[PDF] 1 Séries trigonométriques 2 Coefficients de Fourier 3 R`egles de

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Master 1 Metiers de l'Enseignement, Mathematiques - ULCO, La Mi-Voix, 2012/2013 ANALYSE 2Fiche de Mathematiques 9- Series de Fourier.1 Series trigonometriques

2 Coecients de Fourier

3 Regles de convergence

Exercice 1Soitf:R!Rla fonction paire, 2-periodique, denie par f(x) =4x22six2[0;=2]

8x324x2sinon.

1. Mon trerque fest de classeC1et calculer sa derivee. 2. Calculer les co ecientsde F ouriertrigonom etriquesde la fonction f. 3.

En d eduirela v aleurde

+1X n=0(1)n(2n+ 1)3.

Correction:

1. Sur [0 ;=2], on af(x) = 4x22et doncfest de classeC1sur [0;=2] avecf0d(0) = 0 etf0g(=2) = 4. Sur ]=2;], on af(x) = 8x324x2et cette relation est aussi valable pourx==2. On en deduit que fest de classeC1sur [=2;] avecf0d(=2) = 4etf0g() = 0. Par parite et periodicite, on peut armer

quefest de classeC1surR(et un dessin serait s^urement tres convaincant) etf0est une fonction impaire,

2-periodique avec

f

0(x) =8xsix2[0;=2]

82xsinon

2. Puisque la fonction fest paire, les coecientsbn(f) sont nuls et a n(f) =2 Z 0 f(t)cos(nt)dt=2 Z=2 0 (4t22)cos(nt)dt+Z =2(8t324t2)cos(nt)dt! ce qui donne apres quelques calculs penibles a

2p(f) = 0 eta2p+1(f) =32(1)p+1(2p+ 1)3,

ou plus simplement en exploitant la relationbn(f0) =nan(f), ouan(f00) =nbn(f0) =n2an(f) en considerant la pseudo-derivee d'ordre 2 def. 3.

Puisque la fonction fest de classeC1, elle est egale a sa somme de Fourier (Theoreme de Dirichlet) et donc

8x2R,f(x) =32

+1X n=0(1)n+1(2n+ 1)3cos((2n+ 1)x).

En evaluant pourx= 0, on obtient

+1X n=0(1)n(2n+ 1)3=332 Exercice 2Soitf:R!Rla fonction 2-periodique denie parf(x) =jcos(x)j. 1. Calculer les co ecientsde F ouriertri gonometriquesde f. 2.

En d eduirela v aleurde

+1X n=0(1)n+14n21.

Correction:

1/11

1.a2n(f) =(1)n+14(4n21)eta2n+1(f) = 0 pourn2Netbn(f) = 0 pourn2N?.

2.

La fonction fest de classeC1par morceaux, il y a donc convergence uniforme de la serie de Fourier versf.

Enx= 0, on obtient :

f(0) =2 ++1X n=1(1)n+14(4n21),+1X n=1(1)n+14n21=24 Exercice 3Soit la fonctionf:R!R2-periodique denie par

8x2];],f(x) = exp(x).

1. Calculer les co ecientsde F ourierexp onentielsde f. 2.

En d eduirela v aleurdes sommes

+1X n=1(1)nn

2+ 1et+1X

n=11n 2+ 1.

Correction:

1.cn(f) =sh

(1)n1in. 2.

La fonction festC1par morceaux donc la serie de Fourier converge simplement vers la fonctionf?regularisee

def. Ainsi,8x2R,f?(x) =sh +1X n=1(1)n1inexp(inx). Pourx= 0, on obtientsh()=+1X n=1(1)n1in. Or, +1X n=1(1)n1in=1 ++1X n=0(1)n11in+11 +in =1 ++1X n=02(1)nn 2+ 1.

Par suite

+1X n=0(1)nn

2+ 1=12

1 +sh()

De m^eme avecx=, on obtient+1X

n=01n

2+ 1=12

(1 +coth()). Exercice 4Soient2RnZetf:R!Rla fonction 2-periodique denie par f(x) = cos(x) sur ];]. 1. D eterminerles co ecientsde F ourieran(f) etbn(f) def. 2.

En d eduireles v aleursdes sommes

+1X n=1(1)n1n

22et+1X

n=11n 22.
3.

En d eduireen nla v aleurde

+1X n=11n 2.

Correction:

1.bn(f) = 0 pourn >1 etan(f) = (1)n12sin()(n22)pourn2N. La serie de Fourier defconverge

normalement versfcar celle-ci est continue etC1par morceaux. Par suite f(x) =sin() ++1X n=1(1)n12sin()(n22)cos(nx). 2.

P ourx= 0, on obtient+1X

n=1(1)n1n

22=122

1sin()

et pourx=, +1X n=11n

22=1cotan()22.

3.

Il y a con vergencenormale de

+1X n=11n

22pour2[0;1=2] donc quand+1X

n=11n

2= limn!0+1X

n=11n 22.

Quandx!0, cotan(x) =1x

13 x+(x) donc1cotan()22!!0 26
d'ou+1X n=11n 2=26 2/11 Exercice 5Soient2R?etf:R!Rla fonction 2-periodique denie parf(x) = ch(x) sur ];]. 1. D eterminerles co ecientsde F ourieran(f) etbn(f) def. 2.

En d eduireles v aleursdes sommes

+1X n=1(1)nn

2+2et+1X

n=11n 2+2.

Correction:

1.bn(f) = 0 pourn >1 etan(f) = (1)n2sh()(2+n2)pourn2N. La serie de Fourier defconverge normalement

versfcar celle-ci est continue etC1par morceaux. Par suite, f(x) =sh() ++1X n=1(1)n2sh()(2+n2)cos(nx). 2.

P ourx= 0, on obtient

+1X n=1(1)nn

2+2=122

sh()1 et pourx=, +1X n=11n

2+2=coth()122.

4 Convergence des series de Fourier au sens de Cesaro

Exercice 6On designe parDl'espace des fonctions de Dirichlet, c'est-a-dire l'espace des fonctionsf:R!R

qui sont 2-periodiques, continues par morceaux et telles qu'en tout point de discontinuiteadef, on ait :

f(a) =f(a) +f(a+)2 Soientf2 Detg2 Ddenie parg(x) =f(x+a) ouaest un reel xe. Exprimer les coecients de Fourier deg en fonction de ceux def.

Correction: Pourn2Z, on a :

c n(g) =12Z 2 0 g(t)exp(int)dt=12Z 2 0 f(t+a)exp(int)dt 12Z a+2 a f(x)exp(in(xa))dx= exp(ina)12Z 2 0 f(x)exp(inx)dx= exp(ina)cn(f):

Il en resulte que :

a n(g) =cn(g) +cn(g) = exp(ina)cn(f) + exp(ina)cn(f) = exp(ina)an(f) +ibn(f)2 + exp(ina)an(f)ibn(f)2 =exp(ina) + exp(ina)2 an(f) +exp(ina)exp(ina)2ibn(f) = cos(na)an(f) + sin(na)bn(f) et b n(g) =i(cn(g)cn(g)) =i(exp(ina)cn(f)exp(ina)cn(f)) =i exp(ina)an(f)ibn(f)2 exp(ina)an(f) +ibn(f)2 exp(ina) + exp(ina)2 bn(f)exp(ina)exp(ina)2ian(f) = cos(na)bn(f)sin(na)an(f); ce qui peut aussi se verier avec : a n(g) =1 Z 2 0 f(t+a)cos(nt)dt=1 Z 2 0 f(x)cos(n(xa))dx 1 cos(na)Z 2 0 f(x)cos(nx)dx+ sin(na)Z 2 0 f(x)sin(nx)dx = cos(na)an(f) + sin(na)bn(f) 3/11 et b n(g) =1 Z 2 0 f(t+a)sin(nt)dt=1 Z 2 0 f(x)sin(n(xa))dx 1 cos(na)Z 2 0 f(x)sin(nx)dxsin(na)Z 2 0 f(x)cos(nx)dx = cos(na)bn(f)sin(na)an(f): Exercice 7Soitf2 Dcontinue et de classeC1par morceaux. Montrer que :

8n2Z?; cn(f) =cn(f0)in

8n2N?; an(f) =bn(f0)n

etbn(f) =an(f0)n Correction: Sif2 Dest de classeC1par morceaux, il existe alors une subdivision de [0;2] :

0 =a0< a1< ::: < ap= 2

telle que la restriction defa chaque intervalle ]ak;ak+1[ se prolonge par continuite en fonction de classeC1sur

[ak;ak+1] et on a, pour toutn2Z?: c n(f) =12Z 2 0 f(t)exp(int)dt=12p1X k=0Z ak+1 a kf(t)exp(int)dt et commefest de classeC1sur [ak;ak+1], une integration par parties donne : Z ak+1 a kf(t)exp(int)dt= if(t)exp(int)n ak+1 a kin Z ak+1 a kf0(t)exp(int)dt =if(a k+1)exp(inak+1)f(a+ k)exp(inak)n in Z ak+1 a kf0(t)exp(int)dt: Si on suppose de plus quefest continue surR, on a alorsf(a k) =f(a+ k) =f(ak) pour toutkcompris entre 0 et pet :

2cn(f) =in

p1X k=0(f(ak+1)exp(inak+1)f(ak)exp(inak))in p1X k=0Z ak+1 a kf0(t)exp(int)dt =in p1X k=0Z ak+1 a kf0(t)exp(int)dt=1in Z 2 0 f0(t)exp(int)dt puisque f est 2-periodique etcn(f) =cn(f0)in . Il en resulte que : 8>< :a n(f) =cn(f) +cn(f) =cn(f0)cn(f0)in =bn(f0)n b n(f) =i(cn(f)cn(f)) =cn(f0) +cn(f0)n =an(f0)n Remarque 4.1Avec les notations et hypotheses precedentes, on a : c

0(f0) =12Z

2 0 f0(t)dt= 0 puisquefest 2-periodique. Donc la relationcn(f0) =incn(f) est valable pour toutn2Z.

5 Problemes d'approximation

Exercice 8Montrer que pour tout entier naturelnles fonctions : t7!(cos(t))nett7!(sin(t))n sont des polyn^omes trigonometriques.

Corection:

Pour tout entier natureln, on notePnl'ensemble des polyn^omes trigonometriques de degre inferieur ou egal an.

On noteP=[n2NPnl'espace de tous les polyn^omes trigonometriques, c'est-a-dire l'ensemble des fonctions deR

dansR, de la forme : 4/11

P:x7!a0+nX

k=1(akcos(kx) +bksin(kx)).

Montrons maintenant le resultat par recurrence. Pourn= 0 etn= 1, c'est evident. En supposant le resultat acquis

pourn1, on a : (cos(t))n+1= (cos(t))ncos(t) = a 0+mX k=1(akcos(kt) +bksin(kt))! cos(t) =a0cos(t) +mX k=1(akcos(kt)cos(t) +bksin(kt)cos(t)) avec : cos(kt)cos(t) =cos((k+ 1)t) + cos((k1)t)2 2 P et : sin(kt)cos(t) =sin((k+ 1)t) + sin((k1)t)2 2 P pourk1, ce qui entra^ne (cos(t))n+12 P.

On procede de m^eme pour (sin(t))n.

On peut aussi utiliser les exponentielles complexes et la formule du bin^ome pour ecrire : (cos(t))n=(exp(it) + exp(it))n2 n=12 nn X k=0C knexp(ikt)exp(i(nk)t) =12 nn X k=0C knexp(i(2kn)t) et : (cos(t))n= Re 12 nn X k=0C knexp(i(2kn)t)! =nX k=0C kn2 ncos((2kn)t)2 Pn. Exercice 9Soitf2 Dcontinue et de classeC1par morceaux deRdansR. 1.

Mon trerque :

+1X n=1pa n(f)2+bn(f)2r 6 sZ 2 0 jf0(t)j2dt. 2.

Mon trerque p ourtous r eelsa;b;t, on a :

jacos(t) +bsin(t)j pa 2+b2. 3.

Mon trerque :

sup x2R f(x)12Z 2 0 f(t)dts 6 Z 2 0 jf0(t)j2dt.

Correction:

1. Dans le cas o uf2 Dest continue et de classeC1par morceaux, on a :

8n2N?; an(f) =bn(f0)n

etbn(f) =an(f0)n et l'inegalite de Cauchy-Schwarz dans l'espace des suites reelles de carre sommable nous dit que : +1X n=1pa n(f)2+bn(f)2=+1X n=11n pa n(f0)2+bn(f0)2 v uut+1X n=11n 2v uut+1X n=1(an(f0)2+bn(f0)2) ce qui donne, compte tenu de +1X n=11n 2=6 et de l'egalite de Parseval (voir derniere section) appliquee a la fonctionf02 D: +1X n=1pa n(f)2+bn(f)2p6 s1 Z 2 0 jf0(t)j2dt=r 6 sZ 2 0 jf0(t)j2dt 5/11 (on rappelle quea0(f0) = 0). 2. Si a2+b2= 0, c'est evident, sinon il existe un reeltel que : apa

2+b2= cos() etbpa

2+b2= sin()

(puisque apa 2+b2 2 +bpa 2+b2 2 = 1) et : apa

2+b2cos(t) +bpa

2+b2sin(t) = cos()cos(t) + sin()sin(t) = cos(t)2[1;1].

On peut aussi ecrire que :

acos(t) +bsin(t) =aexp(it) + exp(it)2 +bexp(it)exp(it)2i=aib2 exp(it) +a+ib2 exp(it) et : jacos(t) +bsin(t)j aib2 +a+ib2 ja+ibj=pa 2+b2. 3. Comme f2 Dest continue et de classeC1par morceaux, sa serie de Fourier converge normalement versf surRet on a pour tout reelx: f(x)a0(f)2 +1X n=1(an(f)cos(nx) +bn(f)sin(nx)) +1X n=1jan(f)cos(nx) +bn(f)sin(nx)j +1X n=1pa n(f)2+bn(f)2s 6 Z 2quotesdbs_dbs33.pdfusesText_39

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