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EA1 - Outils Mathématiques Année 2015-2016

Chapitre 7 - Travaux Dirigés (Corrigés)

Série de Fourier

Exercice 1

Soitfla fonction2-périodique définie parf(x) =xsur];]. 1.

Mo ntrerque Sf(x) = 2P1

n=1(1)n1sinnxn . (On ne s"intéresse pas ici à la conver- gence deSf.) 2. Mo ntrerque p ourtout x2];[,Sf(x) =x(convergence simple). 3. Qu"en est-il de la con vergencesimple de la série Sfenx=? 4.

Mo ntrerque

P1 n=11n 2=26

Solution 1

1. A ttention: s"il est vrai que f(t) =tsur];], il est faux quef(t) =tsur];2], puisque, par construction,f(t) =x2pourt2];2]. On aan(f) = 0puisque fest impaire. Une intégration par partie (avecu=t,v0= sinntdoncv=cosntn donne pour toutn2N,bn(f) =1 R 2

0f(t)sin(nt)dt=1

R tsin(nt)dt(2- périodique)=2 R

0tsin(nt)dt(par parité comme produit de fonctions impaires)

=2cosnn + 2sinnn 2|{z} =0=2(1)nn 2. L afonction fn"est pas continue sur];]puisquef() =alors quef(()+) = . Elle est bienC1par morceaux sur[;]puisqu"elle estC1sur];[. Le théorème de Dirichlet affirme queSfconverge simplement versxsur];[(et vers f(x) +f(x+)2 = 0pourx=). 3. Dans le cas où x=, tous les termes de la série sont nuls, donc la série converge

également simplement vers0dans ce cas.

4. En appliquan tla form ulede P arseval(ce qui est légitime car fest continu par morceaux sur[;]), on aa202 +P1 n=1a2n+b2n=1 R 2

0(f(t))2dt, soitP1

n=1b2n= P 1 n=1(2(1)nn)2=P1 n=14n

2, et1

R 2

0(f(t))2dt=2

R

0(f(t))2dt(par parité)=

2 R

0t2dt=2

[t33 ]0=223 . DoncP1 n=11n 2=26

Exercice 2

Soitf2-périodique, impaire, définie parf(x) = 1sur]0;[etf(n) = 0pourn2Z. 1.

Représen terf.

2.

Mo ntrerque p ourtout x2R,f(x) =P1

n=04(2n+ 1)sin((2n+ 1)x). 3.

Mo ntrerque

P1 n=0(1)n2n+ 1=4 4.

Mo ntrerque

P1 n=01(2n+ 1)2=28 1

5.En déduire que

P1 n=11n 2=26 et queP1 n=1(1)nn 2=212

Solution 2

1.

F acile.

2. On a an(f) = 0puisquefest impaire. Une intégration directe donne pour chaque n2N,bn(f) =1 R 2

0f(t)sinnt dt=2

R

0sin(nt)dt(par parité)=2n

(1(1)n). Donc pour toutp2N,b2p= 0etb2p+1=4(2p+ 1). La fonctionfestC1par morceaux surRet2-périodique de sorte que l"on peut appliquer le théorème de Dirichlet. Donc la série de Fourier defconverge simplement vers12 (f(x+)+f(x)) = f(x)pour chaquex2R. On a donc le résultat attendu. 3.

I lsuffit de prendre x=2

4. On p eutappliquer la form ulede P arsevalp uisquefest continue par morceaux. Donc a202 +P1 n=1a2n+b2n=1 R 2

0(f(t))2dt. On aP1

n=1b2n=P1 n=14(2n+ 1) 2 16 2P 1 n=11(2n+ 1)2, et1 R 1dt=1 (2) = 2, de sorte queP1 n=11(2n+ 1)2=28 5.

Co mme

P2N+1 n=11n 2=PN p=11(2p)2+PN p=01(2p+ 1)2. On peut passer à la limite (car toutes les séries convergent) donc P1 n=11n 2=P1 p=11(2p)2+P1 p=01(2p+ 1)2= 14 P 1 p=11p 2+28 . Donc34 P 1 n=11n 2=28 doncP1 n=11n 2=26 . Enfin,P1 n=1(1)nn 2= P 1 p=11(2p)2P1 p=01(2p+ 1)2=14 26
28
doncP1 n=1(1)nn 2=212

Exercice 3

Soitf:R!Rla fonction2-périodique définie parf(x) =jcos(x)j. 1. Ca lculerles co efficientsde F ourierrée lsde f. 2.

En déduire la v aleurde

P1 n=1(1)n+14n21.

Solution 3

1. L afonction fest paire. On obtient pourn2N,a2n(f) =(1)n+14(4n21)eta2n+1(f) = 0 etbn(f) = 0pourn2N. Le détail des calculs : pourn= 0,a0=1 R 2

0jcostjdt=

2 R

0jcostjdt(parité)=2

R=2

0costdtR

=2costdt 2 ([sint]=2

0[sint]=2) =4

Soitn1. On a

a n=12R 2

0jcostjcosnt dt

2 R

0jcostjcosnt dt

2 R=2

0costcosnt dtR

=2costcosnt dt 1 R=2

0(cos(n+ 1)t+ cos((n1)t)dt)R

=2(cos(n+ 1)t+ cos(n1)t dt) (puisquecos(a+b) + cos(ab) = 2cosacosb.) (1)

Sin= 1, alorsa1=1

R=2

0(cos(2t) + 1)dtR

=2cos(2t) + 1)dt 1 ([sin(2t)2 t]=2

0[sin(2t)2

+t]=2) = 0. Supposonsn >1. On aan=1 ([sin((n+1)t)n+1+sin((n1)t)n1]=2 0 2 sin((n+1)t)n+1+sin((n1)t)n1]=2) =2 sin((n+1)=2)n+1+sin((n1)=2)n1 . Sinest impair,n=

2p+ 1, alorsa2p+1=2

(sin((p+1))2p+2+sin(m)2m) =1 (sin((m+ 1))m+ 1|{z} =0+ sin(m)m |{z} =0) = 0. Si nest pair,n= 2p, alors a 2p=2 sin((2p+1)=2)2p+1+sin((2p1)=2)2p1 2 (2p1)sin((2p+ 1)=2) + (2p+ 1)sin((2m1)=2)4p21 =2(1)m+12(4p21):(2) 2. L afonction fest de classeC1par morceaux, il y a donc convergence simple (théo- rème de Dirichlet) de la série de Fourier vers12 (f(x+)+f(x). Enx= 0, la fonction fest continue, de sorte que l"on a1 =f(0) =2 +P1 n=1(1)n+14(4n21)et donc P 1 n=1(1)n+14n21=4 2 =24

Exercice 4

Soitf:R!R,2-périodique, impaire et vérifiant f(x) =x2 sur]0;]. 1. Préciser la con vergencede la série de F ourierréelle de f. 2.

Ca lculerla série de F ourierréelle de f.

3.

En déduire la con vergenceet la v aleurde

P+1 n=1sinnn 4.

Ca lculer

P1 n=11n 2.

Solution 4

1.festC1par morceaux et vérifief(x) =12

(f(x+)+f(x))pour tout réelx, donc la série de Fourier defconverge simplement versfen vertu du théorème de Dirichlet. 2. L afonction fest paire. On a doncan= 0pour tout entier natureln. Par intégration par parties on trouvebn=1n . Le détail du calcul : b n=1 R 2

0f(t)sin(nt)dt

2 R

0((t)2

sin(nt)dt (par parité) 1 ([(t)cos(nt)n ]0R

0(1(cos(nt)n

)dt) (intégration par parties) 1 (nquotesdbs_dbs33.pdfusesText_39

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