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Exercices corrigés sur les séries de Fourier

La série converge-t-elle vers f ? Exercice 2 Calculer la série de Fourier sous forme trigonométrique

Séries de Fourier

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Séries de fourier : Cours-Résumés-Exercices-Examens - F2School

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Exo7

Séries de Fourier

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile

I : Incontournable

Exercice 1**1.Soit flafonctiondéfiniesurR, 2p-périodiqueetimpairetelleque8x20;p2 ,f(x)=sinx2 . Déterminer f(x)pour tout réelx. 2. Soit fla fonction définie surR, 2p-périodique et paire telle que8x20;p2 ,f(x) =sinx2 . Déterminer f(x)pour tout réelx.

Développer en série de FOURIERles fonctions suivantes puis déterminer la valeur des sommes indiquées :

1) (**)f:R!R2p-périodique paire telle que8x2[0;p],f(x) =12xp

. En déduireå+¥n=01(2n+1)2,å+¥n=11n 2 et

å+¥n=11n

2) (**)f:R!R2p-périodique impaire telle que8x2[0;p],f(x) =x(px). En déduireå+¥n=0(1)n(2n+1)3,

+¥n=01(2n+1)6etå+¥n=11n 6.

3) (**)f:R!R2p-périodique telle que8x2]p;p],f(x) =sinx2

. En déduireå+¥n=0(1)n2n+116n2+16n+3.

4) (***)f:R!R2p-périodique telle que8x2[p;p],f(x) =ch(lx)(lréel strictement positif donné).

En déduire

å+¥n=1(1)nl

2+n2,å+¥n=11l

2+n2etå+¥n=11(l2+n2)2.

5) (**)f:R!Rtelle que8x2R,f(x) =sup(0;sinx). En déduireå+¥n=114p21.

1. (a)

Dév elopperen série trigonométrique la fonction f:t7!1acost(utiliser la racine de plus petit

module, notéeb, de l"équationz2az+1=0). (b) La série obtenue est-elle la série de F OURIERdef? 2. Déduire de 1) la v aleurdes intégrales In=Rp

0cos(nt)acostdt,n2N.

psin(pz)et cotan(pz)). Soita2CnZ. Soitfl"application deRdansC, 2p-périodique telles que8x2[p;p],f(x) =cos(ax). 1. Dév elopperla fonction fen série de FOURIER. 2.

En déduire que pour tout z2CnZ,

1 p sin(pz)=1z +å+¥n=1(1)n2zz

2n2etpcotan(pz) =1z

+å+¥n=12zz 2n2.

Correction del"exer cice1 N1.• Puisque fest impaire,f(0) =0. Puisquefest impaire et 2p-périodique,f(p) =f(p) =f(p)et

doncf(p)=0. Puisquefest 2p-périodique, pourk2Z,f(2kp)=f(0)=0 etf((2k+1)p)=f(p)=0.

Finalement,8k2Z,f(kp) =0.

Soitx2]p;0[. Puisquefest impaire,f(x) =f(x) =sinx2 =sinx2 et donc8x2]p;p[, f(x) =sinx2 Soitx2RnpZ. Il existek2Ztel quep8x2R;f(x) =0 six2pZ (1)ksinx2 oùk=Ex+p2psix=2pZ.2.• Soit x2[p;0]. Puisquefest paire,f(x) =f(x) =sinx2 =sinx2 et donc8x2[p;p], f(x) =sinx2 Soitx2R. Il existek2Ztel quep8x2R;f(x) =sinx2

kpoùk=Ex+p2p.Correction del"exer cice2 N1.La fonction fest continue par morceaux surRet 2p-périodique. On peut donc calculer ses coefficients

de FOURIER.1 2 3 4 5 6 7 8-1-2-3-4-5-6-7-8 1 -1 π-π2π-2πPuisquefest paire,8n2N,bn(f) =0 puis pourn2N,an(f) =2p R p 012xp cos(nx)dx.

Par suite,a0(f) =0 puis pourn2N,

a n(f) =2p h 12xp sin(nx)n i p

0+2npR

0sin(nx)dx

=4np2hcos(nx)n i p

0=4(1(1)n)n

2p2.

La fonctionfest 2p-périodique, continue surRet de classeC1par morceaux surR. D"après le théorème

de DIRICHLET, la série de FOURIERdefconverge versfsurR. Par suite, pour tout réelx, f(x) =a0(f)2 +å+¥n=1(an(f)cos(nx)+bn(f)sin(nx)) =4p

2å+¥n=11(1)nn

2cos(nx) =8p

2å+¥p=0cos((2p+1)x)(2p+1)2.

8x2R,f(x) =8p

2å+¥n=0cos((2n+1)x)(2n+1)2.3

L"égalitéf(0) =1 fournitå+¥n=01(2n+1)2=p28 . Ensuite, siS=å+¥n=11n

2, on a

+S4 et doncS=43 p28 =p26 D"autre part, puisquefest continue par morceaux surRet 2p-périodique, la formule de PARSEVAL fournit (a0(f))22 +å+¥n=1((an(f))2+(bn(f))2) =1p R p p(f(x))2dxet donc 64p

4å+¥n=01(2n+1)4=2p

R p 012xp 2dx=h 13 12xp 3ip 0=23 et donc

å+¥n=01(2n+1)4=23

p464 =p496 . Enfin, si on poseS=1n 4, +S16 et doncS=1615 p496 =p490 +¥n=01(2n+1)2=p28 ,å+¥n=11n 2=p26 etå+¥n=11n

4=p490

.2.La fonction fest continue par morceaux surRet 2p-périodique. On peut donc calculer ses coefficients

de FOURIER.1 2 3 4 5 6 7 8-1-2-3-4-5-6-7-8 123
-1 -2 -3 π-π2π-2πPuisquefest impaire,8n2N,an(f) =0 puis pourn2N, b n(f) =2p Z p

0x(px)sin(nx)dx=2p

x(px)cos(nx)n p 0 +1n Z p

0(p2x)cos(nx)dx

2np (p2x)sin(nx)n p 0 +2n Z p

0sin(nx)dx

=4n 2p cos(nx)n p 0 =4(1(1)n)n 3p:

La fonctionfest 2p-périodique, continue surRet de classeC1par morceaux surR. D"après le théorème

de DIRICHLET, la série de FOURIERdefconverge versfsurR. Par suite, pour tout réelx, 4 f(x) =a0(f)2 +å+¥n=1(an(f)cos(nx)+bn(f)sin(nx)) =4p

å+¥n=11(1)nn

3sin(nx) =8p

å+¥p=0sin((2p+1)x)(2p+1)3.

8x2R,f(x) =8p

=p24 fournitå+¥n=0(1)n1(2n+1)3=p332 . Ensuite, puisquefest continue par morceaux surR et2p-périodique, laformulede PARSEVALfournit(a0(f))22 +å+¥n=1((an(f))2+(bn(f))2)=1p R p p(f(x))2dx et donc 64p

2å+¥n=01(2n+1)6=2p

R p

0x2(px)2dx=2p

h p 2x33 2px44 +x55 i p

0=2p413

12 +15 =p415 et donc

å+¥n=01(2n+1)6=p264

p415 =p6960 . Enfin, si on poseS=1n 6, +S64 et doncS=6463 p6960 =p6945 +¥n=0(1)n1(2n+1)3=p332 ,å+¥n=11(2n+1)6=p6960 etå+¥n=11n

6=p6945

.3.La fonction fest continue par morceaux surRet 2p-périodique. On peut donc calculer ses coefficients

de FOURIER.1 2 3 4 5 6 7 8-1-2-3-4-5-6-7-8 123
-1 -2 -3

π-π2π-2π

??La fonctionfa mêmes coefficients de FOURIERque la fonctiongdéfinie surR, impaire et 2p-périodique

telle que8x20;p2 ,g(x) =0. Donc8n2N,an(f) =0 puis pourn2N, b n(f) =2p Z p

0sinx2

sin(nx)dx=1p Z p 0 cos n12 x cos n+12 x dx 1p sinn12 xn12 sinn+12 xn+12 p 0 =1p (1)nn12 (1)nn+12 =(1)np 2nn 214
=(1)np

8n4n21:

La fonctionfest 2p-périodique et de classeC1par morceaux surR. D"après le théorème de DIRICHLET,

la série de FOURIERdefconverge en tout réelxet a pour somme12 (f(x+)+f(x). En particulier, 5

8x2]p;p[, sinx2

=8p =1p2 fournit 1p2 =8p

å+¥n=0(1)nn4n21sinnp2

=8p

å+¥p=02p+14(2p+1)21sin(2p+1)p2

=8p

å+¥p=0(1)p2p+116p2+1p+3,

+¥n=0(1)n2n+116n2+16n+3=p8 p2 .4.fest 2p-périodique, continue par morceaux surRet paire. Pourn2N,bn(f) =0 puis pourn2N, a n(f) =1p R p pch(lx)cos(nx)dx.

1ère solution.Soitn2N.

a n(f) =1p Re Zp pch(lx)einxdx =12pRe Zp pe(l+in)xdx+Z p pe(l+in)xdx 12pRe (1)n2pRe2sh(lp)l+in+2sh(lp)l+in (1)nsh(lp)p

Relinl

2+n2+l+inl

2+n2 =2lsh(lp)p (1)nn 2+l2

2ème solution.Une double intégration par parties fournit

a n(f) =1p sh(lx)l cos(nx) p p+nl Z pquotesdbs_dbs33.pdfusesText_39

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Séries de Fourier

I : Incontournable

1) (**)f:R!R2p-périodique paire telle que8x2[0;p],f(x) =12xp

å+¥n=11n

2) (**)f:R!R2p-périodique impaire telle que8x2[0;p],f(x) =x(px). En déduireå+¥n=0(1)n(2n+1)3,

3) (**)f:R!R2p-périodique telle que8x2]p;p],f(x) =sinx2

4) (***)f:R!R2p-périodique telle que8x2[p;p],f(x) =ch(lx)(lréel strictement positif donné).

En déduire

å+¥n=1(1)nl

2+n2,å+¥n=11l

2+n2etå+¥n=11(l2+n2)2.

5) (**)f:R!Rtelle que8x2R,f(x) =sup(0;sinx). En déduireå+¥n=114p21.

0cos(nt)acostdt,n2N.

En déduire que pour tout z2CnZ,

2n2etpcotan(pz) =1z

Finalement,8k2Z,f(kp) =0.

Par suite,a0(f) =0 puis pourn2N,

0+2npR

0sin(nx)dx

0=4(1(1)n)n

2å+¥n=11(1)nn

2cos(nx) =8p

2å+¥p=0cos((2p+1)x)(2p+1)2.

8x2R,f(x) =8p

2å+¥n=0cos((2n+1)x)(2n+1)2.3

2, on a

4å+¥n=01(2n+1)4=2p

å+¥n=01(2n+1)4=23

4=p490

0x(px)sin(nx)dx=2p

0(p2x)cos(nx)dx

0sin(nx)dx

å+¥n=11(1)nn

3sin(nx) =8p

å+¥p=0sin((2p+1)x)(2p+1)3.

8x2R,f(x) =8p

2å+¥n=01(2n+1)6=2p

0x2(px)2dx=2p

0=2p413

å+¥n=01(2n+1)6=p264

6=p6945

π-π2π-2π

0sinx2

8n4n21:

8x2]p;p[, sinx2

å+¥n=0(1)nn4n21sinnp2

å+¥p=02p+14(2p+1)21sin(2p+1)p2

å+¥p=0(1)p2p+116p2+1p+3,

1ère solution.Soitn2N.

Relinl

2+n2+l+inl

2ème solution.Une double intégration par parties fournit