Développement décimal des nombres réels 1 Développement décimal
Par contre tout nombre réel est limite d'une suite de nombres rationnels. Ainsi on peut construire R comme l'ensemble des limites de nombres rationnels (Q est
Développements décimaux des nombres réels
En particulier il ne faut pas confondre nombre décimal et développement décimal illimité d'un nombre rationnel ou réel (cf. ci-dessous). 2. Développement
1 Le développement décimal dun nombre réel - 1.1 La fonction
Nous partons de la propriété suivante : pour tout réel a ? R il existe un 1.2 Le développement décimal d'un nombre réel ... par des nombres décimaux.
4 Développement décimal dun réel
Exercice 4.3 Montrer que l'ensemble des nombres décimaux inversibles est : D? = { r = ±2?5?
Développement décimal des nombres réels
cnb?n deux développement en base b d'un même nombre réel x. Si les suites (an) et (bn) ne sont pas stationnaires en b ? 1 alors on a pour tout n ?
Nombres décimaux développement décimal dun rationnel
30-Sept-2009 1 Développement décimal des rationnels. Théorème 1.1. Soit x = a b. ? Q. Il existe une unique suite (an) ...
Développements décimaux - MPSI Lycée Dupuy de Lôme
Caractérisation des nombres rationnels par leur développement décimal. 3. A propos de l'unicité du développement décimal d'un réel. MPSI Lycée Dupuy de Lôme.
Quelques réflexions sur les nombres décimaux
10k. On dit alors que tout nombre réel admet un développement décimal. L'existence est assurée mais pas l'unicité… En
Les mathématiques au lycée - Seconde
Les nombres décimaux sont les nombres qui s'écrivent comme quotient d'un Un nombre réel est irrationnel si et seulement si son développement décimal ...
TD 1 : Correction dexercices
(On peut aussi définir les nombres décimaux comme les nombres réels qui qu'un nombre réel est rationnel si et s. si il admet un développement décimal ...
[PDF] Développement décimal des nombres réels
Un nombre réel peut être donné comme solution d'une équation plus ou moins simple : — ? 2 est solution de l'équation x2 = 2; — ? de l'équation sinx = 0
[PDF] 1 Le développement décimal dun nombre réel - IMJ-PRG
1 Le développement décimal d'un nombre réel 1 1 La fonction « partie entière » Nous partons de la propriété suivante : pour tout réel a ? R il existe un
[PDF] 4 Développement décimal dun réel
Développement décimal d'un réel On rappelle que le corps R des nombres réels est archimédien ce qui permet d'y définir la fonction partie entière
[PDF] Développements décimaux des nombres réels
Développement décimal d'un nombre réel a) Approximations décimales d'un réel Théor`eme 2 1 Soient x ? R et n ? N Il existe un unique décimal xn =
[PDF] Nombres décimaux développement décimal dun rationnel
Nombres décimaux développement décimal d'un rationnel Renaud Coulangeon 30 septembre 2009 1 Développement décimal des rationnels Théorème 1 1
[PDF] Notes sur les développements décimaux périodiques - APMEP
Nous supposons connus les aspects relevant de l'analyse c'est-à-dire la définition des développements décimaux des nombres réels de l'intervalle [01] sous
[PDF] Développement décimal des nombres réels - KlubPrepa
Calculer les nombres réels dont le développement décimal propre est donné par la suite (an) : 1 ?n ? Nan = 5 2 ?n ? Na3n = 1a3n+1 = 2a3n+
Développement décimal d un réel - PDF Free Download - DocPlayerfr
4 Développement décimal d un réel On rappelle que le corps R des nombres réels est archimédien ce qui permet d y définir la fonction partie entière
[PDF] Développements décimaux - MPSI Lycée Dupuy de Lôme
Un développement décimal d'un nombre réel fournit une façon d'en donner une approximation à une précision donnée ?? Quelques exemples : ? 8 5 = 16
[PDF] Bulletin de lUnion des Professeurs de classes préparatoires
Proposition 1 (rationnel = périodique) Sont rationnels les réels dont la partie décimale de leur(s) développement(s) est ultimement périodique Démonstration
Comment faire un développement décimal ?
Pour le comprendre, il suffit de généraliser le principe de la division précédente. Supposons que l'on divise P par Q, dans la division de P par Q, on est amené, pour les décimales après la virgule, à « abaisser des zéros ». Si le reste précédent est r, on cherche alors à diviser 10r par Q.Qu'est-ce que le développement décimal des nombres réels ?
Le développement décimal d'un nombre est sa représentation en base 10 (c'est-à-dire dans le système décimal). Dans ce système, chaque « décimale » consiste en un chiffre 0-9 agencé de telle sorte que chaque chiffre est multiplié par une puissance de 10, décroissant de gauche à droite, et avec une décimale indiquant la place s.Comment donner le développement décimal d'un nombre ?
— Le développement décimal d'un nombre réel est fini ou périodique (à partir d'un certain rang) si et seulement s'il est rationnel. — Soit a = p 2k5lq un nombre rationnel avec k, l ? N et q premier avec 10p. Posons m = max(k, l). a) Le développement décimal de a est fini si et seulement si q = 1.- On effectue la division euclidienne a = bN + r0 de a par b, puis les divisions successives de 10ri par b, donnant pour quotient ai+1 et pour reste ri+1.
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Licence 2MA 3
Compléments sur les séries
1 Le développement décimal d"un nombre réel
1.1 La fonction " partie entière »
Nous partons de la propriété suivante : pour tout réela?Ril existe un unique entier relatif entier relatif contenu dans]- ∞,a]. Définition-On appellepartie entière deal"entier relatif notéE(a)et défini par1.2 Le développement décimal d"un nombre réel
Soita?R, considérons la suite de nombres rationnels u n=E(10n·a)10n,pourn?N.
Par exemple, sia=π, on a :
u 0= 3 u1= 3,1
u2= 3,14
u3= 3,141
etc. On voit sur l"exemple choisi que cette suite approche la valeur deade façon de plus en plus finepar des nombres décimaux. Vérifions cela plus en détail en étudiant les propriétés de la suite
(un)n?N.1.2.1unest croissante
Mais comme le plus grand entier qui est plus petit ou égal à10n+1·aestE(10n+1·a), on en déduit queDivisant par10n+1, on obtient
E(10n·a)
11.2.2unfournit un encadrement deade plus en plus fin
par10n, u10n.(3)
On voit au passage que la suite(un)n?Nest majorée paraet donc, comme elle est croissante, elle converge vers une limite??R. En passant à la limite dans (3), on obtient Mais on a mieux : en utilisant encore (1) (une fois pour10n+1·a, une fois pour10n·a), on a Mais comme les valeurs aux deux extrémités dans cette suite de relations sont desentiers, cela u10n+1.(4)
1.2.3 Une série associée àa
Posonsa0=u0=E(a)et
a n=un-un-1,?n≥1.On voit quea0peut être a priori un entier relatif quelconque, et quean=E(10n·a)-10·E(10n-1·a)
10n= d n10n, oùdnest a priori un entier relatif. Mais les inégalités (2) et (4)entraînent
10n,?n≥1??dn?[[0,9]],?n≥1.
Donc, à partir du rangn= 1, lasuite(an)n?Nest une suitepositiveetmajoréepar la suite?9 10n? n?N.A présent considérons lasérie de terme généralan: cela consiste à associer à la suite(an)n?Nla
suite(sn)n?Ndes sommes partielles s n=a0+a1+···+an=n? j=0a j.Les théorèmes du cours
1nous garantissent que cette série estconvergente, c"est à dire que la
suite des sommes partiellessnconverge (en utilisant notament le fait que la série géométrique
de raison 110est convergente, ce qui entraîne que la série9·?110nest convergente). En fait, il
est immédiat que s n=a0+n? j=1u j-uj-1=un et donc que la limite desnest∞? j=0a j= limn→∞un=a.1Exercice : lesquels?
2Nous en déduisons l"écriture
a=∞?n=0a n=a0+∞?n=1d n10n=a0+d110+d2102+d3103+···
notée dans la vie courante sous la forme du développement décimal a=a0,d1d2d3···. Exercice pour réfléchir :montrer que le cas où?n0?Ntel que?n > n0,dn= 9ne se produit jamais (indication : montrer que si cela était vrai alorsa=a0+??n0-1 j=1d j 10j? +dn0+110n0).2 Produit de deux séries absolument convergentes
Théorème-Soit(an)n?Net(bn)n?Ndeux suites à valeurs dansCet soit(cn)n?Nla suite de terme général c n=a0bn+a1bn-1+···+an-1b1+anb0=? p+q=na pbq,?n?N. Supposons que les séries de terme généralanetbnsontabsolument convergentes,alors la série de terme généralcnest aussi absolument convergente et, de plus n=0c n=? n=0a n?? n=0b n? .(5) Preuve- Nous poseronsA=?∞n=0|an|etB=?∞n=0|bn|et nous considérons les sous-ensembles suivants deN×N: pour toutN?N, -QN= [[1,N]]2 q p 0N 2N N2NΔ
NQ N T NT' N a) Montrons d"abord que la série?∞n=0cnest absolument convergente. Pour toutN?N, N n=0|cn|=N?n=0|? p+q=na pbq|N?n=0?
p+q=n|ap||bq| (p,q)?ΔN|ap||bq| (p,q)?QN|ap||bq| N? p=0|ap|))(( N? q=0|bq|)) 3Et comme|cn| ≥0cela prouve que la série?∞n=0|cn|converge, c"est à dire que la série?∞n=0cn
est absolument convergente. b) Etablissons à présent la relation (5). Noter qu"il s"agitde montrer qu"une certaine limite(?∞n=0cn) est égale à un produit de deux limites. Pour cela, nous choisissonsN?Net évaluons
2N? n=0c n-(( N? p=0a p))(( N? q=0b q)) (p,q)?Δ2Na pbq-? (p,q)?QNa pbq| (p,q)?TNa pbq+? (p,q)?T?Na pbq| (p,q)?TN|ap||bq|+? (p,q)?T?N|ap||bq| 2N? p=N+1|ap|))(( N? q=1|bq|)) N? p=1|ap|))(( 2N? q=N+1|bq|)) p=N+1|ap|)) B+A(( q=N+1|bq|)) Or la dernière quantité tend vers 0 lorsqueN→+∞. On en déduit que limN→+∞2N?
n=0c n= limN→+∞(( N? p=0a p))(( N? q=0b q)) limN→+∞N p=0a p))(( limN→+∞N q=0b q))Noter que, puisquelimN→+∞c2N+1= 0(exercice : le démontrer), on a aussitôtlimN→+∞?2N+1
n=0cn= limN→+∞?2N
n=0cn. On en déduit (5).Exemple :sian=αn
n!etbn=βnn!, oùα,β?C, alors les séries?∞n=0αnn!et?∞n=0βnn!sont absolument convergentes pour toutes les valeurs deαetβ. De plus on calcule quecn=(α+β)n n!.On en déduit que, si on pose
f(x) =∞? n=0x n n!, alorsf(α)f(β) =f(α+β),?(α,β)?C2.3 Un résultat hors programme : le théorème de resommation de
Riemann
Ce résultat dit que, si une série estabsolument convergente, alors l"ordre dans lequel on somme ne change pas le résultat.Théorème-Soit(un)n?Nune suite à valeurs dansC. Supposons que la série?∞n=0unsoit ab-
solument convergente, i.e.?∞n=0|un|<+∞, alors, pour toute bijectionφ:N-→N,?∞n=0uφ(n)
est absolument convergente et limN→∞N
n=0uφ(n)=∞?
n=0u n.(6) Preuve- Observons d"abord que, en posantm=φ(n), on a N m=0|um|<∞, 4ce qui entraîne le fait que?∞n=0uφ(n)est absolument convergente. Prouvons maintenant (6) :
fixonsε >0et choisissonsM?Ntel que?∞m=M+1|um|< ε. Alors, commeφest une bijection il existeN?Ntel que[[0,M]]?φ([[0,N]])(il suffit de prendre pourNle suprémum de l"ensemble finiφ-1([[0,M]])) et donc à partir de la décomposition N n=0uφ(n)=M?
m=0u m+?φ(n),
on obtient m=0u m-N? n=0uφ(n)|=|∞?
m=M+1u m-?φ(n)|
m=M+1|um|< ε, ce qui prouve bien (6).Notons que, dans ce résultat, l"hypothèse que la série est absolument convergente est vraiment
capitale. Le résultat suivant, assez spectaculaire mais plus difficile, prouve en effet que l"addition
des termes dans les séries convergentes mais non absolumentconvergentes n"est pas commutative!4 Un résultat hors programme et difficile
Théorème-Soit(un)n?N?une suite à valeurs dansR. On suppose que la série?∞n=1un estconvergentemaisnon absolument convergente. Alors, pourn"importe quellevaleurλ?R, il existe une bijectionφ:N?-→N?telle que la série?∞n=1uφ(n)soit convergente et telle
que∞? n=1uφ(n)=λ.
Remarque :on a choisi une suite définie surN?=N\{0}pour alléger les notations dans la suite. Preuve- Soitu+n= sup(0,un)etu-n=-inf(0,un)de sorte que?n?N?,un=u+n-u-n,|un|= un+u-netu+n≥0,u-n≥0. Commençons par remarquer que les séries?∞n=1u+net?∞n=1u-ndivergent toutes les deux, puisque si par exemple?∞n=1u+nconvergeait, alors?∞n=1|un|=
2?∞n=1u+n-?∞n=1unconvergerait, ce qui est contradictoire (même raisonnement pour?∞n=1u-n).
L"idée est alors que l"on dispose d"" un réservoir infini de termes positifs » (?u+n) et d"" un
réservoir infini de termes négatifs » (?u-n) et que l"on peut piocher alternativement dans un des
réservoirs. Voyons la mise en oeuvre de cette idée, qui est unpeu délicate à écrire. SoitA={n?N?|un≥0}etB={n?N?|un<0}. On aA∩B=∅etA?B=N?et de plus ces deux ensembles sont infinis dénombrables (à causede? n?Aun=?∞n=1u+n= +∞ et? n?Bun=-?∞n=1u-n=-∞). Soitα:N?-→Aetβ:N?-→Bles uniques bijectionsmonotones croissantes entre les ensembles considérés. Supposons pour fixer les idées queλ >0.
On considère
p1= inf{p?N?|p?
i=1uα(i)> λ}.
Cette valeur est finie puisque
?∞i=1uα(i)=?∞n=1u+n= +∞. On pose alorsφ(i) =α(i),?i?[[1,p1]].
5Puis on considère
q1= inf{q?N?|p
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