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Pr ´eparation`a l"agr´egation Universit´e Claude Bernard Lyon 1´Ecrit d"analyse S

´eries de Fourier

La r

´ef´erence bibliographique principale pour les s´eries de Fourier est le livre de Zuily et Queff´elec "Analyse

pour l"agr

´egation".

Partie I. Rappels de cours

1 D

´efinitions et premi`eres propri´et´es

Pour une fonctionf2L1(0;2p)on d´efinit :

- les coefficients de Fourier c n(f) =12pZ 2p

0f(x)einxdx;n2Z;

- la s

´erie de Fourier

S f(x) =¥å ¥c n(f)einx; - les sommes partielles de la s

´erie de Fourier

S n(f) =nå k=nc k(f)eikx - les sommes de Fej

´er

s n(f) =S0+S1++Sn1n

Lemme de Riemann-Lebesgue.Les coefficients de Fourier d"une fonction deL1forment une suite born´ee qui

tend vers 0 lorsquejnj !¥. La r

´eciproque est fausse (cf. exercices).

Produits

- In ´egalit´e de H¨older :kfgkLr kfkLpkgkLqd´es lors que1r =1p +1q - In ´egalit´e de Young, convolution : sif;g2L1alors la convolutionfg fg(x) =12pZ 2p

0f(xt)g(t)dt:

est bien d ´efinie pour presque toutxetfg2L1. Plus g´en´eralement, si 1p;q;r¥sont tels que 1+1r =1p +1q et sif2Lpetg2Lqalorsfg2LretkfgkLr kfkLpkgkLq.

Divers

- L"espaceL2(0;2p)est un espace de Hilbert et l"ensemble deseinx,n2Z, forme une base hilbertienne. - Sifest continue, p´eriodique etC1par morceaux, alorscn(f0) =incn(f). - Deux fonctions deL1avec les mˆemes coefficients de Fourier sont´egales presque partout. 1

2 Convergence de la s

´erie de Fourier

D"abord un r

´esultat n´egatif.

Th

´eor`eme.Pour tout x0, il existe une fonction continue p´eriodique f telle que la suite Sn(f;x0)soit non born´ee

(par rapport `a n).

Ainsi, au moins pour les fonctions continues et p

´eriodiques, la s´erie de Fourier ne converge pas toujours vers la fonction consid

´er´ee. Cependant, le th´eor`eme de Fej´er nous dit que cette convergence a quand mˆeme lieu mais

au sens de Ces `aro. Th

´eor`eme(Fej´er).a) Si f est continue et p´eriodique, alorsksn(f)kL¥kfkL¥etsn(f)!f uniform´ement.

b) Si f2Lpavec1p<¥, alorsksn(f)kLp kfkLpetsn(f)!f dans Lp. Le th

´eor`eme de Dirichlet nous donne un crit`ere pour la convergence ponctuelle de la s´erie de Fourier.

Th ´eor`eme(Dirichlet).Soit f2L1et x02R. On suppose qu"il existe f;f+2Ctels que Z 1

0jf(x0+t)f+jt

dt<¥etZ 1

0jf(x0t)fjt

dt<¥:

Alors S

n(f;x0)!f++f2 lorsque n!¥.

En pratique,f+etfsont les limites`a gauche et`a droite defenx0et la fonctionfadmet des d´eriv´ees`a

gauche et `a droite enx0(ce qui implique l"hypoth`ese du th´eor`eme de Dirichlet). On peut ensuite se poser la question de la convergence de la s

´erie de Fourier dansLplorsque la fonction

est dansLp(ou continue sip=¥). Le premier th´eor`eme de ce paragraphe montre que c"est faux quandp=¥

(c"est n

´eanmoins vrai pour les fonctions continues etC1par morceaux, cf. th´eor`eme ci-dessous). Une l´eg`ere

modification de la preuve de ce th ´eor`eme montre que c"est aussi faux quandp=1. En revanche, sip=2 le r

´esultats est vrai comme on peut le voir ais´ement`a partir de la th´eorie des espaces de Hilbert et en se rappelant

que leseinxforment une base hilbertienne deL2. Plus g´en´eralement, on peut montrer que c"est vrai pour tout

1 de l"agr

´egation.

Voici maintenant d"autres r

´esultats li´es`a la convergence de la s´erie de Fourier. Th

´eor`eme.a) SiNå

Na neinx!f uniform´ement lorsque N!¥, alors f est continue p´eriodique et les coeffi- cients de Fourier de f sont lesan.

b) Pour toutLZ, l"ensemble des polynˆomes trigonom´etriques`a support dansl(c"est-`a-dire les sommes

finieså n2La neinx) sont denses dans l"espaces des fonctions continues p´eriodiques dont les coefficients de

Fourier s"annulent pour n62L.

c) Si f est continue et p

´eriodique et Sn(f;x0)!l, alors l=f(x0).

d) Si f2L1est telle que ses coefficients de Fourier forment une suite de`1, alors f est somme de sa s´erie de

Fourier presque partout (et donc f est

´egale presque partout`a une fonction continue). e) Si f estC

1par morceaux, continue et p´eriodique, alors les coefficients de Fourier forment une suite de`1

et f est somme de sa s

´erie de Fourier.

L"

´enonc´e du th´eor`eme de Weierstrass ne fait pas intervenir les s´eries de Fourier mais peut se d´emontrer

ais

´ement`a l"aide des s´eries de Fourier :

Th

´eor`eme(Weierstrass).Toute fonction continue sur un intervalle compact est limite uniforme d"une suite de

polyn

ˆomes.

2

3 Si on veut aller plus loin

Ph

´enom`ene de Gibbs.Les singularit´es d"une fonction peuvent s"amplifier dans la s´erie de Fourier. En effet,

pour la fonctionG(x) =px2 pour 0´erifient

liminf n!¥kGnkL¥Z p

0sintt

=1;85>p2 =kGkL¥: R

´egularit´e d"une fonction et d´ecroissance de ses coefficients de FourierIl existe un lien tr`es fort entre la

r

´egularit´e d"une fonction et les propri´et´es de d´ecroissance de ses coefficients de Fourier. Nous savons d´ej`a que

l"appartenance d"une fonction `aL2se traduit par le fait que les coefficients de Fourier doiventˆetre de carr´e sommable. Le th ´eor`eme qui suit nous donne des caract´erisations de typeCk. D´efinissons, pour 00;jf(x)f(y)j Cjxyja8x;yg: Th ´eor`eme.Soit f une fonction continue et p´eriodique. a) Si f2Ckalorslimjnj!¥nkcn(f) =0. b) Si k2etjcn(f)j Cjnjkpour tout n, alors f2Ck2. c) On a que f2C¥si et seulement si pour tout k2Nil existe une constante C=C(k)telle quejcn(f)j

Cjnjkpour tout n.

d) Si f2Ca, alors ses coefficients de Fourier sont dans`ppour tout p>22a+1. e) Soitw(d)=supfjf(x)f(y)j;jxyjdgle module de continuit´e de f. Siw(1=n)lnn!0quand n!¥, alors la s ´erie de Fourier de f converge uniform´ement. f) Si f2Caalors la s´erie de Fourier de f converge uniform´ement.

g) SoitPn=fnånakeikxgl"ensemble des polynˆomes trigonom´etriques de degr´en. Nous avons que f2Ca

si et seulement si d

¥(f;Pn) =sup

x;P2Pnjf(x)P(x)j Cnapour une certaine constanteC. 3

Partie II. Exercices

Exercice 1.(Non-surjectivit´e)

a) Soitfune fonction continue p´eriodique telle que tous ses coefficients de Fourier sont positifs. Montrer`a

l"aide du th

´eor`eme de Fej´er et du lemme de Fatou que

n2Zc n(f)<¥: En d ´eduire quefest´egale`a la somme de sa s´erie de Fourier. b) Soitfune fonction deL1telle quecn(f) =cn(f)0 pour toutn0. Montrer que n1c n(f)n

Indication : consid

´erer la fonctionF(x) =xR

0f(t)dt.

c) Soitan=an=1lognpourn2. Montrer que lesanne peuvent pasˆetre les coefficients de Fourier d"une fonction deL1. Exercice 2.(Noyau de Dirichlet et non convergence de la s´erie de Fourier) Soit D n(x) =nå k=neikx le noyau de Dirichlet. a) Montrer queDn(x) =sin((n+1=2)x)sin(x=2)et queSn(f) =Dnf. b) Montrer que sijxj palorsDn(x) =2sinnxx +rn(x)o`urnest uniform´ement born´e enxetn. En d´eduire quekDnkL1est non born´ee. c) Montrer que la norme de la forme lin

´eairefn:C0per!C,fn= (fDn)(0)estkDnkL1.

d) Conclure

`a l"aide du th´eor`eme de Banach-Steinhaus qu"il existe une fonction continue et p´eriodique dont

la s

´erie de Fourier ne converge pas en 0.

Exercice 3.(Noyau de Fej´er et th´eor`eme de convergence de Fej´er) Soit K n=D0+D1++Dn1n le noyau de Fej

´er.

a) Montrer queKn=nå k=n(1jkjn )eikx=sin2(nx=2)nsin2(x=2). b) Montrer quekKnkL1=1 etsn(f) =Knf. c) Si 01 etln2Ntels queln+1qln. On posef(t) =¥å 1a neilnt. Le but de cet exercice est de montrer que sifest d´erivable en un point, alorsan=o(1=ln)quandn!¥. 4

a) Montrer queJn0, quekJnkL1=1, queJnest un polynˆome trigonom´etrique de degr´e inf´erieur`a 2net

que pour toutk2 f0;1;2gnous avons queZ 2p

0xkJn(x) =O(nk).

b) Montrer qu"on peut supposerfd´erivable en 0 avecf(0) =f0(0) =0. On fera cette hypoth`ese dans la

suite. c) Soitμn=min(ln+1ln;lnln1). Montrer que si 00f(t)Jk(t)eilnt: e) En choisissantk=kn=μn2

1 dans la question pr´ec´edente, montrer queknan=o(1).

f) Conclure. g) Construire une fonction continue qui est nulle part d

´erivable.

Exercice 5.(In´egalit´e isop´erim´etrique) Soitgune courbe que l"on supposera de longueur 1 (par souci de simpli-

cit

´e) et param´etr´ee par la longueur d"arc (jg0j=1). SoitAl"aire enserr´ee par la courbeg. Le but de cet exercice

est de montrer queA14pavec´egalit´e seulement dans le cas du cercle. a) A l"aide la formule de Green-Riemann montrer que A=Z 1

0g1g20=12

ImZ 1 0gg 0: b) Soientcnles coefficients de Fourier deg. Montrer que

1=å

n4p2n2jcnj2 et

A=å

npnjcnj2: c) Conclure. Exercice 6.(In´egalit´e de Bernstein) Soientl1;:::;ln2Rdistincts eth(t) =nå j=1a jeiljto`u les coefficientsajsont des nombres complexes arbitraires. Le but de cet exercice est de montrer l"in

´egalit´e suivante :

kh0kL¥ khkL¥maxjjljj:() a) Soitl=maxjjljj. Montrer qu"il suffit d"avoir l"existence de suitesckettktelles que h

0=¥å

¥c kh(t+tk)et¥å

¥jckj=l:

b) Montrer que h

0(t) =nå

j=1ia jj(lj)eiljt o `uj(x) =lj0(x=l)etj0est´egale`a l"identit´e sur[1;1].

c) On prolongej0parj0(t) =2tsur[1;2]puis par p´eriodicit´e de p´eriode 4. Montrer que la fonction

y(x) =j0(x+1)a tous les coefficients de Fourier positifs. Exprimer les coefficients de Fourier dej0en

fonction de ceux dey. d) Montrer l"existence des suitesckettkcomme dans la question a). 5

Exercice 7.(´Equation de la chaleur) Soithune fonctionC1sur[0;p]telle queh(0) =h(p) =0. Le but de cet

exercice est de montrer que le probl `eme mixte pour l"´equation de la chaleur u(t;0) =u(t;p) =0 pourt0 (condition de Dirichlet) u(0;x) =h(x)pour 0xp(condition de Cauchy) admet exactement une solutionu=u(t;x)continue pourt0, 0xpet de classeC2pourt>0, 0

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