n¡1x](4.6)

aveca02Zet pourn¸1; an2 f0;1;¢¢¢;9g:

On dit alors que cette écriture est un développement décimal illimité du réelxet lesanpour

n¸1sont les chiffres dexdans cette écriture.

Par exemple pourx= 32;456;on vérifie que :

8>>>><

>>>:a

0= [x] = 32;

a

1= [10x]¡10[x] = 4

a

2= [100x]¡10[10x] = 5

a

4= [1000x]¡10[100x] = 6

a k= 0;pourk¸5; c"est-à-dire que pourk¸1; akest lak-ème décimale dexaprès la virgule.

84Développement décimal d"un réel

Mais pourx <0;ce résultat n"est plus vrai. Par exemple pourx=¡32;456;on a :

8>>>><

>>>:a

0= [x] =¡33;

a

1= [10x]¡10[x] =¡325 + 330 = 5

a

2= [100x]¡10[10x] =¡3246 + 3250 = 4

a

4= [1000x]¡10[100x] =¡32456 + 32460 = 4

a k= 0;pourk¸5; ce qui correspond àx=¡33 + 0;544:

Pourx >0le développement(4:5)est noté :

x=a0;a1a2¢¢¢an¢¢¢ et pourx <0;on écrit : x=¡(¡x) =¡a0;a1a2¢¢¢an¢¢¢

oùa0;a1a2¢¢¢an¢¢¢est le développement décimal illimité de¡xobtenu par le procédé précé-

dent, c"est-à-dire que :

½a0= [¡x];

Exemple 4.1

La constante de Ramanujan est le réele¼p

163
dont le développement décimal s"écrit : e ¼p 163
= 262537412640768743:9999999999992::: On pourrait croire qu"il est entier si on ne calcule pas la13-ème décimale. Une question que l"on peut naturellement se poser est celle de l"unicité d"un tel développe-

réelles(an)n2Ntelles quea02Netak2 f0;1;¢¢¢;9gpour toutk¸1en associant à tout réel

xpositif ou nul la suite(an)n2Ndéfinie par(4:6)et la question est de savoir si cette application est bijective. Le résultat qui suit nous dit que cette application n"est pas surjective.

Théorème 4.4

Pour tout réelxla suite(an)n2Ndéfinie par(4:6)ne peut pas être stationnaire sur9à partir d"un certain rang. Démonstration.Supposons qu"il existe un entiern0¸1tel quean= 9pour toutn¸n0:

On a alors pour toutn > n0:

r n¡rn0=nX k=n0+1a k 10 k=9 10 n0+1n¡n0¡1X k=01 10 k 9 10 n0+11¡1 10 n¡n0

1¡1

10 1 10 n0¡1 10 n; soitsn=rn+1 10 n=rn0+1 10 n0=sn0etx= limn!+1(sn) =sn0;ce qui contreditx < sn0:

On déduit donc que, par exemple, la suite(0;9;9;¢¢¢;9;¢¢¢)comportant une infinité de9

consécutifs n"a pas d"antécédents par l"application±: SiD0désigne le sous-ensemble deDformé des suites qui ne sont pas stationnaires sur9à partir d"un certain rang, nous allons vérifier que±réalise une bijection deR+surD0:

Approximations décimales des réels85

Définition 4.2

On appelle développement décimal illimité propre du réelxtoute égalitéx= +1P k=0a k 10

koù(an)n2Nest une suite dansD0:Un tel développement est notéx=a0;a1a2¢¢¢an¢¢¢

et lesan;pourn¸1;sont les chiffres dexdans cette écriture. La suite(an)n2Ndéfinie par(4:6);fournit un développement décimal illimité propre dex:

Le réelx= 1a pour développement propre1 = 1;00¢¢¢0¢¢¢;mais on peut aussi écrire que :

1 = 0;99¢¢¢9¢¢¢=+1X

k=19 10 k; ce deuxième développement est un développement impropre de1:

Théorème 4.5

Le développement décimal illimité propre d"un réel positif est unique et l"appli- cation±réalise une bijection deR+surD0:

Démonstration.Soitx2R+:On a déjà le développementx=a0;a1¢¢¢an¢¢¢où(an)n2Nest la suite définie par(4:6):Supposons que l"on ait un autre développement :

x=b0;b1¢¢¢bn¢¢¢=+1X k=0b k 10 k partir d"un certain rang, on a :

0·x¡b0=+1X

k=1b k 10quotesdbs_dbs33.pdfusesText_39

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