[PDF] [PDF] Chapitre 7 Séries de Fourier

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Chapitre7

S´eriesdeFourier

Danscechapit re,nous allons´etudierunerepr´esen tationde sfonctionsp´eriodi quesens´eries

connuessouslenomde Fourier, repr´esen tationqui joueunr ˆolepr´epond´erantenmath ´ematiques

appliqu´ees.Acausedessimplifications que celapermet,nou sconvenons detravailler,d`esle d´epartavecdesfoncti ons`aval eurscompl exes.

7.1Lesnoti onsdebase

D´efinition7.1.1.Ondiraqu'une fonctionf:R!Cestp´eriodiquedep´ eriodeT>0si f(x+T)=f(x),"x#R.(7.1)

Exemple7.1.1.

a)Lesfonctionsc onstantessontp´ eriodiques,pourn'importequellep´e riodeT. b)t$!e it estp´ eriodiquedep´eriode2!. c)Lafonc tiond´efiniepar u(x)=

1six#[2k,2k+1),pourk#Z,

%1six#[2k+1,2k+2],pourk#Z. estp´ eriodiquedep´eriode2. Nousconve nonsd'appelerp´eriodedeflav aleurminimaledeT,sielleexiste,pourlaquelle (7.1)es tsatisfait.Evidemme nt,pourlesconstantes, cettevaleurminimalen'existepas. Lelemme suivantes t´el´ementaire,maisnous l'invoqueronssouve nt. Lemme7.1.1.Soitf:R!Cunefonc tionp´eriodiquedep´ eriodeT.Pourtouta#R, T 0 f(x)dx= a+T a f(x)dx. 109

110CHAPITRE7.S

ERIESDEFOURIER

D´emonstration:D´esignonsparkl'entierpourlequel,a#[kT,(k+1)T).Puis quefest p´eriodique,ona T 0 f(x)dx= T 0 f(x+kT)dx= (k+1)T kT f(y)dy a kT f(y)dy+ (k+1)T a f(y)dy a kT f(y+T)dy+ (k+1)T a f(y)dy a+T (k+1)T f(z)dz+ (k+1)T a f(y)dy= a+T a f(t)dt. Remarque7.1.1.Siunef onction estp´eriodiquede p´eriodeTetsiel le estpaireo`u impaire,ilest souve ntplusagr´eabledetra vaillersurunintervallesym´e triquepa rrapport`a l'origine.Ainsi, a)Sifestpai re,c'est-`a-diref(%x)=f(x),alors pourtout x,ona T 0 f(x)dx= "T 2 T 2 f(x)dx=2 "T 2 0 f(t)dt.(7.2) b)Sifestim paire,c'est-`a-diref(%x)=%f(x),alorsp ourtoutx,ona T 0 f(x)dx= "T 2 T 2 f(x)dx=0.(7.3)

7.1.1Prolongeme ntsp´eriodiques

Danslas uite,nous auronssouventbes oindec onsid ´ererunefonctionf:[0,L)!Ccomme lares trictiond'unefonctionp´eriodique f.Il yaunei nfin it´ edefa¸ condelefaire. a)Onpe utobtenirun prolongement f:R!Cdep´ eriodeT=Ldefdelaf a¸con suivante.Notons& x L 'leplusgrand entie rplusp etitou´egal`a x L etposon s f(x)=f(x%& x L 'L),x#R.

7.1.LESNOTIONS DEBASE111

Prolongementdep´eriode1.

b)Onp eutobtenirunprolongementpair f:R!Cdep´ eriodeT=2Ldefdelaf a¸con suivante: f 1 (x)= f(x),x#[0,L] f(%x),x#[%L,0) puis f(x)=f 1 x%& x+L 2L '2L ,x#R.

Prolongementpairdep´eriod e2.

c)Onpeut obtenirunprolongementimpair f:R!Cdep´ eriodeT=2Ldefdela fa¸consuivan te: f 1 (x)= f(x),x#[0,L] %f(%x),x#[%L,0) puis f(x)=f 1 x%& x+L 2L '2L ,x#R.

Prolongementimpairdep´eri ode2.

112CHAPITRE7.S

ERIESDEFOURIER

7.1.2D´efinitionet calculformel

Observonsd'abordque sig(x)estp´eriodiquedep´eriodeT,alorsf(x) d´ef =g T 2! x est p´eriodiquedep´eriode2!.Nou spouvonsd oncnouslimiteraucaso `uT=2!. D´efinition7.1.2.Etantdonn´eeu nefonctionf:R!Cp´eriodiquedep´eriode2!et born´ee,onappellecoe!cientsdeFouriercomp lexes deflesnombresc omplexesd´efinispar f k 1 2! 2! 0 f(x)e !ikx dx.(7.4) Onapp elles´eriedeFourierdeflas´ erieformelle f(x)( k=!" f k e ikx .(7.5) Remarque7.1.2.Iciil estimport antd 'expliciterlanotation. k=!" z k =lim n#" n k=!n z k Donc,pourunes´ eriedeFourie r,lessom mespartiellesquinou sint´ eressentsontdelaforme S n (x)= n k=!n f k e ikx .(7.6) Unefon ctionp´eriodiquedecetyp eseraappel´eepolynˆometrigonom´etriqu ed'ordren.L'en- sembledecespolyn ˆomesestnot ´eT n

Exemple7.1.2.

a)f(x)=cosx= 1 2 (e ix +e !ix ).Notonsd'abordqu e 2! 0 e !ikx dx= 1 ik e !ik2! %1 =0,k)=0

2!,k=0.

(7.7)

Donc,par(7.4),

f k 1 2 1 2! 2! 0 e !i(k!1)x dx+ 2! 0 e !i(k+1)x dx 1 2 ,k=±1

0,k)=±1.

7.1.LESNOTIONS DEBASE113

b)Consid´eronslafonction f(x)= x,x#[0,!)

2!%x,x#[!,2!)

quel'on ´ete ndp´eriodiquementparf(x+k2!)=f(x),pour toutk#Z. Legraphede ce ttefonc tionestunedentdescie.Un erepr´ esentationd'unedentdescie setr ouveci-dessous.

Unefon ctiondentdescie .

Notonsd'abordqu e

f 0 1 2 !.Pourk)=0 f k 1 2! 0 xe !ikx dx+ 2! (2!%x)e !ikx dx

Enin t´egrantparparties,onobtient

f k 1 2! 1 k 2 %1+(%1) k +(k!)i(%1) k %(k!)i(%1) k +(%1) k %1 1 k 2 (%1) k %1 2 k 2 ,kimpair

0,kpair.

Sinousf ormonslas ommed'ordre5delas ´erie deFourier,nousobte nonsle polynˆome trigonom´etrique S 5 (x)= 5 k=!5 f k e ikx f !4 e !4ix f !2 e !2ix f 0 f 2 e 2ix f 4 e 4ix etnou spouvonssup erposersongraphe`aceluide fcommesuit,

114CHAPITRE7.S

ERIESDEFOURIER

Figure7.1-Approx ima tiond'ordre5d'unedentdescie .Observonsque,mˆemesil'ap- proximationestraisonnable,c'esta uxpointso `ulafonctionestirr´eguli`erequenous avonsle plusdedi cult´e. c)Pourlafonc tionen escalierf(x)=

1,x#[0,!)

%1,x#[!,2!) ,nousavonsque f k 1 2! 0 e !ikx dx% 2! e !ikx dx

0,k=0,

1 2! 2 ik

1%(%1)

k ,k)=0 2i k ,kimpair

0,kpair.

Voiciunecomp araisongr aphiqueentrefetla sommepart ielled'ordr e9 Cettefois,ladi scontinui t´erend l'approximationdi cile.

7.1.LESNOTIONS DEBASE115

Remarque7.1.3.

a)Sifd´esigneleconjugu´ecomp lexed ef,alorsona f k f !k

Enpar ticulier,sifest`a valeursr ´eelles,

f k f !k (7.8) b)Sifestun efonction`av aleursr´eelles,onpeutd´ ecomposerle calculde f k commesuit f k 1 2! 2! 0 f(x)cos(kx)dx%i 1 2! 2! 0 f(x)sin(kx)dx.

Posons

a k 1 2! 0 f(x)cos(kx)dx b k 1 2! 0 f(x)sin(kx)dx. (7.9)

Lescoe

cientsa k ,b k sontappel ´escoe!cientsdeFourierr ´eelsde fet,envert ude (7.8) onales relations f 0quotesdbs_dbs33.pdfusesText_39

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