[PDF] Chapitre 4 LA FORMULE DE TAYLOR ET SES APPLICATIONS PDF

Previous PDF

Next PDF

Formules de Taylor

La formule de Taylor du nom du mathématicien Brook Taylor qui l'établit en 1712

Formule de Taylor développements limités

http://www.gm.univ-montp2.fr/spip/IMG/pdf/mathsTD4.pdf

Chapitre 4 Formules de Taylor

4! . b) Considérons encore x ?? ex. La formule de Taylor-Lagrange `a l'ordre 4 au voisinage.

Fonctions de plusieurs variables

1 nov. 2004 Théor`eme 3 (Développement limité de Taylor-Young). Soit f une fonction de deux variables définie au voisinage de 0.

1 La formule de Taylor-Young

1 La formule de Taylor-Young. 1.1 Théor`eme. Soit I un intervalle ouvert non vide de R et soit a un point de I. Soit f : I ? R une fonction et n un entier

FORMULAIRE SUR LES DÉVÉLOPPEMENT DE TAYLOR EN 0

FORMULAIRE SUR LES DÉVÉLOPPEMENT DE TAYLOR EN 0. Pour les fonctions suivantes x est dans un intervalle qui contient 0 et dans lequel la fonction est

Formules de Taylor. Applications. 1 Formule de Taylor avec reste

a(b ? t)nf(n+1)(t) dt. Définition 1.1 On appelle partie réguli`ere d'ordre n du développement de Taylor de f en a le polynôme Pn(

Développements limités

Avec une formule de Taylor à l'ordre 2 de 1 + x trouver une approximation de. 1

Corrigé (des exercices 1-8) du TD no 9 — Formules de Taylor

(a) Formule de Taylor-Young : supposons que f soit de classe Cn sur Un développement limité de f en x0 à l'ordre n est la donnée d'un polynôme P de ...

2. Séries de Taylor

Développement de Taylor. 3. Convergence. 4. Techniques. Séries enti`eres. Soit x ? R et f une fonction. Une série enti`ere est de la forme.

[PDF] Chapitre 4 Formules de Taylor

La formule de Taylor du nom du mathématicien Brook Taylor qui l'établit en Une autre façon d'écrire un développement de Taylor au point x0 consiste `a

[PDF] Formules de Taylor

La formule de Taylor du nom du mathématicien Brook Taylor qui l'établit en 1712 permet l'approximation d'une fonction plusieurs fois dérivable au

[PDF] Chapitre 11 Formules de Taylor et développements limités - Unisciel

Formules de Taylor et développements limités Table des matières 1 Formule de Taylor avec reste intégral 2 2 Inégalité de Taylor-Lagrange

[PDF] developpements limités usuels

Le développement limité de MAC LAURIN au voisinage de x = 0 à l'ordre "n" pour une fonction "f" indéfiniment dérivable s'écrit : /(x) = /(0) + x/'(0) +x2

[PDF] Chapitre 4 LA FORMULE DE TAYLOR ET SES APPLICATIONS

LA FORMULE DE TAYLOR ET SES APPLICATIONS Nous avons vu dans le premier chapitre qu'un probl`eme important en analyse est le calcul de limites Par exemple

[PDF] 1 La formule de Taylor-Young

1 La formule de Taylor-Young 1 1 Théor`eme Soit I un intervalle ouvert non vide de R et soit a un point de I Soit f : I ? R une fonction et n un entier

[PDF] Formules de Taylor et développements limités

Donner un développement limité `a l'ordre 3 en 0 de f Exercice 4 7 (DL d'une fonction réciproque) On définit f sur R par f(x)=2x + sinx

[PDF] Développements limités

28 mar 2017 · FiGURe 3 – Fonctions sinus et cosinus avec leurs premiers polynômes de Taylor en 0 Constatez que le développement du sinus ne contient que des

[PDF] Développements limités

Formule de Taylor-Young Rappels Énoncé Comparaison Taylor-Lagrange/Taylor-Young Cas des fonctions usuelles 2 Développements limités DL en un point

[PDF] Formules de Taylor et Développements Limités

Par récurrence la formule est donc bien montrée pour n'importe quel n ? N Exemple : Prenons la fonction exponentielle f(x) = exp(x) qui est bien de classe C

Quel est la formule de Taylor ?
La formule de Taylor, du nom du mathématicien Brook Taylor qui l'établit en 1712, permet l'approximation d'une fonction plusieurs fois dérivable au voisinage d'un point par un polynôme dont les coefficients dépendent uniquement des dérivées de la fonction en ce point.
Comment utiliser la formule de Taylor ?
La formule de Taylor donne une réponse simple `a ces deux probl`emes. La rêgle de l'Hôpital* est un moyen simple de calculer certaines limites de la forme indéterminée 0/0 ou ?/?. On peut rendre l'argument plus rigoureux en utilisant la formule du chapitre 2 : f(a + ?x) = f(a) + f (a)?x + o(?x) .
Comment appliquer la formule de Taylor Lagrange ?
g(n+1)(t) = fn+1(t). On peut alors appliquer le théor`eme de Taylor-Lagrange `a g, qui vérifie l'hypoth`ese restrictive sous laquelle il est déj`a connu. On obtient l'existence d'un c tel que : g(b) = g(a) + g(n+1)(c)(b ? a)n+1 (n + 1)
En mathématiques, les développements limités permettent de trouver plus simplement des limites de fonctions, de calculer des dérivées, de prouver qu'une fonction est intégrable ou non, ou encore d'étudier des positions de courbes par rapport à des tangentes. Ils permettent également l'obtention d'équivalents.

[PDF] Chapitre 4 LA FORMULE DE TAYLOR ET SES APPLICATIONS

Formules de Taylor

La formule de Taylor, du nom du math´ematicien Brook Taylor qui l"´etablit en 1712, permet

l"approximation d"une fonction plusieurs fois d´erivableau voisinage d"un point par un polynˆome

dont les coefficients d´ependent uniquement des d´eriv´ees de la fonction en ce point. Notations.SoientIun intervalle deR,x0un point int´erieur `aI, etf:I→Rune fonction.

On fixe un entier natureln.

Th´eor`eme(Taylor-Young).Supposons quefsoit de classeCnsurI. Alors, pour touth?R tel quex0+happartienne `aIon peut ´ecrire f(x0+h) =f(x0) +hf?(x0) +h2

2!f(2)(x0) +···+hnn!f(n)(x0) +hnε(h)

n? k=0h k k!f(k)(x0) +hnε(h) o`uε(h) est une fonction qui tend vers 0 quandhtend vers 0.

D´efinition.La sommen?

k=0h k k!f(k)(x0) s"appelle le polynˆome de Taylor def`a l"ordrenau pointx0. Par convention, 0! = 1! = 1.

Taylor ne s"est pas vraiment pr´eoccup´e de la forme du reste, il faut attendre ses successeurs

pour voir se d´evelopper une maˆıtrise du reste dans certaines conditions plus pr´ecises.

Th´eor`eme(Taylor-Lagrange).Supposons quefsoit de classeCn+1surI. Alors, pour tout h?Rtel quex0+happartienne `aI, il existeθ?]0,1[ tel que l"on ait f(x0+h) =n? k=0h k k!f(k)(x0) +hn+1(n+ 1)!f(n+1)(x0+θh) (notons ici queθd´epend deh). Th´eor`eme(Taylor avec reste int´egral).Supposons quefsoit de classeCn+1surI. Alors, pour touth?Rtel quex0+happartienne `aIon a f(x0+h) =n? k=0h k k!f(k)(x0) +hn+1n!? 1 0 (1-t)nf(n+1)(x0+th)dt

Remarque.Le reste int´egral admet une autre expression. Plus pr´ecis´ement, on a l"´egalit´e

h n+1 n!? 1 0 (1-t)nf(n+1)(x0+th)dt=? x0+h x

0(x0+h-t)nn!f(n+1)(t)dt

qui d´ecoule tout simplement d"un changement de variablet?→x0+th.

Si le reste est exprim´e sous la seconde forme, appel´ee forme de Lagrange, le th´eor`eme de

Taylor repr´esente une g´en´eralisation du th´eor`eme desaccroissements finis (qui peut ˆetre utilis´e

pour d´emontrer cette version), tandis que la troisi`eme expression du reste montre que le th´eor`eme

est une g´en´eralisation du th´eor`eme fondamental du calcul diff´erentiel et int´egral (qui est utilis´e

dans la d´emonstration de cette version). Pour certaines fonctionsf, nous pouvons montrer que le reste tend vers z´ero quandntend

vers l"infini; ces fonctions peuvent ˆetre d´evelopp´ees ens´erie de Taylordans un voisinage du

pointx0et sont appel´ees desfonction analytiques. 1

D´emonstration de la formule de Taylor avec reste int´egral.Montrons le r´esultat par r´ecurrence

surn. Le reste int´egral sera exprim´e sous sa deuxi`eme forme (cf. remarque ci-dessus).

La propri´et´e est vraie au rang 0. En effet, selon le th´eor`eme fondamental de l"analyse, sif

est de classeC1sur [x0,x0+h] alors : f(x0+h) =f(x0) +? x0+h x

0f?(t)dt

Supposons la formule vraie au rangn. Alors pourfde classeCn+2sur [x0,x0+h] on obtient, par int´egration par parties : x0+h x

0(x0+h-t)n

n!f(n+1)(t)dt=? -(x0+h-t)n+1(n+ 1)!f(n+1)(t)? x0+h x 0+? x0+h x

0(x0+h-t)n+1(n+ 1)!f(n+2)(t)dt

hn+1 (n+ 1)!f(n+1)(x0) +? x0+h x

0(x0+h-t)n+1(n+ 1)!f(n+2)(t)dt

De plus, par hypoth`ese de r´ecurrence

f(x0+h) =n? k=0h k k!f(k)(x0) +? x0+h x

0(x0+h-t)nn!f(n+1)(t)dt

on obtient donc f(x0+h) =n? k=0h k k!f(k)(x0) +hn+1(n+ 1)!f(n+1)(x0) +? x0+h x

0(x0+h-t)n+1(n+ 1)!f(n+2)(t)dt

c"est-`a-dire f(x0+h) =n+1? k=0h k k!f(k)(x0) +? x0+h x

0(x0+h-t)n+1(n+ 1)!f(n+2)(t)dt

ce qui montre que notre propri´et´e est vraie au rangn+ 1. Remarque.Sifest de classeCn+1, alors on peut d´eduire facilement la formule de Taylor-Young de la formule de Taylor avec reste int´egral. Il suffit de montrer que la fonction

ε(h) :=h

n!? 1 0 (1-t)nf(n+1)(x0+th)dt tend vers 0 quandhtend vers 0. Or on peut v´erifier que l"int´egrale?1

0(1-t)nf(n+1)(x0+th)dt

est born´ee pourhau voisinage de 0. Remarque.Une autre fa¸con d"´ecrire un d´eveloppement de Taylor au pointx0consiste `a poser

x=x0+h. Le th´eor`eme de Taylor-Young s"´enonce alors de la fa¸consuivante : sifest de classe

C nsurI, alors pour toutx?Ion peut ´ecrire f(x) =n? k=0(x-x0)k k!f(k)(x0) + (x-x0)nε(x-x0) o`uε(x-x0) tend vers 0 quandxtend versx0. 2quotesdbs_dbs33.pdfusesText_39

[PDF] [PDF] Chapitre 4 LA FORMULE DE TAYLOR ET SES APPLICATIONS

Quel est la formule de Taylor ?

Comment utiliser la formule de Taylor ?

Comment appliquer la formule de Taylor Lagrange ?

Formules de Taylor

On fixe un entier natureln.

2!f(2)(x0) +···+hnn!f(n)(x0) +hnε(h)

D´efinition.La sommen?

0(x0+h-t)nn!f(n+1)(t)dt

0f?(t)dt

0(x0+h-t)n

0(x0+h-t)n+1(n+ 1)!f(n+2)(t)dt

0(x0+h-t)n+1(n+ 1)!f(n+2)(t)dt

De plus, par hypoth`ese de r´ecurrence

0(x0+h-t)nn!f(n+1)(t)dt

0(x0+h-t)n+1(n+ 1)!f(n+2)(t)dt

0(x0+h-t)n+1(n+ 1)!f(n+2)(t)dt

ε(h) :=h

0(1-t)nf(n+1)(x0+th)dt