2. Séries de Taylor PDF Développement de Taylor. 3.

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Formules de Taylor

La formule de Taylor du nom du mathématicien Brook Taylor qui l'établit en 1712

Formule de Taylor développements limités

http://www.gm.univ-montp2.fr/spip/IMG/pdf/mathsTD4.pdf

Chapitre 4 Formules de Taylor

4! . b) Considérons encore x ?? ex. La formule de Taylor-Lagrange `a l'ordre 4 au voisinage.

Fonctions de plusieurs variables

1 nov. 2004 Théor`eme 3 (Développement limité de Taylor-Young). Soit f une fonction de deux variables définie au voisinage de 0.

1 La formule de Taylor-Young

1 La formule de Taylor-Young. 1.1 Théor`eme. Soit I un intervalle ouvert non vide de R et soit a un point de I. Soit f : I ? R une fonction et n un entier

FORMULAIRE SUR LES DÉVÉLOPPEMENT DE TAYLOR EN 0

FORMULAIRE SUR LES DÉVÉLOPPEMENT DE TAYLOR EN 0. Pour les fonctions suivantes x est dans un intervalle qui contient 0 et dans lequel la fonction est

Formules de Taylor. Applications. 1 Formule de Taylor avec reste

a(b ? t)nf(n+1)(t) dt. Définition 1.1 On appelle partie réguli`ere d'ordre n du développement de Taylor de f en a le polynôme Pn(

Développements limités

Avec une formule de Taylor à l'ordre 2 de 1 + x trouver une approximation de. 1

Corrigé (des exercices 1-8) du TD no 9 — Formules de Taylor

(a) Formule de Taylor-Young : supposons que f soit de classe Cn sur Un développement limité de f en x0 à l'ordre n est la donnée d'un polynôme P de ...

2. Séries de Taylor

Développement de Taylor. 3. Convergence. 4. Techniques. Séries enti`eres. Soit x ? R et f une fonction. Une série enti`ere est de la forme.

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La formule de Taylor du nom du mathématicien Brook Taylor qui l'établit en Une autre façon d'écrire un développement de Taylor au point x0 consiste `a

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La formule de Taylor du nom du mathématicien Brook Taylor qui l'établit en 1712 permet l'approximation d'une fonction plusieurs fois dérivable au

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Formules de Taylor et développements limités Table des matières 1 Formule de Taylor avec reste intégral 2 2 Inégalité de Taylor-Lagrange

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Le développement limité de MAC LAURIN au voisinage de x = 0 à l'ordre "n" pour une fonction "f" indéfiniment dérivable s'écrit : /(x) = /(0) + x/'(0) +x2

[PDF] Chapitre 4 LA FORMULE DE TAYLOR ET SES APPLICATIONS

LA FORMULE DE TAYLOR ET SES APPLICATIONS Nous avons vu dans le premier chapitre qu'un probl`eme important en analyse est le calcul de limites Par exemple

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1 La formule de Taylor-Young 1 1 Théor`eme Soit I un intervalle ouvert non vide de R et soit a un point de I Soit f : I ? R une fonction et n un entier

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Donner un développement limité `a l'ordre 3 en 0 de f Exercice 4 7 (DL d'une fonction réciproque) On définit f sur R par f(x)=2x + sinx

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28 mar 2017 · FiGURe 3 – Fonctions sinus et cosinus avec leurs premiers polynômes de Taylor en 0 Constatez que le développement du sinus ne contient que des

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Formule de Taylor-Young Rappels Énoncé Comparaison Taylor-Lagrange/Taylor-Young Cas des fonctions usuelles 2 Développements limités DL en un point

[PDF] Formules de Taylor et Développements Limités

Par récurrence la formule est donc bien montrée pour n'importe quel n ? N Exemple : Prenons la fonction exponentielle f(x) = exp(x) qui est bien de classe C

Quel est la formule de Taylor ?
La formule de Taylor, du nom du mathématicien Brook Taylor qui l'établit en 1712, permet l'approximation d'une fonction plusieurs fois dérivable au voisinage d'un point par un polynôme dont les coefficients dépendent uniquement des dérivées de la fonction en ce point.
Comment utiliser la formule de Taylor ?
La formule de Taylor donne une réponse simple `a ces deux probl`emes. La rêgle de l'Hôpital* est un moyen simple de calculer certaines limites de la forme indéterminée 0/0 ou ?/?. On peut rendre l'argument plus rigoureux en utilisant la formule du chapitre 2 : f(a + ?x) = f(a) + f (a)?x + o(?x) .
Comment appliquer la formule de Taylor Lagrange ?
g(n+1)(t) = fn+1(t). On peut alors appliquer le théor`eme de Taylor-Lagrange `a g, qui vérifie l'hypoth`ese restrictive sous laquelle il est déj`a connu. On obtient l'existence d'un c tel que : g(b) = g(a) + g(n+1)(c)(b ? a)n+1 (n + 1)
En mathématiques, les développements limités permettent de trouver plus simplement des limites de fonctions, de calculer des dérivées, de prouver qu'une fonction est intégrable ou non, ou encore d'étudier des positions de courbes par rapport à des tangentes. Ils permettent également l'obtention d'équivalents.

1. S´eries enti`eres2. D´eveloppement de Taylor3. Convergence4. Techniques

2. S´eries de Taylor

MTH1101

C. Audet, G. Jomphe, S. Le Digabel

Polytechnique Montr´eal

A2022 v3

MTH1101: Calcul I1/27

1. S´eries enti`eres2. D´eveloppement de Taylor3. Convergence4. Techniques

Plan

1. S´eries enti`eres

2. D´eveloppement de Taylor

3. Convergence

4. Techniques

MTH1101: Calcul I2/27

1. S´eries enti`eres2. D´eveloppement de Taylor3. Convergence4. Techniques

1. S´eries enti`eres

2. D´eveloppement de Taylor

3. Convergence

4. Techniques

MTH1101: Calcul I3/27

1. S´eries enti`eres2. D´eveloppement de Taylor3. Convergence4. Techniques

S´eries enti`eres

Soitx∈Retfune fonction. Unes ´erieenti `ereest de la fo rme X n=0b nxn=b0+b1x+b2x2+b3x3+...=f(x) (la d´eifinition defn'est pas n´ecessaire pour les s´eries enti`eres)

On peut aussi l'´ecrire comme

centr ´eeen a∈R: X n=0b nxn=∞X n=0c n(x-a)n=c0+c1(x-a)+c2(x-a)2+c3(x-a)3+... Les coeiÌifiÌicientsbnetcnpeuvent d´ependre den Attention :Les puissances dexdoivent ˆetre≥0:

La s´erieP∞

n=01x nn'est pas enti`ereMTH1101: Calcul I4/27

1. S´eries enti`eres2. D´eveloppement de Taylor3. Convergence4. Techniques

Rayon de convergence d'une s´erie enti`ere

Pour toute s´erie enti`eref(x) =P∞

n=0cn(x-a)n, il existe un rayon de convergenceR≥0tel que

La s´erie converge pour toutx∈]a-R;a+R[

La s´erie diverge pour toutxtel que|x-a|> R

La s´erie peut converger ou diverger pourx=a±R

Remarques :

SiR= 0, la s´erie converge uniquement pourx=a

SiR=∞, la s´erie converge pour toutx∈R L'intervalle de convergence correspond aux valeurs dex permettant d'exprimerf(x)comme la s´erie enti`ere Exemple :Pour la s´erie g´eom´etriqueP∞ n=0xn=11-x=f(x), R= 1et l'intervalle de convergence est]-1;1[MTH1101: Calcul I5/27

1. S´eries enti`eres2. D´eveloppement de Taylor3. Convergence4. Techniques

Convergence d'une s´erie enti`ere : Test de

d'Alembert

Soit la s´erie enti`ere

∞P n=0a n=∞P n=0c n(x-a)netL= limn→∞ an+1a n

On sait que

SiL <1: La s´erie converge, et donc quex∈]a-R;a+R[

SiL >1: La s´erie diverge et donc|x-a|> R

SiL= 1: On ne peut rien dire

Ainsi, on peut en d´eduire que

R= limn→∞

c nc n+1

MTH1101: Calcul I6/27

1. S´eries enti`eres2. D´eveloppement de Taylor3. Convergence4. Techniques

Convergence d'une s´erie enti`ere : Test de Cauchy

Soit la s´erie enti`ere

∞P n=0a n=∞P n=0c n(x-a)netL= limn→∞np|an| SiL <1: La s´erie converge, et doncx∈]a-R;a+R[

SiL >1: La s´erie diverge et donc|x-a|> R

SiL= 1: On ne peut rien dire

On peut en d´eduire que

R=1lim

n→∞np|cn|MTH1101: Calcul I7/27

1. S´eries enti`eres2. D´eveloppement de Taylor3. Convergence4. Techniques

Int´egration et d´erivation d'une s´erie enti`ere

Soit la s´erie enti`ere

∞P n=0c n(x-a)n. Sous certaines hypoth`eses, on aura ddx ∞P n=0c n(x-a)n =∞P n=0ddx [cn(x-a)n]

R∞P

n=0c n(x-a)n dx=∞P n=0Rcn(x-a)ndx Le rayon de convergence ne change pas mais les extr´emit´es de l'intervalle de convergence peuvent changer

MTH1101: Calcul I8/27

1. S´eries enti`eres2. D´eveloppement de Taylor3. Convergence4. Techniques

1. S´eries enti`eres

2. D´eveloppement de Taylor

3. Convergence

4. Techniques

MTH1101: Calcul I9/27

1. S´eries enti`eres2. D´eveloppement de Taylor3. Convergence4. Techniques

Polynˆomes

Forme g´en´erale d'un polynˆome en(x-a)de degr´en: P n(x) =c0+c1(x-a) +c2(x-a)2+...+cn(x-a)n Peut se r´e´ecrire sous la forme ´equivalente P n(x) =b0+b1x+b2x2+...+bnxn a,c0,c1,c2,...,cn,b0,b1,b2,...,bnsont des constantesMTH1101: Calcul I10/27

1. S´eries enti`eres2. D´eveloppement de Taylor3. Convergence4. Techniques

Formule de Taylor avec reste int´egral

Soitfune fonction telle que ses d´eriv´ees (n+1)i`emes existent et sont continues sur[a;x] Le d ´eveloppementde T aylor de fautour deaest f(x) =f(a)+f′(a)(x-a)1! +f′′(a)(x-a)22! +...+f(n)(a)(x-a)nn!+Rn(x)

Reste int´egral de Laplace d'ordren:

R n(x) =x Z af (n+1)(t)(x-t)nn!dt

Pourn= 1:f(x) =f(a) +f′(a)(x-a) +xR

af′′(t)(x-t)dtMTH1101: Calcul I11/27

1. S´eries enti`eres2. D´eveloppement de Taylor3. Convergence4. Techniques

D´eveloppement de Taylor

f(x) =f(a) +f′(a)(x-a)1! +f′′(a)(x-a)22! +...+f(n)(a)(x-a)nn!+Rn(x) f(x) =Pn(x) +Rn(x)

Pn(x)est lep olynˆomede T aylor

D´eveloppement de Taylor defautour du pointa:

f(x) =∞X n=0f (n)(a)(x-a)nn!

Pn(x) =nP

k=0f (k)(a)(x-a)kk!etRn(x) =∞P k=n+1f (k)(a)(x-a)kk!MTH1101: Calcul I12/27

1. S´eries enti`eres2. D´eveloppement de Taylor3. Convergence4. Techniques

D´eveloppement de MacLaurin

f(x) =f(a) +f′(a)(x-a)1! +f′′(a)(x-a)22! +...+f(n)(a)(x-a)nn!+Rn(x) Le d ´eveloppementde MacLaurin est le d ´eveloppementde T aylor aveca= 0: f(x) =f(0) +f′(0)x1! +f′′(0)x22! +...+f(n)(0)xnn!+Rn(x) ∞X n=0f (n)(0)xnn!MTH1101: Calcul I13/27

1. S´eries enti`eres2. D´eveloppement de Taylor3. Convergence4. Techniques

Interpr´etation graphique

Voir exercices 2.3.7 et 2.3.8 p.78 :

MTH1101: Calcul I14/27

1. S´eries enti`eres2. D´eveloppement de Taylor3. Convergence4. Techniques

Approximation d'une fonction par un polynˆome

f(x) =f(a) +f′(a)(x-a)1! +f′′(a)(x-a)22! +...+f(n)(a)(x-a)nn!+Rn(x) On peut approximerf(x)par le polynˆome suivant d'ordren: f(x)≃Pn(x) =nX k=0f (k)(a)(x-a)kk!

Erreur d'approximation :

Pn(x)convergera versf(x)si et seulement si

lim n→∞|Rn(x)|= 0MTH1101: Calcul I15/27

1. S´eries enti`eres2. D´eveloppement de Taylor3. Convergence4. Techniques

Majoration du reste

Pour obtenir la valeur def(x), avec une pr´ecision donn´ee, on cherche un majorant deRn(x)et une valeur dentelle que ce majorant soit inf´erieur `a la pr´ecision exig´ee Il suiÌifiÌit ensuite d'´evaluerPn(x)pour obtenir la valeur approximative def(x)

Unmajorantest :

|Rn(x)|= x Z af (n+1)(t)(x-t)nn!dt =|f(x)-Pn(x)| f(n+1)(c)|x-a|n+1(n+ 1)! avecc∈[a;x]tel que|f(n+1)(c)| ≥ |f(n+1)(t)| ∀t∈[a;x]MTH1101: Calcul I16/27

1. S´eries enti`eres2. D´eveloppement de Taylor3. Convergence4. Techniques

Exemple 1

1.Calculer le d´eveloppement en s´erie de Taylor de la fonction

f(x) =exautour du pointa= 0

2.Pour quelles valeurs dexce d´eveloppement est-il valide?

3.Sachant quex∈[0;1], donner un majorant du reste|Rn(x)|

4.Quel devrait ˆetre le degr´enminimum du polynˆome qui assure

5.Donner une approximation dee12

avec une pr´ecision d'au moins0.01MTH1101: Calcul I17/27

1. S´eries enti`eres2. D´eveloppement de Taylor3. Convergence4. Techniques

Exemple 2

1.Calculer le d´eveloppement en s´erie de Taylor de la fonction

f(x) = (1 +x)pautour dea= 0, avecp∈N

2.Qu'aurai-t-on pourp=-1?MTH1101: Calcul I18/27

1. S´eries enti`eres2. D´eveloppement de Taylor3. Convergence4. Techniques

1. S´eries enti`eres

2. D´eveloppement de Taylor

3. Convergence

4. Techniques

MTH1101: Calcul I19/27

1. S´eries enti`eres2. D´eveloppement de Taylor3. Convergence4. Techniques

Convergence non obligatoire versf(x)

f(x) =0x= 0 e -1/x2x̸= 0

Toutes les d´eriv´ees def(x)sont nulles en0

Le polynˆomome de Taylor def(x)autour de0est nul

MaisPn(x)ne converge pas versf(x)pour toutes les valeurs dex̸= 0:-4,8-4-3,2-2,4-1,6-0,800,81,62,43,244,80,250,50,7511,251,51,752

SérieMTH1101: Calcul I20/27

1. S´eries enti`eres2. D´eveloppement de Taylor3. Convergence4. Techniques

Exemple 3

Montrer que les s´eries suivantes sont valides pour|x|<1:

11-x= 1 +x+x2+x3+...=∞X

n=0x n

11 +x2= 1-x2+x4-x6+...=∞X

n=0(-1)nx2nMTH1101: Calcul I21/27

1. S´eries enti`eres2. D´eveloppement de Taylor3. Convergence4. Techniques

1. S´eries enti`eres

2. D´eveloppement de Taylor

3. Convergence

4. Techniques

MTH1101: Calcul I22/27

1. S´eries enti`eres2. D´eveloppement de Taylor3. Convergence4. Techniques

Techniques

D'autres techniques que la formule de Taylor existent pour exprimer une fonction sous la forme d'une s´erie de Taylor Il suiÌifiÌit de connaˆıtre le d´eveloppement en s´erie de Taylor de quelques fonctions de base Puis utiliser des techniques comme la substitution, la d´erivation, et l'int´egration

MTH1101: Calcul I23/27

1. S´eries enti`eres2. D´eveloppement de Taylor3. Convergence4. Techniques

Technique de substitution

Soientfetgdes fonctions dont les s´eries de Taylor convergent sur les intervallesIfetIg Alors la s´erie de Taylor de la compositionh(x) =f(g(x)) peut ˆetre obtenue en substituant la s´erie de Taylor degdans celle def, puis en regroupant les termes La s´erie ainsi obtenue convergera versh(x)pour tous les pointsxtels quex∈Igetg(x)∈IfMTH1101: Calcul I24/27

1. S´eries enti`eres2. D´eveloppement de Taylor3. Convergence4. Techniques

Technique de substitution : Exemples

Exemple 4 :En consid´erantg(x) =x2etf(x) =ex, trouver le d´eveloppement de Taylor deh(x) =f(g(x)) =ex2autour de0 Exemple 5 :Trouver le d´eveloppement de Taylor deecosx autour de0. Commencer par donner le d´eveloppement de cosxautour de0MTH1101: Calcul I25/27

1. S´eries enti`eres2. D´eveloppement de Taylor3. Convergence4. Techniques

Technique de d´erivation

Cette technique consiste `ad´eriverchacun des termes de la s´erie associ´ee `a une fonction pour obtenir celle recherch´ee Exemple 6 :Trouver la s´erie de Taylor decosxautour de0 en sachant que la s´erie de Taylor desinxautour de0est sinx=∞X n=0(-1)nx2n+1(2n+ 1)!MTH1101: Calcul I26/27

1. S´eries enti`eres2. D´eveloppement de Taylor3. Convergence4. Techniques

Technique d'int´egration

Cette technique consiste `aint´egrerchacun des termes de la s´erie associ´ee `a une fonction pour obtenir celle recherch´ee Exemple 7 :Trouver la s´erie de Taylor dearctanxautour de0en sachant que la s´erie de Taylor de11+x2autour de0est

11 +x2=∞X

n=0(-1)nx2nMTH1101: Calcul I27/27quotesdbs_dbs33.pdfusesText_39

[PDF] 2. Séries de Taylor Développement de Taylor. 3.

Quel est la formule de Taylor ?

Comment utiliser la formule de Taylor ?

Comment appliquer la formule de Taylor Lagrange ?

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2. S´eries de Taylor

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1. S´eries enti`eres

2. D´eveloppement de Taylor

3. Convergence

4. Techniques

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1. S´eries enti`eres

2. D´eveloppement de Taylor

3. Convergence

4. Techniques

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S´eries enti`eres

On peut aussi l'´ecrire comme

La s´erieP∞

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Rayon de convergence d'une s´erie enti`ere

Pour toute s´erie enti`eref(x) =P∞

La s´erie converge pour toutx∈]a-R;a+R[

La s´erie diverge pour toutxtel que|x-a|> R

Remarques :

SiR= 0, la s´erie converge uniquement pourx=a

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Convergence d'une s´erie enti`ere : Test de

Soit la s´erie enti`ere

On sait que

SiL >1: La s´erie diverge et donc|x-a|> R

SiL= 1: On ne peut rien dire

Ainsi, on peut en d´eduire que

R= limn→∞

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1. S´eries enti`eres2. D´eveloppement de Taylor3. Convergence4. Techniques

Soit la s´erie enti`ere

SiL >1: La s´erie diverge et donc|x-a|> R

SiL= 1: On ne peut rien dire

On peut en d´eduire que

R=1lim

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Soit la s´erie enti`ere

R∞P

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1. S´eries enti`eres

2. D´eveloppement de Taylor

3. Convergence

4. Techniques

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Polynˆomes

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Formule de Taylor avec reste int´egral

Reste int´egral de Laplace d'ordren:

Pourn= 1:f(x) =f(a) +f′(a)(x-a) +xR

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D´eveloppement de Taylor

Pn(x)est lep olynˆomede T aylor

D´eveloppement de Taylor defautour du pointa:

Pn(x) =nP

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D´eveloppement de MacLaurin

1. S´eries enti`eres2. D´eveloppement de Taylor3. Convergence4. Techniques

Interpr´etation graphique

Voir exercices 2.3.7 et 2.3.8 p.78 :

MTH1101: Calcul I14/27

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Approximation d'une fonction par un polynˆome

Erreur d'approximation :

Pn(x)convergera versf(x)si et seulement si

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