[PDF] ACT3251 Théorie du risque Attention : Le rapport du projet

View - Download ACT3251 Théorie du risque

Previous PDF

Next PDF

Universit"edeMontr"ealAutomne2012

D"epartementdeMath"ematiquesetSatis tique

ACT3251Th

eoriedurisque

Professeur:H"el`eneGu"erin

Courriel:guerinh@dms.u mont real.ca

Horaireducours:J eudi17h30- 20h30(localS-144,P vRoge r-Gaudry) Disponibilit"es:Jeudi13h30-15h30(local5223,Pav.A.-Aisens tadt )

AuxiliairedÕenseignement:Y ounesKabbaj

Courriel:kab.younes@gmail .com

S"eancedÕexercices: Mardi8h30-10h30(localZ-220,Pav.C-McNicoll) Disponibilit"es:`ad"eterminer(local4245,Pav.A.- Aise nstadt)

Pr"ealables

ACT2284etMAT2717

Descriptifducours

Mod`elesindividuelsderi sque,mod`elescollectifsderisquepou rdesp" eriodescourtesetlongues , applicationdelath"eorieÓstop- lossÓ.Th "eoried elaruine.Mod`elespour actifsÞnanciers.Il contribue`alapr"eparationde sexamen sSOAM etCAS3.

Th`emesducours

Uneinit iationaulogicieldeprogrammationRseradonn"eetou taulongducours.Pourt" el"echarger le logiciel(gratuit):htt p://www.r-project.org/

1.Mod`elesindividuelsdurisque

Mod`elespourlesr"eclamation sindivid uelles.

2.Mod`elescollectifsdurisqu e

Loide r"epar titionder"eclamationsagr"eg"ees,dis tribut ionspourlesfr"equences,distribu tionspourles r"eclamations,propri"et"esdecertaine sdistributionscompos"ees,approximation s.

3.Mod`elescollectifscommepro cessusstochastiques

Mod`elesentempsdiscret, mod`e lesentempscontin u,probabilit"ederuine,pri mestop-loss,laperte maximaleagr"eg"ee.

4.Th"eoriedurisque

Mod"elesg"en"erauxpourles urplusdÕunecompagniedÕassurance :processu sdePois son,processus desaccroiss ementsind"ependantetstationnaires,th"eor iedelaruine.

5.Mod`elesdesactifsÞnancier s

Mouvementbrownieng"eom"et riqueetlaloilognormale.Mod`e lesplusg"en"eraux:processusdÕ Ito, processus`asautetleurslois.

6.Simulationdesmod`elesÞnanc iersetdÕas surance

Simulationdedi"erentsmod`elesdesur plusetdesactifsÞnanciers: proces susdePoissoncompos"e, mouvementbrownieng"eom"et riqueetprocessusauxaccrois sementsind"ependantsetstationnaires. Techniquesdesimulationappliqu"ee senÞnan ceetenactuariat.

7.Mesuresdurisque

VAR(valu eatrisk)etCTE(c ondi tionaltailexpectati on). 1

Datesimportantes

ExamenIntra:mardi 20novembre2012,8h30-10h30 (lo calP-310,PvRoger-G aud ry)

Projet:`arendrepour lem ardi8j anvier2012,12h00

ExamenÞnal:mardi15j anvier2013,9h00- 12h00( local`ad"eter min er) Datelimite dÕannulationdÕinscri ptionle17octobre2012. Datelimite dÕabandonavecfraisle7 d"ecembre2012.

Bar^emedÕ"evaluation

ExamenIntra35%,Pro jet20%,ExamenÞnald e45%.

Tousles"et udiantssont invit"es`aconsulterlesiteht tp://www.i ntegrite.unmontreal.caet`a prendr econnais-

sancedur`eglem entdis ciplinairesurleplagiatoulafraud e.Plagierpeutentrainerun"echec,lasuspe nsion oule renvoid elÕuniversit"e .

Projet

IlsÕagit dÕuntravailen "equipe(min imum2-maximum4pers onnes). Lebutestdemettreenprat ique lesoutilsv usenclasse.LÕ"ev aluationsefe rasuru nrapport"ecrit(mini mum10pages+codes).Enplus delad" emarche etdesr"esultats,lamiseen pagesera "evalu"ee . Lessimu lationsserontfaitesaveclelogicie lRouav ecexcel. (excelouR)parcourrie r"e lectron ique` alÕadressekab.younes@gmai l.comlemardi8janvier`a12hauplus tard.

Bibliographie

Lecou rssuivraprin cipalementleschapit res9,10et11delatroisi`eme"editiondeLossModels:fr omdata todecis ions,et ladern i`erep artieducoursreposerasurDerivativesMarkets. ÐKl ugman,S.A.;Panjer,H.H.et Willmot,G.E. LossModels:F romDatatoDecisions .Th irdedition.

Wiley,2004(ouSecondedit ion ,2004).

ÐM cDonald,R.L.DerivativesMarkets.Se condedition,Addison Wesley,2006.

Attention:Nepas seproc urerla derni`ere"edition(4

`em e "edition)deLossModels,carle schapit res10et

11ont "et"es upprim"es.

DanslÕonglet ÓcontributedÓsurles iteduCRANhttp://cran.r-project.org/vous trouverez denombr eux

manuelsdÕutilisationd eRaufor matpdf.Parmile smanuelsenfr anücais,ilya ÐRpo urlesd"ebutants byEmman uelParadis,theFrenchve rsionofRfo rBeginners. ÐIntroduction`alaprogrammationenR,T roisi` eme"edit ionbyVince ntGoulet,anintroduc tiontopro- gramminginR. Vouspouvez trouverlesnotesde coursdeManuelMoraless ursapageint ernet: http://www.dms .umontreal.ca/morales/risk.php

Desdocume ntsvousseronttransmisvialapage:

studium.umontreal.ca 2

Universit"edeMontr"ealACT3251-Automne 2012

D"epartementdeMath"ematiques

Th eoriedurisque: introd uction,loisdeproba bili t e Cesnotes decoursont"et "econ struitenotamment `apartir dulivredeS.A. Klugman,H.H.PanjeretG.E. WillmotLossMod els:fromdatatod"ecis ions ,th irdedition(Wil ey,2008)etdesn otesdecours deManuel Moraleshttp://www. dms.umontreal. ca/morales/risk.php

Tabledesmati`e res

1Ob jectifs2

2M od`elesdefr"equenceetde s"ev"eri t"e3

3Qu elquesloisdiscr`etes(fr" equence) 4

3.1Loide Pois sonP(),av ec>0................................4

3.2Binom ialeB(m,q)........................................5

3.3G"eom "etriqueG(")........................................5

3.4Binom ialen"egativeBN(r,")..................................5

3.5Lafami ll e(a,b,0).. ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... .. ..5

4F amillesdeloiscontinues7

5

Etudedesqueues (ailes)8

6Cr "eerdenouvelleslois 10

6.1Loism" elanges( oumixtures).......... ...... ...................10

6.2Tran sformationsdelois................... ...... ........ ... .11

6.3Inve rseGaussienne........ .......................... ... ... 11

6.4Hyper boliquesG"en"eralis"ees........... ........................12

7Loi dumaxim um13

7.1Loissou s-expon entielles.....................................14

7.2Th" eor`emedeFisher-Tippet..... ...... ........................14

7.3Comp araisondeS

n etM n ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... .15

H"el`eneGu"erin;5novembre2012. 1

1Ob jectifs

Onva"e tudie rdanscecoursplusieursmod` elesettec hnique spourquantiÞe rlesrisquesÞnancierseten assurance.Voicilesmod`eles quelÕonvaint roduire.

Enassur ance:

Ðle mod`e leagr"eg"e:OnnoteN

t lenomb reder"eclamations/s inistr esdanslÕintervalledetemps[0,t],X i lemontan tdelai `eme r"eclamationetS t lemont anttotaldesr"eclamat ionssurlÕ intervalle detemps[0,t].

Onaalors

S t Nt i=1 X i

051015202530

0 5 10 15 20

Ðles mesuresder isque

ÐCal culdelaprobabilit "eder uinedÕ unecompagniedÕassurance

ÐMe suresderisque:VAR,CTE

EnACT2284, vousavezd" ej` a"etudi" elesmod`eles defr"equence(N t )etlesmod`elesdes"ev"erit"e(X i

EnÞnan ce:

Ðmo d`elespourlesactifsÞnancie rs:

ÐMou vementbrownien

01020304050

0.8 0.6 0.4 0.2 0.0

ÐMo d`elesavecsauts

ÐMe suresdurisque:VAR(value atrisk ),CTE(conditionaltaile xp ectation ). Lel ogicielRserautilis"e toutlelongducourspourfairede ssimulation s.Vous pouvezlet" el"ech argersur lapageht tp://cran .r-project. org/

Paraille urs,souslÕongletContributeddusite duCRAN,voustrouv erezd enombreuxm anuelsdÕut ilisation

deRaufor matpdf.Parmil esmanuelsenfr anücais,ilya ÐRpo urlesd"ebutants byEmman uelParadis,theFrenchve rsionofRfo rBeginners.

H"el`eneGu"erin;5novembre2012. 2

ÐIntroduction`alaprogrammationenR,Tr oisi` eme"edit ionbyVince ntGoulet,anintroduc tiontopro- gramminginR.

2Mo d`elesdefr"equenceetdes"ev"e ri t"e

Ontire delÕexp"erie ncedÕ unecompagniedesbasesdedonn"ees,aveclesquell esonconstruitdes mod`eles

defr"e quenceet/oudes"ev"erit"e.Lebutes teng"en" eraldec hoisirunmod`elestatistiquepourd"ecrire les observationsetpouvoirfairedespr" evisi ons. Lespoint simportantdanslÕan alyseexploratoirededonn"e espourfaire las"electiondemod`ele :

ÐMo yenneµ,"e cart-type,m" edianeetlesmodes

ÐDi ssym"etrie(skewness)"=E[(

Xµ 3 Si">0,la distri butionestd"ecal"ee`agauchedelamoyenn eetdoncun equeuededistribution"etal "ee versladroite. Si"<0,la distr ibutionestd"ecal"ee`adroitedelamoye nneetdoncu nequeuededistribution"et al"ee verslagauche. Si"=0, lad istrib utionestsym"etriqueparrapport`asamoy enne.

ÐApl atissement(kurtosis)k=E[(

Xµ 4

Sik=3,l esq ueuessont gaussiennes.

rares).

ÐLim itedexpectedvalue

Lev(u)=E[Xu],o`uxy=min(x,y).

ÐM eanexcessl ossouMeanresiduallife

e X (d)=E[X"d|X>d]= 1 1"F X (d) (E[X]"Lev(d)), o`uFestlafonc tionder "epartitiondeX.

ÐHis togrammeet/ouLog-histogramme

Pourconstru ireunhistogramme,ond"eÞnitdesi nterval les(0,c 1 ],(c 1 ,c 2 ],...,(c m1 ,c m ].LÕhi stogramme estalorsd" eÞnidelaf aüconsuivante:pourx#(c i1 ,c i ],i=1,...,m f n (x)= n i n(c i "c i1 o`un i estlenombr edÕobse rvationsdans(c i1 ,c i ]etnlesnombret otaldÕobservations.

H"el`eneGu"erin;5novembre2012.3

Sionveu ttr acerunLog-histogr amme,ilsutalor sdeconsid" erer f n (x)=ln( f n (x))pour x(c i"1 ,c i

Ðan alysesurlesdonn"e eslog-trans form"ees.

-E stimationdesparam`etresparla m"ethoded esmoments,lam"ethodedumaximu mdevrai - semblance,lesm"ethodesdemin imalisationd esdistancesoulesm"ethodesrobu stes. -E stimationparintervalledeconÞ anceenu tilisantlemaximumdevraisemblan ce. -Te stsdÕ"evaluationde smod`eles:testdeKolmogorov-Smirn ov,testdu khi-deux,testde

Anderson-Darling,...

3Q uelquesloisdiscr`etes( fr"equence)

3.1LoidePo issonP(),avec>0

Nestunevari abledePoiss ondeparam`etresi

P(N=k)=

k k e aveckN

Onaalors

E[N]=Var(N)=.

SiN 1 ,N 2 ,...,N n sontdesvari ablesdePois sonind"ependantesdeparam `etrer espectif 1 2 n alors N=N 1 +N 2 +...+N n estunevar iabledePois sondeparam`etre= 1 2 n

H"el`eneGu"erin;5novembre2012.4

3.2Binomi aleB(m,q)

Nsuitlaloibinom ialesi

P(N=k)=

m k q k (1q) mk aveck"{0,...,m} Ona

E[N]=mqVa r(N)=mq(1q).

Lal oibinomi alemod"eliselasituation suivante:oncomptelenombredesuc c`espar minexp"eriences r"ealis"eesdefaüconind"ependantes .

3.3G"eom "etriqueG()

Nsuitlaloig"eom "etriq uesi

P(N=k)=

1 +1 +1 k aveck"N Ona

E[N]=Var(N)=(1+).

Lal oig"eom" etriquemod"eliselasituationsuivante:oni t"ereuneexp"eriencejusquÕ` aobteni runsucc`eset

oncom ptelenombredÕess aisn"e cessaires.

3.4Binomi alen"egativeBN(r,)

Nsuitlaloibin omialen" egatives i

P(N=k)=

r+k1 k 1 +1 r +1 k aveck"N Ona

E[N]=rVar(N)=r(1+).

Onremar quequeVar(N)>E[N].

Laloi binomi alen"egativemod"elisela situationsuivante:oncompte lenombredÕ"echecn"ecessaires pour

avoirnsucc`esenr"ep"etantdef aüconsu ccessiveuneexp"erienceo`ul aprobabi lit"edÕavoiru nsucc`esest

p= 1 +1

3.5La famille(a,b,0)

DeÞnition1.Ladis tribution(p

k k0 dÕunevariabledis cr`eteappartient`ala famille(a,b,0)sÕilexiste descon stantesa,btellesque p k p k1 =a+quotesdbs_dbs45.pdfusesText_45

[PDF] ajustement statistique hydrologie PDF Cours,Exercices ,Examens

[PDF] ajuster équation de reaction 4ème Physique

[PDF] Ajuster la stoechiometrie d'une équation 2nde Physique

[PDF] ajuster les coefficients stoechiométriques des réactions suivantes 2nde Physique

[PDF] Ajuster une équation de réaction 4ème Physique

[PDF] Ajuter les nombres stoechiometriques 2nde Physique

[PDF] AKUKA peuple TOLAI 2nde Musique

[PDF] Al + Infinitif + Imparfait - Espagnol 3ème Espagnol

[PDF] Al Andalus devoir 2nde Espagnol

[PDF] al khwarizmi algorithme PDF Cours,Exercices ,Examens

[PDF] al khwarizmi biographie PDF Cours,Exercices ,Examens

[PDF] al khwarizmi decouvertes PDF Cours,Exercices ,Examens

[PDF] al khwarizmi equation PDF Cours,Exercices ,Examens

[PDF] al khwarizmi methode PDF Cours,Exercices ,Examens

[PDF] al massalik devoir PDF Cours,Exercices ,Examens