[PDF] Développements limités Avec une formule de Taylor à

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Développements limités

MotivationPrenons l"exemple de la fonction exponentielle. Une idée du comportement de la fonctionf(x) =expxautour du

pointx=0est donné par sa tangente, dont l"équation esty=1+x. Nous avons approximé le graphe par une droite.

Si l"on souhaite faire mieux, quelle parabole d"équationy=c0+c1x+c2x2approche le mieux le graphe defautour

dex=0? Il s"agit de la parabole d"équationy=1+x+12 x2. Cette équation à la propriété remarquable que si on noteg(x) =expx-1+x+12 x2alorsg(0) =0,g′(0) =0etg′′(0) =0. Trouver l"équation de cette parabole c"est

faire un développement limité à l"ordre2de la fonctionf. Bien sûr si l"on veut être plus précis, on continuerait avec

une courbe du troisième degré qui serait en faity=1+x+12 x2+16 x3.xy 1

01y=exy=1+xy=1+x+x22

y=1+x+x22 +x36

Dans ce chapitre, pour n"importe quelle fonction, nous allons trouver le polynôme de degrénqui approche le mieux

la fonction. Les résultats ne sont valables que pourxautour d"une valeur fixée (ce sera souvent autour de0). Ce

polynôme sera calculé à partir des dérivées successives au point considéré. Sans plus attendre, voici la formule, dite

formule de Taylor-Young : f(x) =f(0)+f′(0)x+f′′(0)x22! +···+f(n)(0)xnn!+xnε(x).

DÉVELOPPEMENTS LIMITÉS1. FORMULES DETAYLOR2La partie polynomialef(0)+f′(0)x+···+f(n)(0)xnn!est le polynôme de degrénqui approche le mieuxf(x)autour

dex=0. La partiexnε(x)est le " reste » dans lequelε(x)est une fonction qui tend vers0(quandxtend vers0) et

qui est négligeable devant la partie polynomiale.

1. Formules de Taylor

Nous allons voir trois formules de Taylor, elles auront toutes la même partie polynomiale mais donnent plus ou moins

d"informations sur le reste. Nous commencerons par la formule de Taylor avec reste intégral qui donne une expression

exacte du reste. Puis la formule de Taylor avec restef(n+1)(c)qui permet d"obtenir un encadrement du reste et nous

terminons avec la formule de Taylor-Young très pratique si l"on n"a pas besoin d"information sur le reste.

SoitI⊂Run intervalle ouvert. Pourn∈N∗, on dit quef:I→Rest une fonction declasseCnsifestnfois dérivable

surIetf(n)est continue.fest declasseC0sifest continue surI.fest declasseC∞sifest de classeCnpour

toutn∈N.

1.1. Formule de Taylor avec reste intégralThéorème 1(Formule de Taylor avec reste intégral).

Soit f:I→Rune fonction de classeCn+1(n∈N) et soit a,x∈I. Alorsf(x) =f(a)+f′(a)(x-a)+f′′(a)2!

(x-a)2+···

···+f(n)(a)n!(x-a)n+Rx

af

(n+1)(t)n!(x-t)ndt.Nous noteronsTn(x)la partie polynomiale de la formule de Taylor (elle dépend denmais aussi defeta) :

T n(x) =f(a)+f′(a)(x-a)+f′′(a)2! (x-a)2+···+f(n)(a)n!(x-a)n.

Remarque.

En écrivantx=a+h(et donch=x-a) la formule de Taylor précédente devient (pour toutaeta+hdeI) :

f(a+h) =f(a)+f′(a)h+f′′(a)2! h2+···+f(n)(a)n!hn+Z h 0f (n+1)(a+t)n!(h-t)ndt

Exemple 1.

La fonctionf(x) =expxest de classeCn+1surI=Rpour toutn. Fixonsa∈R. Commef′(x) =expx,f′′(x) =

expx,...alors pour toutx∈R: x aexptn!(x-t)ndt.

Bien sûr si l"on se place ena=0alors on retrouve le début de notre approximation de la fonction exponentielle en

x=0 : expx=1+x+x22! +x33! Preuve du théorème.Montrons cette formule de Taylor par récurrence surk⩽n: f(b) =f(a)+f′(a)(b-a)+f′′(a)2! (b-a)2+···+f(k)(a)k!(b-a)k+Z b a f (k+1)(t)(b-t)kk!dt.

(Pour éviter les confusions entre ce qui varie et ce qui est fixe dans cette preuve on remplacexparb.)

Initialisation.Pourn=0, une primitive def′(t)estf(t)doncRb af′(t)dt=f(b)-f(a), doncf(b) =f(a) +Rb af′(t)dt. (On rappelle que par convention(b-t)0=1 et 0!=1.)

Hérédité.Supposons la formule vraie au rangk-1. Elle s"écritf(b) =f(a)+f′(a)(b-a)+···+f(k-1)(a)(k-1)!(b-a)k-1+Rb

af(k)(t)(b-t)k-1(k-1)!dt.

DÉVELOPPEMENTS LIMITÉS1. FORMULES DETAYLOR3On effectue une intégration par parties dans l"intégraleRb

af(k)(t)(b-t)k-1(k-1)!dt. En posantu(t) =f(k)(t)etv′(t) =(b-t)k-1(k-1)!, on au′(t) =f(k+1)(t)etv(t) =-(b-t)kk!; alors Z b a f(k)(t)(b-t)k-1(k-1)!dt= -f(k)(t)(b-t)kk! b a +Z b a f(k+1)(t)(b-t)kk!dt =f(k)(a)(b-a)kk!+Z b a f(k+1)(t)(b-t)kk!dt.

Ainsi lorsque l"on remplace cette expression dans la formule au rangk-1 on obtient la formule au rangk.

Conclusion.Par le principe de récurrence la formule de Taylor est vraie pour tous les entiersnpour lesquelsfest

classeCn+1.1.2. Formule de Taylor avec restef(n+1)(c)Théorème 2(Formule de Taylor avec restef(n+1)(c)).

Soit f:I→Rune fonction de classeCn+1(n∈N) et soit a,x∈I. Il existe un réel c entre a et x tel que :f(x) =f(a)+f′(a)(x-a)+f′′(a)2!

(x-a)2+··· ···+f(n)(a)n!(x-a)n+f(n+1)(c)(n+1)!(x-a)n+1.Exemple 2.

Soienta,x∈R. Pour tout entiern⩾0il existecentreaetxtel queexpx=expa+expa·(x-a)+···+expan!(x-

a)n+expc(n+1)!(x-a)n+1.

Dans la plupart des cas on ne connaîtra pas cec. Mais ce théorème permet d"encadrer le reste. Ceci s"exprime par le

corollaire suivant :Corollaire 1.

Si en plus la fonction|f(n+1)|est majorée sur I par un réel M, alors pour tout a,x∈I, on a :

f(x)-Tn(x)⩽M|x-a|n+1(n+1)!·Exemple 3.

Approximation de sin(0,01).

Soitf(x) =sinx. Alorsf′(x) =cosx,f′′(x) =-sinx,f(3)(x) =-cosx,f(4)(x) =sinx. On obtient doncf(0) =0,

f′(0) =1,f′′(0) =0,f(3)(0) =-1. La formule de Taylor ci-dessus ena=0à l"ordre3devient :f(x) =0+1·x+0·

x 22!
-1x33! +f(4)(c)x44! , c"est-à-diref(x) =x-x36 +f(4)(c)x424 , pour un certaincentre 0 etx. Appliquons ceci pourx=0,01. Le reste étant petit on trouve alors sin(0,01)≈0,01-(0,01)36 =0,00999983333...

On peut même savoir quelle est la précision de cette approximation : commef(4)(x) =sinxalors|f(4)(c)|⩽1. Doncf(x)-x-x36

⩽x44!. Pourx=0,01cela donne :sin(0,01)-0,01-(0,01)36 ⩽(0,01)424. Comme(0,01)424 ≈4,16·10-10 alors notre approximation donne au moins 8 chiffres exacts après la virgule.

Remarque.

Dans ce théorème l"hypothèsefde classeCn+1peut-être affaiblie enfest "n+1 fois dérivable surI».

" le réelcest entreaetx» signifie "c∈]a,x[ouc∈]x,a[».

Pourn=0c"est exactement l"énoncé du théorème des accroissements finis : il existec∈]a,b[tel quef(b) =

f(a)+f′(c)(b-a).

SiIest un intervalle fermé borné etfde classeCn+1, alorsf(n+1)est continue surIdonc il existe unMtel que

|f(n+1)(x)|⩽Mpour toutx∈I. Ce qui permet toujours d"appliquer le corollaire. Pour la preuve du théorème nous aurons besoin d"un résultat préliminaire.

DÉVELOPPEMENTS LIMITÉS1. FORMULES DETAYLOR4Lemme 1(Égalité de la moyenne).Supposonsa tel queRb au(t)v(t)dt=u(c)Rb av(t)dt.Démonstration. Notonsm=inft∈[a,b]u(t)etM=supt∈[a,b]u(t). On a alorsmRb av(t)dt⩽Rb au(t)v(t)dt⩽ M Rb av (t)dt(carv⩾0). Ainsim⩽R b au(t)v(t)dtR b av(t)dt⩽M. Puisqueuest continue sur[a,b]elle prend toutes les valeurs

comprises entremetM(théorème des valeurs intermédiaires). Donc il existec∈[a,b]avecu(c) =R

b au(t)v(t)dtR b av(t)dt.Preuve du théorème. Pour la preuve nous montrerons la formule de Taylor pourf(b)en supposantaPosonsu(t) =f(n+1)(t)etv(t) =(b-t)nn!(qui est bien positive ou nulle). La formule de Taylor avec reste intégral s"écrit

f(b) =Tn(a) +Rb au(t)v(t)dt. Par le lemme, il existec∈[a,b]tel queRb au(t)v(t)dt=u(c)Rb av(t)dt. Ainsi le reste estRb au(t)v(t)dt=f(n+1)(c)Rb a(b-t)nn!dt=f(n+1)(c) -(b-t)n+1(n+1)!— b a =f(n+1)(c)(b-a)n+1(n+1)!. Ce qui donne la formule recherchée.1.3. Formule de Taylor-Young

Théorème 3(Formule de Taylor-Young).

Soit f:I→Rune fonction de classeCnet soit a∈I. Alors pour tout x∈I on a :f(x) =f(a)+f′(a)(x-a)+f′′(a)2!

(x-a)2+···

···+f(n)(a)n!(x-a)n+(x-a)nε(x),oùεest une fonction définie sur I telle queε(x)--→x→a0.Démonstration.f

étant une fonction de classeCnnous appliquons la formule de Taylor avec restef(n)(c)au rang

n-1. Pour toutx, il existec=c(x)compris entreaetxtel quef(x) =f(a)+f′(a)(x-a)+f′′(a)2!(x-a)2+···+

f(n-1)(a)(n-1)!(x-a)n-1+f(n)(c)n!(x-a)n.Que nous réécrivons :f(x) =f(a)+f′(a)(x-a)+f′′(a)2!(x-a)2+···+f(n)(a)n!(x-a)n+

f(n)(c)-f(n)(a)n!(x-a)n.On poseε(x) =f(n)(c)-f(n)(a)n!. Puisquef(n)est continue et quec(x)→aalorslimx→aε(x) =0.1.4. Un exemple

Soitf:]-1,+∞[→R,x7→ln(1+x);fest infiniment dérivable. Nous allons calculer les formules de Taylor en0

pour les premiers ordres.

Tous d"abordf(0) =0. Ensuitef′(x) =11+xdoncf′(0) =1. Ensuitef′′(x) =-1(1+x)2doncf′′(0) =-1. Puis

f(3)(x) = +21(1+x)3doncf(3)(0) = +2. Par récurrence on montre quef(n)(x) = (-1)n-1(n-1)!1(1+x)net donc

f(n)(0) = (-1)n-1(n-1)!. Ainsi pourn>0 :f(n)(0)n!xn= (-1)n-1(n-1)!n!xn= (-1)n-1xnn

Voici donc les premiers polynômes de Taylor :

T

0(x) =0T1(x) =x T2(x) =x-x22

T3(x) =x-x22

+x33

Les formules de Taylor nous disent que les restes sont de plus en plus petits lorsquencroît. Sur le dessins les graphes

des polynômesT0,T1,T2,T3s"approchent de plus en plus du graphe def. Attention ceci n"est vrai qu"autour de 0.

DÉVELOPPEMENTS LIMITÉS1. FORMULES DETAYLOR5xy 1 0

1y=ln(1+x)y=0y=xy=x-x22y=x-x22

+x33 Pournquelconque nous avons calculé que le polynôme de Taylor en 0 est T n(x) =n X k=1(-1)k-1xkk =x-x22 +x33 -···+(-1)n-1xnn

1.5. Résumé

Il y a donc trois formules de Taylor qui s"écrivent toutes sous la forme f(x) =Tn(x)+Rn(x) oùTn(x)est toujours le même polynôme de Taylor : T n(x) =f(a)+f′(a)(x-a)+f′′(a)2! (x-a)2+···+f(n)(a)n!(x-a)n.

C"est l"expression du resteRn(x)qui change (attention le reste n"a aucune raison d"être un polynôme).

R n(x) =Z x af (n+1)(t)n!(x-t)ndtTaylor avec reste intégral R n(x) =f(n+1)(c)(n+1)!(x-a)n+1Taylor avec restef(n+1)(c),centreaetx R

n(x) = (x-a)nε(x)Taylor-Young avecε(x)--→x→a0Selon les situations l"une des formulations est plus adaptée que les autres. Bien souvent nous n"avons pas besoin de

beaucoup d"information sur le reste et c"est donc la formule de Taylor-Young qui sera la plus utile.

Notons que les trois formules ne requièrent pas exactement les mêmes hypothèses : Taylor avec reste intégral à l"ordre

nexige une fonction de classeCn+1, Taylor avec reste une fonctionn+1fois dérivable, et Taylor-Young une fonction

Cn. Une hypothèse plus restrictive donne logiquement une conclusion plus forte. Cela dit, pour les fonctions de classe

C∞que l"on manipule le plus souvent, les trois hypothèses sont toujours vérifiées.

Notation.Le terme(x-a)nε(x)oùε(x)--→x→00est souvent abrégé en "petit o» de(x-a)net est notéo((x-a)n).

Donco((x-a)n)est une fonction telle quelimx→ao((x-a)n)(x-a)n=0. Il faut s"habituer à cette notation qui simplifie les

écritures, mais il faut toujours garder à l"esprit ce qu"elle signifie.

Cas particulier : Formule de Taylor-Young au voisinage de0.On se ramène souvent au cas particulier oùa=0, la

formule de Taylor-Young s"écrit alorsf(x) =f(0)+f′(0)x+f′′(0)x22! +···+f(n)(0)xnn!+xnε(x) DÉVELOPPEMENTS LIMITÉS2. DÉVELOPPEMENTS LIMITÉS AU VOISINAGE D"UN POINT6 où lim x→0ε(x) =0.

Et avec la notation " petit o » cela donne :

f(x) =f(0)+f′(0)x+f′′(0)x22! 1. Écrire les trois formules de T ayloren 0 pour x7→cosx,x7→exp(-x)etx7→shx. 2. Écrire les formules de T ayloren 0 à l"ordre 2 pour x7→1p1+x,x7→tanx. 3. Écrire les formules de T ayloren 1 pour x7→x3-9x2+14x+3. 4.

A vecune formule de T aylorà l"ordre 2 de p1+x, trouver une approximation dep1,01. Idem avec ln(0,99).2. Développements limités au voisinage d"un point

2.1. Définition et existence

SoitIun intervalle ouvert etf:I→Rune fonction quelconque.Définition 1.Poura∈Ietn∈N, on dit quefadmet undéveloppement limité(DL) au pointaet à l"ordren, s"il existe des

réelsc0,c1,...,cnet une fonctionε:I→Rtelle que limx→aε(x) =0 de sorte que pour toutx∈I:

f(x) =c0+c1(x-a)+···+cn(x-a)n+(x-a)nε(x). L"égalité précédente s"appelle un DL defau voisinage deaà l"ordren. Le termec0+c1(x-a)+···+cn(x-a)nest appelé lapartie polynomialedu DL.

Le terme(x-a)nε(x)est appelé lerestedu DL.La formule de Taylor-Young permet d"obtenir immédiatement des développements limités en posantck=f(k)(a)k!:Proposition 1.

Sifest de classeCnau voisinage d"un pointaalorsfadmet un DL au pointaà l"ordren, qui provient de la formule

de Taylor-Young : f(x) =f(a)+f′(a)1! (x-a)+f′′(a)2! oùlimx→aε(x) =0.Remarque. 1. Si fest de classeCnau voisinage d"un point 0, un DL en 0 à l"ordrenest l"expression : f(x) =f(0)+f′(0)x+f′′(0)x22! +···+f(n)(0)xnn!+xnε(x) 2. Si fadmet un DL en un pointaà l"ordrenalors elle en possède un pour toutk⩽n. En effet f(x) =f(a)+f′(a)1! (x-a)+···+f(k)(a)k!(x-a)k |{z} =(x-a)kη(x) où lim x→aη(x) =0.

2.2. UnicitéProposition 2.

Si f admet un DL alors ce DL est unique.

DÉVELOPPEMENTS LIMITÉS2. DÉVELOPPEMENTS LIMITÉS AU VOISINAGE D"UN POINT7

Démonstration.Écrivons deux DL def:f(x) =c0+c1(x-a)+···+cn(x-a)n+(x-a)nε1(x)etf(x) =d0+d1(x-

a)+···+dn(x-a)n+(x-a)nε2(x). En effectuant la différence on obtient : (d0-c0)+(d1-c1)(x-a)+···+(dn-cn)(x-a)n+(x-a)n(ε2(x)-ε1(x)) =0.

Lorsque l"on faitx=adans cette égalité alors on trouved0-c0=0. Ensuite on peut diviser cette égalité parx-a:

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