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S´eries de Fourier : synth`ese de cours

But :Ecrire une fonctionfcontinue par morceaux et 2-p´eriodique sous la forme : f(x) =a0 2 ++1∑ n=1(ancos(nx) +bnsin(nx)) =a0 2 + limN!+1N n=1(ancos(nx) +bnsin(nx)) ou sous la forme : f(x) =+1∑ n=1c neinx= limN!+1N n=Nc neinx:

1 Coefficients de Fourier et S´eries de Fourier

Denition 1 :

Coefficients r´eels def:an(f) =1

2 0 f(t)cos(nt)dt;n>0; bn(f) =1 2 0 f(t)sin(nt)dt;n >0

Coefficients complexes def:cn(f) =1

2∫

2 0 f(t)eintdt:

Remarques :

Comme les fonctions sont 2-p´eriodiques, on peut calculer les int´egrales sur n'importe quel intervalle de

longueur 2.

On ´ecrit souventanetbnau lieu dean(f) etbn(f) s'il n'y a pas de confusion entre plusieurs fontions.

On utilise plutˆotanetbnsifest `a valeurs r´eelles, etcnpourf`a valeurs complexes.

Remarque utile pour les calculs :

fpaire)bn= 0;8n >0 etan=2 0 f(t)cos(nt)dt;n>0: fimpaire)an= 0;8n >0 etbn=2 0 f(t)sin(nt)dt;n>0:

Denition 2 :

La s´eriea0

2 n>1a ncos(nx) +bnsin(nx) ou∑ n2Zc neinxs'appelle s´erie de Fourier associ´ee `af.

Remarques :

1. La somme partielle de cette s´erie est un polynˆome trigonom´etrique et vaut :

S

N(x) =a0

2 +N∑ n=1a ncos(nx) +bnsin(nx) ouSN(x) =N∑ n=Nc neinx: S

N(x) =N∑

n=Nc neinx=N∑ n=N< f;e inx> einxest le projet´e orthogonal defsur le sous-espace vectoriel engendr´e par les (einx)Nn=N.

2. Si on d´efinit le produit scalaire :< f;g >=1

2∫

2 0 f(t) g(t)dt, alors on a : < f;1>=a0 2 ; < f;cos(nx)>=an 2 ; < f;sin(nx)>=bn 2 ; < f;einx>=cn:

QUESTIONS :

Pour quelles fontionsfy a-t-il convergence?

Y a-t-il convergence versf?

De quelle type de convergence s'agit-il? Cv pour la norme quadratiquejj:jj? Cv simple et dans ce cas pour quelsxa-t-on la convergence? Cv normale? 1

±1±0.50.5

1

±6 ±4 ±2 2 4 6Principe de Fourier

2 Convergence des s´eries de Fourier

2.1 Convergence en norme quadratique

Th´eor`eme de Parseval :fcontinue par morceaux, 2-p´eriodique)les sommes partiellesSNcv versf en norme quadratique cad : lim

N!+1jjfSNjj2= limN!+11

2∫

2 0 jf(t)SN(t)j2dt= 0;et on a la formule de

Parseval :

n2Zjcnj2=jjfjj2=ja0j2 4 +1 2 n>1(janj2+jb2nj):

2.2 Convergence simple

Th´eor`eme de Dirichlet :fC1par morceaux, 2-p´eriodique (non n´ecessairement continue)) a 0 2 n>1a ncos(nx) +bnsin(nx) = f(x)sifest continue enx 1 2 (f(x+) +f(x)) sifest discontinue enx Remarque :On peut calculer des s´eries en prenant des valeurs particuli`eres dex.

2.3 Convergence normale

fcontinue,C1par morceaux et 2-p´eriodique)la s´erie de fonctions cv normalement versf. (voir exo

TD)

2.4 Non convergence

Sifest seulement continue (ou seulement continue par morceaux), on ne peut rien dire sur la convergence

deSNquandNtend vers +1, elle peut diverger. Remarque :fest continue par morceaux si sur tout segment elle est continue sauf en un nombre fini de points de discontinuit´ex0o`u elle admet une discontinuit´e de 1`ere esp`ece cad limx+

0fet limx

0fexistent

mais diff`erent def(x0).

3 Que faire en g´en´eral dans les exercices?

1.

Tracer le graphe defsur plusieurs p´eriodes

2.

D´eterminer la classe (= r´egularit´e) defpour connaˆıtre la convergence de la s´erie de Fourier

3. Calculer les coefficients de Fourier def(an;bn;cnselon le contexte) 4. Appliquer Parseval et/ou Dirichlet selon la classe def

4 Que faire si on ne comprend rien?

Apprendre le cours, refaire les exercices du TD et poser des questions :-) 2quotesdbs_dbs33.pdfusesText_39

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