[PDF] Introduction à la physique statistique

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Introduction à la physique statistique

1 ???partie:Fondements de la physique statistique? ?Description probabiliste d"un système physique? ?Le système isolé à l"équilibre?? ?Les ensembles statistiques à l"équilibre?? ?Particules identiques en physique statistique?? 2 ???partie:Applications de la physique statistique à l"équilibre?? ?Gaz parfaits et gaz réels classiques?? ?Quelques applications en chimie et en physico-chimie?? ?Applications des statistiques quantiques?? ?Le ferromagnétisme, une introduction aux transitions de phase?? 1 ???partie: Fondements de la physique statistique

Description probabiliste d"un système

physique k?EP

X(k) = 1 (discret) ou?

E p k?EkP

X(k) (discret) ouX=?

E xp P

X(A) =P(X-1(A))≡????({X?A})?

k?Ef(k)PX(k) (discret) ouf(X) =? E 2-X 2-X X(x) =1⎷2πσ2e-(x-m)22σ2=N(m,σ2) (loi normale)????? ? ??????? ????E1× E2× ··· × EN? ???? ???? P

Y(x1,x2,...,xN) =N?

j=1P j=1Xj? ???? ???????Z=?N j=1X ???? ????? ?? ????Y=1N N ???? ???? ??????1⎷N N? j=1X j-NX 1) -→ N?0,(ΔX1)2?lorsqueN→ ∞.????? X m})?????({X≥Xm})????? N j=1Xj? x=nδx+ (N-n)(-δx) = (2n-N)δx,????? ?? ?? ?????p(n,N)?? ?????n??? ? ?????? ?????N?????p(n,N) =?N n? p j=1??????

1=pδx+q(-δx) = (2p-1)δx??????

(Δx1)2=pδx2+q(-δx)2-(2p-1)2δx2= (4p-4p2)δx2= 4pqδx2?????? n=NX n=0np(n,N) =NX n=0n N n! p nqN-n=pNX n=0n N n! p n-1qN-n?????? =p∂∂p NX n=0 N n! p nqN-n# =p∂∂p (p+q)N=pN(p+q)N-1=pN .?????? n

2-n=p2∂2∂p

2(p+q)N=N(N-1)p2.??????

?? ?? ??????(Δn)2=n

2-n+n-n

2=N(N-1)p2+Np-N2p2=Np(1-p) =pqN?

?? ???????Nx i?∂|? >∂t P ?P ?< ?|A|? >=? ?A ?P?,?????? ?B=B?ez?H=-?μ·?B= j=1?μj·?B=-(2n?-N)μB??n??[0,N]??? ?? n

P(n?) =?N

n p ?n!≂nne-n⎷2πn lnn!≂nlnn-n?????? lnP(n) = lnP(?n) +(n-?n)22 d

2lnPdn2?

???en+(n-?n)36 d

3lnPdn3?

???en+...?????? d2lnPdn2? ???en? -1?n-1N-?n=-1pqN =-1(Δn)2,?????? ?????? ?? ????d3lnP/dn3?1/n2-1/(N-n)2≂1/N2? ?? ??????? ?(n-en)22 d2lnPdn2???en≂(Δn)21N =O(1), (n-en)36 d3lnPdn3???en≂(Δn)31N

2=O?1⎷N

λ=|E?+1-E?| ?δE?ΔE ,??????

?f(E?) =? E ?g(E?)f(E?) =? E

0f(E)ρ(E)dE ,

?f(E?)-→? E

0f(E)ρ(E)dE .??????

?22m?2φ=εφ??φ=1⎷V ei?k·?r, n

1???εn≂h2n2/(2mL2)?n≂106??|εn+1-εn| ≂εn/n???? ?? ???? ??????δε

δk xδkyδkz= (2π)3/V???? =V(2π)343

π?2mε?

2? 3/2 ????? ????ρ(ε) = dφ/dε?ρ(ε) =V4π2? 2m? 2? 3/2

1/2.??????

j=1? kj2?·?? ??????

φ(E) =VN(2π)3NC3NK3N??????

2? 3N/2 E

3N/2-1.??????

E 1/3 ??⎷3mkT=¯λ.??????

ρ(ε)dε=Vh

3d?p.??????

0f(ε)ρ(ε)dε=?

E f(ε(?p))d?rd?ph

3.??????

ρ({?rj,?pj}) =?

1h 1N!1h 2m? 2"

Le système isolé à l"équilibre

t0+τ t

0A(t)dt????τm?τ?τM.?????

???τ?τm?? P ?(t) = limN→∞N ?(t)N ?P ?(t)A?.????? ?P ?A?= limτ→∞1τ 0

A(t)dt=< A > .?????

m=1P mlnPm,????? m=1Pm=

F(P1,...,PM) =S(P1,...,PM)-λ?

M? m=1P m-1? E ?P?lnP?=klnΩ(E,V,N,δE)? ?Sm=klnρ(E,V,N) +klnδE m(E,V,N) =klnΩ(E,V,N)?klnρ(E,V,N)?klnΦ(E,V,N)?kαNlnE+... ,????? ????? ??? ? ??? ?? ????E? ?? ?ρeV(E)?ρJ(E)×10-19??klnρeV?k(lnρJ-19ln10) S m(A?B) =Sm(A) +Sm(B)? ???????·T m=?∂Sm∂E V,N ?·p m=?∂Sm∂V E,N m=-?∂S∂N E,V dSm=dET m+pmdVT m-μmdNT m.????? E =-1T m∂H ∂a m? ?????1T =k2μBlnnN-n.?????? ???????n

μ(n↑-n↓)/V=μ(2n-N)/V?

M m=NV

μtanh?μBkT

=NV 2kT (loi de Curie).?????? s(y) =s(?y) +(y-?y)22 ∂2s∂y 2? E,V,N ∂2s∂y 2? E,V,N

Δy?y≂1⎷N

???∂ks/∂yk≂N1-kα?

H=HA+HB+Hint,??????

?P(EA) =ω(E,V,N,EA)/Ω(E,V,N)????ω(E,V,N,EA)δEA= ΩA(EA,VA,NA)ΩB(E- E ?∂s∂E A? E,V

A,NA,VB,NB(?EA) =?∂SA∂E

A? V

A,NA(?EA)-?∂SB∂E

B? V

B,NB(E-?EA) = 0??????

?T ?∂2s∂E A2? E,V

A,NA,VB,NB(?EA) =?∂2SA∂E

A2? V

A,NA(?EA) +?∂2SB∂E

B2? V

B,NB(E-?EA)<0.

???∂2S∂E 2? V,N =?∂(1/T)∂E V,N =-1C VT2 ????CV=?∂E∂T V,N 1C

V A+1C

?∂2s∂E A2? E,V

A,NA,VB,NB(?EA) =-1C

V AT2A-1C

V BT2B=-1T

2C

V A+CV BC

V ACV B.??????

(ΔEA)2=-k? ∂2s∂E A2? (?EA)=kT2CV ACV BC C ?????E=EA+EB=?????CV A(Tf-TAi) +CV B(Tf-TBi) = 0????? T f=CV ATAi+CV BTBiC AT A=pBT E,N AT

A=μBT

E,V

Les ensembles statistiques à

l"équilibre P ?P?=ΩR(Etot-E?,VR,NR)Ω tot(Etot,Vtot,Ntot).????? ??ΩR(Etot-E?) = exp(SmR(Etot-E?)/k)??SmR(Etot-E?) =SmR(Etot)-E?/T?? ???? ?=1Z e-E?kT N ?e -E?kT E

0ρ(E,V,N)e-EkT

dE .????? ?????? ?? ? ?? ???P(E) = Ω(E,V,N)ΩR(Etot-E,VR,NR)/Ωtot(Etot,Vtot,Ntot)??? ????? g(E?)e-E?kT

ρ(E,N,V)e-EkT

δE .?????

E=? ?E ?P?=? ?E?e-βE?? ?e-βE?=-∂∂β ln?? ?e -βE?? ?????E=-∂∂β lnZ=F-T?∂F∂T V,N E ∂T V,N =-T?∂2F∂T 2? V,N (ΔE)2=1Z ?E

2?e-βE?-1Z

2? ?E ?e-βE?? 2 =∂2∂β

2lnZ=-∂E

?P?lnP??????? S c=-k? ?P ?(-βE?-lnZ) =E T +klnZ=E-FT c=-?∂F∂T V,N ·p

T,N·μ

?F=FA+FB? Z=? ?e -βE?=? E ?g(E?)e-βE?=N? n=0? N n? e -βμB(N-2n) =e-NβμBN? n=0? N n? e

2nβμB=e-NβμB?

1 +e2βμB?N

?Z= [2cosh(βμB)]N=zN,?????? M c=-1V ∂F∂B T,V,N =NV

μtanh?μBkT

ω({?rj,?pj}) =1h

rZe-βH({?rj,?pj}),?????? Z=1h r? E e-βH({?rj,?pj})d?rjd?pj.?????? ????? ?? ???????j0?E?E j0=?

Eap2xj0e-βH({?rj,?pj})d?rjd?pj?

Ee-βH({?rj,?pj})d?rjd?pj=?

-∞ap2xj0e-βap2xj0dpxj0? -∞e-βap2xj0dpxj0 (IPP) = 1C p xj0? -12β? e -βap2xj0? +12βC? e-βap2xj0dpxj0,?????? ????C=? e-βap2xj0dpxj0? ?????E j0=12β=kT2 p=NkT/2?E=E c+E p=NkT?? ? ???E= 3NkT???H({?rj,?pj}) =P ?? ????L=Ec-Ep????H=Ec+Ep? P ?=ΩR(Etot-E?,VR,Ntot-N?)Ω tot(Etot,Vtot,Ntot).?????? ????ΩR= exp(SmR/k)??SmR(Etot-E?,Ntot-N?) =SmR(Etot,Ntot)-E?/T+μN?/T?P ?=1Q ?e -β(E?-μN?).?????? N=0? ?tels queN?=N?????Q(T,μ,V) =∞? N=0( eβμN? ?|N?=Ne -βE?) N=0e

βμNZ(T,V,N)??????

P(N) =?

?|N?=NP ?=1Q eβμNZ(T,V,N)????? ????F=-kTlnZ?

P(N) =1Q

eμN-F(T,V,N)kT ?N??? ??? ???μ=?∂F∂N

T,V(?N) =μc(?N)? ??

(ΔN)2=kT? ∂2F∂N 2? T,V (?N).?????? ∂V∂p T,N ??∂2F∂N 2? T,V =VN

2χT,??????

????(ΔN)2=kTN2V N=? ?Nquotesdbs_dbs16.pdfusesText_22

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