[PDF] Chapitre 4 Formules de Taylor PDF

Previous PDF

Next PDF

Formules de Taylor

La formule de Taylor du nom du mathématicien Brook Taylor qui l'établit en 1712

Formule de Taylor développements limités

http://www.gm.univ-montp2.fr/spip/IMG/pdf/mathsTD4.pdf

Chapitre 4 Formules de Taylor

4! . b) Considérons encore x ?? ex. La formule de Taylor-Lagrange `a l'ordre 4 au voisinage.

Fonctions de plusieurs variables

1 nov. 2004 Théor`eme 3 (Développement limité de Taylor-Young). Soit f une fonction de deux variables définie au voisinage de 0.

1 La formule de Taylor-Young

1 La formule de Taylor-Young. 1.1 Théor`eme. Soit I un intervalle ouvert non vide de R et soit a un point de I. Soit f : I ? R une fonction et n un entier

FORMULAIRE SUR LES DÉVÉLOPPEMENT DE TAYLOR EN 0

FORMULAIRE SUR LES DÉVÉLOPPEMENT DE TAYLOR EN 0. Pour les fonctions suivantes x est dans un intervalle qui contient 0 et dans lequel la fonction est

Formules de Taylor. Applications. 1 Formule de Taylor avec reste

a(b ? t)nf(n+1)(t) dt. Définition 1.1 On appelle partie réguli`ere d'ordre n du développement de Taylor de f en a le polynôme Pn(

Développements limités

Avec une formule de Taylor à l'ordre 2 de 1 + x trouver une approximation de. 1

Corrigé (des exercices 1-8) du TD no 9 — Formules de Taylor

(a) Formule de Taylor-Young : supposons que f soit de classe Cn sur Un développement limité de f en x0 à l'ordre n est la donnée d'un polynôme P de ...

2. Séries de Taylor

Développement de Taylor. 3. Convergence. 4. Techniques. Séries enti`eres. Soit x ? R et f une fonction. Une série enti`ere est de la forme.

[PDF] Chapitre 4 Formules de Taylor

La formule de Taylor du nom du mathématicien Brook Taylor qui l'établit en Une autre façon d'écrire un développement de Taylor au point x0 consiste `a

[PDF] Formules de Taylor

La formule de Taylor du nom du mathématicien Brook Taylor qui l'établit en 1712 permet l'approximation d'une fonction plusieurs fois dérivable au

[PDF] Chapitre 11 Formules de Taylor et développements limités - Unisciel

Formules de Taylor et développements limités Table des matières 1 Formule de Taylor avec reste intégral 2 2 Inégalité de Taylor-Lagrange

[PDF] developpements limités usuels

Le développement limité de MAC LAURIN au voisinage de x = 0 à l'ordre "n" pour une fonction "f" indéfiniment dérivable s'écrit : /(x) = /(0) + x/'(0) +x2

[PDF] Chapitre 4 LA FORMULE DE TAYLOR ET SES APPLICATIONS

LA FORMULE DE TAYLOR ET SES APPLICATIONS Nous avons vu dans le premier chapitre qu'un probl`eme important en analyse est le calcul de limites Par exemple

[PDF] 1 La formule de Taylor-Young

1 La formule de Taylor-Young 1 1 Théor`eme Soit I un intervalle ouvert non vide de R et soit a un point de I Soit f : I ? R une fonction et n un entier

[PDF] Formules de Taylor et développements limités

Donner un développement limité `a l'ordre 3 en 0 de f Exercice 4 7 (DL d'une fonction réciproque) On définit f sur R par f(x)=2x + sinx

[PDF] Développements limités

28 mar 2017 · FiGURe 3 – Fonctions sinus et cosinus avec leurs premiers polynômes de Taylor en 0 Constatez que le développement du sinus ne contient que des

[PDF] Développements limités

Formule de Taylor-Young Rappels Énoncé Comparaison Taylor-Lagrange/Taylor-Young Cas des fonctions usuelles 2 Développements limités DL en un point

[PDF] Formules de Taylor et Développements Limités

Par récurrence la formule est donc bien montrée pour n'importe quel n ? N Exemple : Prenons la fonction exponentielle f(x) = exp(x) qui est bien de classe C

Quel est la formule de Taylor ?
La formule de Taylor, du nom du mathématicien Brook Taylor qui l'établit en 1712, permet l'approximation d'une fonction plusieurs fois dérivable au voisinage d'un point par un polynôme dont les coefficients dépendent uniquement des dérivées de la fonction en ce point.
Comment utiliser la formule de Taylor ?
La formule de Taylor donne une réponse simple `a ces deux probl`emes. La rêgle de l'Hôpital* est un moyen simple de calculer certaines limites de la forme indéterminée 0/0 ou ?/?. On peut rendre l'argument plus rigoureux en utilisant la formule du chapitre 2 : f(a + ?x) = f(a) + f (a)?x + o(?x) .
Comment appliquer la formule de Taylor Lagrange ?
g(n+1)(t) = fn+1(t). On peut alors appliquer le théor`eme de Taylor-Lagrange `a g, qui vérifie l'hypoth`ese restrictive sous laquelle il est déj`a connu. On obtient l'existence d'un c tel que : g(b) = g(a) + g(n+1)(c)(b ? a)n+1 (n + 1)
En mathématiques, les développements limités permettent de trouver plus simplement des limites de fonctions, de calculer des dérivées, de prouver qu'une fonction est intégrable ou non, ou encore d'étudier des positions de courbes par rapport à des tangentes. Ils permettent également l'obtention d'équivalents.

Chapitre 4Formules de Taylor

La formule de Taylor, du nom du math´ematicien Brook Taylor qui l"´etablit en 1715, permet l"approximation d"une fonction plusieurs fois d´erivable au voisinage d"un point par

un polynˆome dont les coefficients d´ependent uniquement des d´eriv´ees de la fonction en ce

point. La premi`ere ´etape est la formule (0+) =(0) +(0) +() qui montre que, siest d´erivable, alorsest approch´ee par un polynˆome de degr´e 1 (une droite). Comment faire pour augmenter le degr´e?

4.1 Les trois formules de Taylor

Notations 4.1.1.Soientun intervalle deR,0un point int´erieur `a, et:R une fonction. On fixe un entier naturel. On dit qu"une fonction est de classesursi elle estfois d´erivable sur, et si sa d´eriv´ee-i`eme est continue sur. Th´eor`eme 4.1.2(Taylor-Young).Supposons quesoit de classesur. Alors, pour toutRtel que0+appartienne `aon peut ´ecrire (0+) =(0) +(0) +2

2!(2)(0) ++!()(0) +()

=0 !()(0) +() o`u()est une fonction qui tend vers0quandtend vers0. 40

D´efinition 4.1.3.La somme?

=0 !()(0) s"appelle le polynˆome de Taylor de`a l"ordreau point0. Par convention, 0! = 1! = 1. Remarque.Une autre fa¸con d"´ecrire un d´eveloppement de Taylor au point0consiste `a poser=0+. Le th´eor`eme de Taylor-Young s"´enonce alors de la fa¸con suivante : si est de classesur, alors pour touton peut ´ecrire =0(0) !()(0) + (0)(0) o`u(0) tend vers 0 quandtend vers0. Exemples.a) La formule de Taylor-Young pour la fonction sin() `a l"ordre 2+ 1 en 0 s"´ecrit sin() =3

3!+55!++ (1)2+1(2+ 1)!+2+1()

En effet, on doit calculer les d´eriv´ees successives de sin() en 0. Nous avons sin(0) = 0sin(0) = cos(0) = 1sin(0) =sin(0) = 0

Plus g´en´eralement, pour toutNnous avons

sin (2)(0) = 0 et sin(2+1)(0) = (1)cos(0) = (1) d"o`u le r´esultat. b) La formule de Taylor-Young pour la fonction`a l"ordreen 0 s"´ecrit = 1 ++2

2+33!++!+()

En effet,est sa propre d´eriv´ee.

Par exemple, poursuffisamment petit, le polynˆome3

3!donne une valeur approch´ee

de sin(). On aimerait connaˆıtre la pr´ecision de cette approximation, c"est-`a-dire contrˆoler

la taille du reste3(). Nous allons d"abord exprimer le reste sous la forme de Lagrange,ce qui constitue une g´en´eralisation du th´eor`eme des accroissements finis. Th´eor`eme 4.1.4(Taylor-Lagrange).Supposons quesoit de classe+1sur. Alors, pour toutRtel que0+appartienne `a, il existe]01[tel que l"on ait (0+) =? =0 !()(0) ++1(+ 1)!(+1)(0+) (notons ici qued´epend de). 41
Exemples.a) Consid´erons `a nouveau la fonction sin(). La formule de Taylor-Lagrange `a l"ordre 3 au voisinage de 0 s"´ecrit sin() =3

3!+44!cos()

avec]01[. Ainsi, on peut dire que3

3!constitue une valeur approch´ee de sin()

avec une erreur inf´erieure ou ´egale `a 4 4!. b) Consid´erons encore. La formule de Taylor-Lagrange `a l"ordre 4 au voisinage de 0 s"´ecrit = 1 ++2

2+33!+44!+55!

Comme la fonctionest croissante, on peut dire que. Ceci permet par exemple de donner une valeur approch´ee de. En effet, nous avons = 1 + 1 +1

2+16+124+1120

avec 3 donc, l"erreur est de l"ordre de3

120=140.

c) Soitun polynˆome de degr´e au plus. Alorsest de classe+1et(+1)= 0. La formule de Taylor-Lagrange `a l"ordreau voisinage de 0 nous dit que, pour toutR =0 !()(0)

En effet, le reste est nul! Ainsi, les coefficients desont donn´es par les d´eriv´ees successives

deen 0. Ce r´esultat peut aussi se d´emontrer par un calcul alg´ebrique (sans recourir `a l"analyse). D´emonstration de la formule de Taylor-Lagrange.Si= 0, c"est vrai. Fixons= 0, pour simplifier les notations, nous posons=0+. Nous cherchons donc `a montrer l"existence d"un r´eelstrictement compris entre0ettel que l"on ait =0(0) !()(0) +(0)+1(+ 1)!(+1)()

On introduit la fonctiond´efinie par

=0() !()()()+1 o`uest un r´eel choisi de telle fa¸con que(0) = 0, c"est-`a-dire : =0(0) !()(0) +(0)+1 42
Il est clair, vu la d´efinition de, que() = 0. Pour d´emontrer le th´eor`eme, il suffit de montrer queest de la forme(n+1)() (+1)!pour un certain. Vu les hypoth`eses, nous pouvons appliquer le th´eor`eme de Rolle pour trouver(stric- tement compris entre0et) tel que() = 0. Calculons. Par la formule de d´erivation d"un produit, nous avons =1()1 =0()!(+1)() +(+ 1)() 1? =0() !(+1)()? =0()!(+1)() +(+ 1)() d"o`u !(+1)() +(+ 1)() (+1)() !+(+ 1)?

L"´egalit´e() = 0 se traduit donc par :

=(+1)() (+ 1)! d"o`u le r´esultat. D´emonstration de la formule de Taylor-Young.On applique la formule de Taylor-Lagrange `a l"ordre1 pour la fonction. Il existe donc]01[ tel que l"on ait (0+) =1? =0 !()(0) +!()(0+)

On pose alors

() =1 !?()(0+)()(0)? Le nombre, bien que d´ependant de, appartient `a ]01[. Nous avons donc lim

0(0+) =0

Comme()est continue en0, on en d´eduit que

lim

0() = 0

Enfin, par d´efinition mˆeme de, nous avons

!()(0+) =!()(0) +() d"o`u le r´esultat, en injectant ceci dans la formule de d´epart. Il existe aussi une autre expression du reste, qui constitue une g´en´eralisation du th´eor`eme fondamental du calcul diff´erentiel et int´egral (voir le chapitre suivant). Th´eor`eme 4.1.5(Taylor avec reste int´egral).Supposons quesoit de classe+1sur . Alors, pour toutRtel que0+appartienne `aon a (0+) =? =0 !()(0) ++1!? 1 0 (1)(+1)(0+)d

Remarque.Le reste int´egral admet une autre expression. Plus pr´ecis´ement, on a l"´egalit´e

+1 1 0 (1)(+1)(0+)d=? 0+

0(0+)!(+1)()d

qui d´ecoule tout simplement d"un changement de variable0+. Remarque.Pour certaines fonctions, nous pouvons montrer que le reste tend vers z´ero

quandtend vers l"infini; ces fonctions peuvent ˆetre d´evelopp´ees ens´erie de Taylordans

un voisinage du point0et sont appel´ees desfonction analytiques.

4.2 Op´erations sur les polynˆomes de Taylor

Soientetdeux fonctions de classe. Comment obtenir le polynˆome de Taylor de +, de, de , et caetera, `a partir de ceux deet? Commen¸cons par d´emontrer l"unicit´e du polynˆome de Taylor d"une fonction donn´ee en un point donn´e. Lemme 4.2.1.Soitde classesur, et soit0. Supposons qu"il existe un polynˆomede degr´e au pluset une fonctionqui tend vers0en0, tels que l"on ait (0+) =() +() pour touttel que0+. Alorsest le polynˆome de Taylor de`a l"ordreau point0. 44
D´emonstration.Commeest de classe, et queest un polynˆome, la fonction () est ´egalement de classe. De plus, lespremi`eres d´eriv´ees de() s"annulent en 0. On peut donc ´ecrire, pour tout 01, ()(0) =()(0) D"autre part, la formule de Taylor-Lagrange `a l"ordreen 0 pour le polynˆomenous dit que, pour toutR, =0 !()(0) (le reste ´etant nul comme on l"a vu plus haut). Ainsi =0 !()(0) ce qu"on voulait. Voici comment les op´erations alg´ebriques usuelles se traduisent au niveau des po- lynˆomes de Taylor. Th´eor`eme 4.2.2.Soientetdeux fonctions de classesur, et soit0. Soit (resp.) le polynˆome de Taylor de(resp.) `a l"ordreau point0. Alors (1)le polynˆome de Taylor de+`a l"ordreen0est+ (2)le polynˆome de Taylor de`a l"ordreen0esttronqu´e en degr´e (3)si(0)= 0, alors est de classeau voisinage de0et le polynˆome de Taylor de est le quotient deparselon les puissances croissantes `a l"ordre.

Quelques commentaires :

1)est un polynˆome de degr´e au plus 2, sontronqu´e en degr´eest le polynˆome

obtenu en supprimant tous les termes de degr´e strictement sup´erieur `a. Dans la pratique, ce ne sera mˆeme pas la peine de calculer ces termes...

2) Ladivision selon les puissances croissantesdepar`a l"ordreest d´efinie comme

suit : si(0)= 0, alors il existe un unique couple () de polynˆomes tel que l"on ait () =()() ++1() avec deg() On dit queest le quotient deparselon les puissances croissantes `a l"ordre, et queest le reste. Cette division, contrairement `a la division euclidienne despolynˆomes (que l"on appelle aussi division selon les puissances d´ecroissantes), a pour effet d"augmenter le degr´e du reste, au lieu de le diminuer. Ainsi, il n"y a pas une seule divisionselon les puissances croissantes, il y en a une pour chaque ordre. Plusaugmente, plus le degr´e du quotient et du reste augmentent. 45
Exemples.On ´ecrit Taylor-Young `a l"ordre 3 en 0 pour sin() sin() =3

6+31()

et pour ln(1 +) ln(1 +) =2

2+33+32()

quotesdbs_dbs33.pdfusesText_39

[PDF] [PDF] Chapitre 4 Formules de Taylor

Quel est la formule de Taylor ?

Comment utiliser la formule de Taylor ?

Comment appliquer la formule de Taylor Lagrange ?