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Université de Montréal

COMPLÉMENTS DE MÉCANIQUE STATISTIQUE

par

Gilles Fontaine

Département de Physique

Faculté des Arts et des Sciences

Notes de cours : PHY 3214

Manuscrit revu et corrigé en août 2017

Droits d"auteur : Gilles Fontaine 2017

2

Avant-propos

Ce cours s"adresse principalement aux étudiants qui se destinent aux études supérieures en physique. Comme son titre l"indique, ce cours se veut un complément et une ex- tension des notions de base acquises lors d"un premier coursde physique thermique.

En particulier, j"ai supposé que les étudiants ont été exposés à un cours de thermody-

namique et aux notions fondamentales de la mécanique statistique (classique). Dans ce contexte, le premier chapitre de ce recueil se veut un rappel (nécessairement con- densé) des principes fondamentaux de l"approche statistique à l"étude des systèmes physiques contenant un très grand nombre de particules. J"ai supposé également que les étudiants ont suivi un premier cours de mécanique quantique et sont familiers avec la notion "d"état quantique". Après ce rappel, ces notes établissent les bases élémentaires de la mécanique statis- tique en équilibre, en particulier les distributions statistiques quantiques de Bose- Einstein et Fermi-Dirac de même que leur version classique,la distribution de Maxwell- Boltzmann. Pour se familiariser avec ces concepts, je propose ensuite l"étude des pro- priétés thermodynamiques de systèmes idéalisés par l"approximation du gaz parfait. Dans cet exposé, je favorise une telle étude via l"approche dite canonique. Je consid- ère de nombreuses et importantes applications du domaine dela physique. J"introduis finalement l"approche formelle à la thermodynamique de systèmes en interaction (gaz réels). Dans ce travail, j"ai été fortement inspiré par les ouvragesclassiques de F. Reif, L.D. Landau et E.M. Lifshitz, R.K. Pathria, et D.A. McQuarrie. Malgré celà, ces notes de cours trahissent nettement ma formation d"astrophysicien. L"univers étant le plus vaste des laboratoires(!), il n"y a aucun mal, à mon avis, à s"inspirer d"exemples de systèmes à grande échelle. De plus, cette approche amène unecertaine touche d"o- riginalité puisque, traditionnellement, la grande majorité des ouvrages en mécanique

statistique ont été écrits par des théoriciens de la matièrecondensée utilisant, forcé-

ment, des exemples qui leur étaient familiers. Gilles Fontaine, MSRC, Professeur titulaire de physique Chaire de recherche du Canada en astrophysique stellaire

Table des matières1 Notions fondamentales7

1.1 Ensembles statistiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2 Utilité des ensembles statistiques . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 13

1.3 Méthode de la distribution la plus probable . . . . . . . . . . .. . . . 17

1.4 Évaluation du coefficientβ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

1.5 Contact avec la thermodynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .36

1.6 L"approche grand canonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

1.7 Stratégie à suivre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

2 Distributions statistiques57

2.1 Quelques résultats de la mécanique quantique . . . . . . . . .. . . . 57

2.2 Bosons et fermions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

2.3 Fonctions de partition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

2.4 Distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

2.5 Limite classique des statistiques quantiques . . . . . . . .. . . . . . . 75

2.6 Les résultats importants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

3 Gaz parfait à la limite classique83

3.1 États d"énergie d"un gaz monoatomique . . . . . . . . . . . . . . .. . 83

3.2 La fonction de partition de translation . . . . . . . . . . . . . .. . . 87

3.2.1 La fonction de partition de translation ultra-relativiste . . . . 107

3.3 Les fonctions de partition électronique et nucléaire . .. . . . . . . . . 108

3.3.1 La fonction de partition électronique . . . . . . . . . . . . .. 108

3.3.2 La fonction de partition nucléaire . . . . . . . . . . . . . . . .114

3.4 Propriétés thermodynamiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .115

3.4.1 Pression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

3.4.2 Potentiel chimique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

3.4.3 Entropie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

3.4.4 Énergie interne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

3.4.5 Chaleur spécifique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

3

4TABLE DES MATIÈRES

3.5 Généralisation à un gaz à plusieurs composantes . . . . . . .. . . . . 120

3.6 Généralisation à un gaz réactif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 131

3.7 Application : gaz d"hydrogène partiellement ionisé . . .. . . . . . . . 136

3.7.1 Pression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

3.7.2 Énergie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

3.7.3 Chaleur spécifique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

3.8 Gaz diatomique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

3.8.1 Considérations générales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

3.8.2 Fonction de partition de translation . . . . . . . . . . . . . .. 149

3.8.3 Fonction de partition électronique . . . . . . . . . . . . . . .. 149

3.8.4 Fonction de partition de rotation . . . . . . . . . . . . . . . . 150

3.8.5 Fonction de partition de vibration . . . . . . . . . . . . . . . .152

3.8.6 Propriétés thermodynamiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

3.9 Validité de nos approximations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .155

3.9.1 Approximation du gaz parfait . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

3.9.2 Approximation non relativiste . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

3.9.3 Approximation classique (gaz non dégénéré) . . . . . . . .. . 158

3.10 Application supplémentaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 160

3.10.1 Les raies de Balmer dans les étoiles . . . . . . . . . . . . . . .160

4 Gaz parfait de Bose-Einstein167

4.1 Gaz parfait de Bose-Einstein : fonction de partition . . .. . . . . . . 167

4.2 Propriétés thermodynamiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .172

4.3 Dégénérescence faible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

4.3.1 Pression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

4.3.2 Énergie interne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

4.3.3 Chaleur spécifique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178

4.3.4 Potentiel chimique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178

4.3.5 Entropie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179

4.4 Dégénérescence forte : condensation de Bose-Einstein .. . . . . . . . 180

4.4.1 Pression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187

4.4.2 Énergie interne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190

4.4.3 Chaleur spécifique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191

4.4.4 Entropie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195

4.4.5 Processus adiabatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195

4.5 Thermodynamique d"un gaz de photons . . . . . . . . . . . . . . . . .196

4.5.1 Pression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201

4.5.2 Entropie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202

4.5.3 Énergie interne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203

4.5.4 Potentiel chimique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203

TABLE DES MATIÈRES5

4.5.5 Chaleur spécifique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203

4.5.6 Nombre de photons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203

4.5.7 Processus adiabatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204

4.6 Radiation en équilibre thermodynamique . . . . . . . . . . . . .. . . 204

4.7 Corps noir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211

4.8 Émissivité d"un objet maintenu à une températureT. . . . . . . . . 214

4.9 Application : théorie de Debye des solides . . . . . . . . . . . .. . . 219

4.10 Applications supplémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 249

4.10.1 Superfluidité et supraconductivité . . . . . . . . . . . . . .. . 249

4.10.2 L"expansion de l"Univers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252

4.10.3 Découplage matière-rayonnement dans l"Univers en expansion 259

4.10.4 Invariance de la loi de Planck dans l"Univers en expansion . . 263

4.10.5 Création de paires positron-électron . . . . . . . . . . . .. . . 265

4.10.6 Le modèle de Einstein des solides . . . . . . . . . . . . . . . . 270

5 Gaz parfait de Fermi-Dirac273

5.1 Propriétés thermodynamiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .274

5.2 Gaz faiblement dégénéré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278

5.2.1 Quantités thermodynamiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279

5.3 Gaz complètement dégénéré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280

5.3.1 Fermions non relativistes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283

5.3.2 Fermions ultra-relativistes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .285

5.3.3 Fermions arbitrairement relativistes . . . . . . . . . . . .. . . 286

5.3.4 Matière sombre et neutrinos massifs . . . . . . . . . . . . . . .291

5.4 Gaz fortement dégénéré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295

5.4.1 Quantités thermodynamiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299

5.5 Gaz arbitrairement dégénéré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .304

5.6 Application : thermodynamique d"un gaz d"électrons . . .. . . . . . . 308

5.6.1 Variables dépendantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309

5.6.2 Limite du gaz classique (non dégénéré), sans structure interne

et non relativiste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310

5.6.3 Limite du gaz classique (non dégénéré), sans structure interne

mais ultra-relativiste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311

5.6.4 Limite du gaz complètement dégénéré . . . . . . . . . . . . . . 311

5.6.5 Limite du gaz fortement dégénéré et non relativiste . .. . . . 312

5.6.6 Figures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313

5.7 Application : électrons de conduction dans un métal . . . .. . . . . . 337

5.7.1 Émission thermo-ionique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342

5.7.2 Effet photoélectrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 350

5.8 Application : théorie des étoiles dégénérées . . . . . . . . .. . . . . . 354

6TABLE DES MATIÈRES

5.8.1 Dégénérescence et approximation du gaz parfait dans le cas

d"une naine blanche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357

5.8.2 Dégénérescence et approximation du gaz parfait dans le cas

d"une étoile à neutrons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 358

5.8.3 Structure mécanique des étoiles dégénérées . . . . . . . .. . . 358

6 Gaz réel : théorie des plasmas stellaires 381

6.1 Les plasmas stellaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381

6.2 Étude du plan densité-température . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 383

6.2.1 Longueurs fondamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384

6.2.2 Limites des différents domaines . . . . . . . . . . . . . . . . . 387

6.3 Approche formelle au gaz réel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403

6.4 Équations d"état de plasmas stellaires . . . . . . . . . . . . . .. . . . 406

6.4.1 Limite de faibles densités et hautes températures : lemodèle de

Debye-Hückel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 407

6.4.2 Limite de grandes densités et faibles températures . .. . . . . 421

6.4.3 Formule d"interpolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 429

A Compléments mathématiques435

A.1 La méthode du terme maximum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 435 A.2 La méthode des multiplicateurs de Lagrange . . . . . . . . . . .. . . 438 A.3 Sur l"approximation de Stirling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 441 A.4 La fonction zeta de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443

B Compléments de physique447

B.1 Équivalence des ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 447 B.2 Distribution canonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 448

Chapitre 1Notions fondamentales de lamécanique statistiqueDans ce chapitre, nous introduisons les concepts de base de la mécanique statistique et

les appliquons à un système macroscopique deNparticules identiques dans un volume Vet maintenu en équilibre thermodynamique avec son environnement. Nous allons obtenir, en particulier, la relation fondamentale qui connecte les niveaux d"énergie quantiques accessibles à un système àNcorps avec ses propriétés thermodynamiques. Nous verrons que cette relation fondamentale s"exprime parle biais d"une fonction, la fonction de partition, qui est d"importance centrale dans notre étude. Nous discuterons également de l"interprétation des deuxième et troisième lois de la thermodynamique du point de vue de la mécanique statistique.

1.1 Ensembles statistiques

Notre but est de calculer les propriétés thermodynamiques d"un système à partir de ses propriétés microscopiques (c"est-à-dire, atomiques et/ou moléculaires). Dans un premier temps, nous allons considérer les propriétés mécaniques du système (telles l"énergie interne et la pression) qui sont obtenues à partirde la mécanique quantique (la seule mécanique qui ait un sens au niveau microscopique). Par la suite, nous allons invoquer les relations de la thermodynamique pour introduire des quantités telles l"entropie et l"énergie libre. Soit un système macroscopique comme, par exemple, le gaz contenu dans un ballon. Du point de vue macroscopique, un tel système est complètement spécifié par quelques paramètres seulement; par exemple,N,Vet la températureT. D"un point de vue microscopique, toutefois, il y aura, en général, un nombre énorme d"états quantiques 7

8CHAPITRE 1. NOTIONS FONDAMENTALES

compatibles avec ces quelques paramètres macroscopiques qui sont donnés. C"est en

effet une caractéristique très générale des systèmes macroscopiques qu"un niveau d"én-

ergie quantique du système, disonsEj, soit très fortement dégénéré, c"est-à-dire, qu"il

y ait un très grand nombre de fonctions propres (ou d"états) qui ont cette même valeur de l"énergie.

Note sur la dégénérescence

On peut souligner ici que, même pour un seul atome, la dégénérescence des niveaux

d"énergie quantiques peut être très élevée. En effet, on verra au chapitre 3 que, pour

les seuls états de translation d"une particule, le nombre d"états quantiques dans l"in- tervalle d"énergieeete+deest donné par (éq. 3.54) g(e)de=8π ⎷2Vh3m3/2e1/2de .(1.1)quotesdbs_dbs16.pdfusesText_22

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