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Modèles linéaires généralisés
avec ? une variable aléatoire de loi de Gauss centrée et de variable ?2. ses notes de cours http://data.princeton.edu/wws509/notes/c3.pdf section 3.6.
Modèles linéaires généralisés
Valérie Monbet
IRMAR, Université de Rennes 1
Monbet, 12/2016 (- M2)GLM, M2 Pharma.1 / 203
Références, supports
Ce cours est essentiellement une compilation des cours de G. Rodriguez (PrincetonUniversity) et A. Lavenu (Université de Rennes 1).Hardin, J. and Hilbe, J. (2012). Generalized Linear Models and Extensions, 3rd
Edition. College Station, Texas : Stata Press. Un livre avec des exemples et desapplications incluant des analyses avec Stata.Notes de cours de G. Rodriguez et exemples de codes R :
http://data.princeton.edu/wws509/Notes de cours de L. Rouvièrehttp://perso.univ-rennes2.fr/system/files/users/rouviere_l/poly_logistique_web.pdfNotes de cours de F. Bertrand
Ecole_Doctorale_SVS_Automne_2008/ED_RegLog.pdfHosmer, D.W. and Lemeshow, S. (2013). Applied Logistic Regression, 3rd Edition.
New York : John Wiley and Sons. Une discussion détaillée sur le modèle logistique avec des applications.McCullagh, P. and Nelder, J.A. (1989). Generalized Linear Models, 2nd Edition. London : Chapman and Hall. La "bible" des modèles linéaires généralisés. Très intéressant, mais plutôt destinée à des étudiants avancés.Monbet, 12/2016 (- M2)GLM, M2 Pharma.2 / 203
Introduction
Outline
1Introduction
Modèles linéaires pour les données continues Modèles linéaires pour les données discrètes2Regression logistique
3Inférence pour le modèle logistique
4Diagnostiques de régression pour les données binaires
5Variantes des modèles logistiques
6Régression de Poisson
7Validation, sélection de modèles
Monbet, 12/2016 (- M2)GLM, M2 Pharma.3 / 203
IntroductionModèles linéaires pour les données continuesOutline1Introduction
Modèles linéaires pour les données continues Modèles linéaires pour les données discrètes2Regression logistique
3Inférence pour le modèle logistique
4Diagnostiques de régression pour les données binaires
5Variantes des modèles logistiques
6Régression de Poisson
7Validation, sélection de modèles
Monbet, 12/2016 (- M2)GLM, M2 Pharma.3 / 203
IntroductionModèles linéaires pour les données continuesModèles linéaires pour les données continuesLes modèles linéaires sont utilisés pour étudier comment une variable continue
dépend d"un ou plusieurs prédicteurs ou variables explicatives. Les prédicteurspeuvent être quantitatifs ou qualitatifs.Exemple : données des efforts des plannings familiaux en Amérique du Sud (Mauldin
and Berelson, 1978) Le niveau social et les efforts des plannings familiaux sont mesurés par une combinaison d"indices. Plus l"indice est élevé plus le niveau social (resp. l"effort) est élevé.Niv. social Effort Déclin du tx nat.Bolivia 46 0 1
Brazil 74 0 10
Chile 89 16 29
Colombia 77 16 25
CostaRica 84 21 29
Cuba 89 15 40
Dominican Rep 68 14 21
Ecuador 70 6 0
El Salvador 60 13 13
............Dans cet exemple on cherche à comprendre comment le niveau social et les effortsde planification influent sur le taux de natalité.NotonsYle taux de natalité etX1etX2respectivement le niveau social et l"effort de
planification.On dispose den=20 observationsf(xi1;xi2;yi)g,i=1;;n.Monbet, 12/2016 (- M2)GLM, M2 Pharma.3 / 203
IntroductionModèles linéaires pour les données continuesExemple (suite)On observe que le déclin du taux de natalité augmente avec le niveau social et avec
l"effort de planification.Monbet, 12/2016 (- M2)GLM, M2 Pharma.4 / 203
IntroductionModèles linéaires pour les données continuesExemple (suite) et vocabulaireSi on suppose queYiest une variable gaussienne de moyenneiet de variance2,
on pourra écrire le modèle i=0+1xi1+2xi2=0+xTiCalcul matriciel La densité de probabilité deYiest donnée par '(y) =1p22exp 12 (yi)22!Une manière plus standard d"écrire ce modèle linéaire est
Y=0+1X1+2X2+=0+XT+
avecune variable aléatoire de loi de Gauss centrée et de variable2.Xest lamatr icede design et XTest leprédicteur linéaire .Monbet, 12/2016 (- M2)GLM, M2 Pharma.5 / 203
IntroductionModèles linéaires pour les données continues InférenceL"estimation des paramètres du modèle0,,se fait par minimisation d"un critère des moindres carrées (OLS) (0;) =argmin(0;)n X i=1(yi0xTi)2 =Var(yi0xTi)ou par maximum de vraisemblance (ML).Dans le cas du modèle linéaire, ces deux estimateurs sont identiques et
b = (XTX)1XTyOn dispose ensuite de tests (test de Fisher, test de Wald, etc) pour valider et interpréter le modèle.Monbet, 12/2016 (- M2)GLM, M2 Pharma.6 / 203
IntroductionModèles linéaires pour les données continuesRégression linéaire simple
> m1<- lm(DecTxNat ~ NivSocial,data=fpe) > summary(m1) Call: lm(formula = DecTxNat ~ NivSocial, data = fpe)Residuals:
Min 1Q Median 3Q Max
-13.239 -6.260 0.787 6.678 17.162Coefficients:
Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
(Intercept) -22.1254 9.6416 -2.295 0.03398NivSocial 0.5052 0.1308 3.863 0.00114**
Signif. codes: 0 '
***" 0.001 '**" 0.01 '*" 0.05 '." 0.1 ' " 1 Residual standard error: 8.973 on 18 degrees of freedom Multiple R-squared: 0.4532,Adjusted R-squared: 0.4228 F-statistic: 14.92 on 1 and 18 DF, p-value: 0.001141Monbet, 12/2016 (- M2)GLM, M2 Pharma.7 / 203
IntroductionModèles linéaires pour les données continuesRégression linéaire simpleLe testtpermet de tester l"hypothèseH0:j=0pour chaque v ariablej.Le test de Fisher permet de tester plusieurs paramètres simultanément. C"est
notamment important quand on travaille avec des variables catégorielles recodées envariables binaires.Ici les deux tests conduisent à la même conclusion : la variable explicative a un effet
significatif. > anova(m1)Analysis of Variance Table
Response: DecTxNat
Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)
NivSocial 1 1201.1 1201.08 14.919 0.001141
Residuals 18 1449.1 80.51
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IntroductionModèles linéaires pour les données continuesRégression linéaire simple
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IntroductionModèles linéaires pour les données continuesRégression linéaire multiple
> m2 <- lm(DecTxNat ~ NivSocial+Effort,data=fpe) > summary(m2) Call: lm(formula = DecTxNat ~ NivSocial + Effort, data = fpe)Residuals:
Min 1Q Median 3Q Max
-10.3475 -3.6426 0.6384 3.2250 15.8530Coefficients:
Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
(Intercept) -14.4511 7.0938 -2.037 0.057516 .NivSocial 0.2706 0.1079 2.507 0.022629
Effort 0.9677 0.2250 4.301 0.000484***
Signif. codes: 0 '
***" 0.001 '**" 0.01 '*" 0.05 '." 0.1 ' " 1 Residual standard error: 6.389 on 17 degrees of freedom Multiple R-squared: 0.7381,Adjusted R-squared: 0.7073 F-statistic: 23.96 on 2 and 17 DF, p-value: 1.132e-05Monbet, 12/2016 (- M2)GLM, M2 Pharma.10 / 203
IntroductionModèles linéaires pour les données continuesRégression linéaire simple
> anova(m2)Analysis of Variance Table
Response: DecTxNat
Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)
NivSocial 1 1201.08 1201.08 29.421 4.557e-05
Effort 1 755.12 755.12 18.497 0.0004841***
Residuals 17 694.01 40.82
Signif. codes: 0 '
***" 0.001 '**" 0.01 '*" 0.05 '." 0.1 ' " 1Monbet, 12/2016 (- M2)GLM, M2 Pharma.11 / 203 IntroductionModèles linéaires pour les données continuesCas des prédicteurs qualitatifs : analyse de la varianceDans certains cas, les prédicteurs sont tous qualitatifs. Par exemple, si le niveau
social est donné par une variable discrète à 3 modalités (inf à 70, entre 70 et 80, sup
à 80).Les notations sont un peu différentes de celles du modèle de régression. On noteKle nombre de niveaux dans le facteur etnkle nombre d"observations dansle niveauk.ykiest la réponse de l"individuiau niveauk.Dans l"exemple,ykisera donc le déclin du taux de natalité du paysipour le niveau
socialk.k=1;;3,K=3, ...On écrit alors le modèle de l"analyse de la variance à un facteur :Yki N(ki;2)
avec ki=+k oùest un effet moyen (commun à taux les niveaux du facteur) etkreprésente l"effet spécifique du niveauk.Monbet, 12/2016 (- M2)GLM, M2 Pharma.12 / 203 IntroductionModèles linéaires pour les données continuesANOVA, un facteur
> m1g <- lm(DecTxNat ~ NivSocial.g) > summary(m1g) Call: lm(formula = DecTxNat ~ NivSocial.g)Residuals:
Min 1Q Median 3Q Max
-14.750 -6.579 -1.161 5.250 16.400Coefficients:
Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
(Intercept) 7.571 3.498 2.164 0.04497NivSocial.gMedium 1.029 5.420 0.190 0.85173
NivSocial.gHigh 16.179 4.790 3.377 0.00358
Signif. codes: 0 '
***" 0.001 '**" 0.01 '*" 0.05 '." 0.1 ' " 1 Residual standard error: 9.256 on 17 degrees of freedom Multiple R-squared: 0.4505,Adjusted R-squared: 0.3858 F-statistic: 6.967 on 2 and 17 DF, p-value: 0.006167Monbet, 12/2016 (- M2)GLM, M2 Pharma.13 / 203
IntroductionModèles linéaires pour les données continuesANOVA, un facteurDans ce cas, on voit bien la différence entre le testtet le test de Fisher.Le test de Fisher a plus de sens car il considère la variable explicative dans son
ensemble et non modalité par modalité. > anova(m1g)Analysis of Variance Table
Response: DecTxNat
Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)
NivSocial.g 2 1193.8 596.89 6.9672 0.006167
Residuals 17 1456.4 85.67
Signif. codes: 0 '
***" 0.001 '**" 0.01 '*" 0.05 '." 0.1 ' " 1Monbet, 12/2016 (- M2)GLM, M2 Pharma.14 / 203 IntroductionModèles linéaires pour les données continues Ce petit exemple permet de rappeler les différentes étapes de la modélisation linéaire1. Analyse descriptive, visualisation des données
2. Choix du modèle : transformation de variables, variable à introduire dans le modèle
3. Inférence : estimation des paramètres du modèle, tests, intervalles de confiance
4. Sélection des variables explicatives, choix de leur paramétrisation
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