Ch 1. Ensembles et dénombrement I. Ensembles II. Cardinaux
Définition 8 Soit A un ensemble fini. Le cardinal de A noté
Ensembles et dénombrement
E 5 Si m ? n alors l'ensemble [m
Combinatoire et dénombrement
Soient E un ensemble fini et A et B deux parties de E disjointes. Le cardinal de la réunion de A et de B est la somme des cardinaux des parties A et B. ?
COMBINATOIRE ET DÉNOMBREMENT
Dénombrer c'est compter le nombre d'éléments que contient un ensemble fini
Chapitre6 : Dénombrement
Chapitre6 : Dénombrement I Ensembles finis et cardinaux : les bases. A) Supposé connu ... Ce qu'est le cardinal d'un ensemble fini (card(H)=0).
Cardinalité des ensembles finis
Deux ensembles (fini ou non) sont équipotents ou de même cardinal s'il existe une bijection entre eux. Pourquoi dénombrer un ensemble fini ?
Quelques notions mathématiques de base
22 janv. 2017 Dénombrer un ensemble fini non vide consiste à déterminer le nombre de ses éléments. ... Cardinal de l'ensemble des k-listes d'un ensemble.
Dénombrement
17. Dénombrement. Théorème 4. Soit E un ensemble fini de cardinal n. Soit p ? n. Alors le nombre de p-arrangements Ap n de l'ensemble. E est égal à.
Ensembles : définitions dénombrement et construction
Cardinal et dénombrement. Ensembles Le cardinal d'un ensemble fini E est son nombre d'éléments. ... Mode de définition trivial (pour ensembles finis).
denombrement.pdf - Dénombrement
5 nov. 2009 1 Cardinaux d'ensembles finis. 1.1 Quelques définitions. Définition 1. Un ensemble E est fini s'il est en bijection avec l'ensemble {1; ...
COMBINATOIRE ET DÉNOMBREMENT - maths et tiques
Dénombrer c’est compter le nombre d’éléments que contient un ensemble fini c’est à dire en déterminer le cardinal Exemples : L’ensemble ! des joueurs d’une équipe de foot est un ensemble fini Alors #$ &(!) = 11 L’ensemble ? des entiers naturels n’est pas un ensemble fini
Cours - Denombrement
1 cardinal d’un ensemble fini Dé?nition-théorème (Ensemble ?ni/in?ni cardinal d’un ensemble ?ni) Soit E un ensemble • On dit que E est ?ni s’il est vide ou si pour un certain n ? N ? il existe une bijection de l’ensemble ¹1 n ºsur E
DENOMBREMENT - Unisciel
Le cardinal d’un ensemble fini est le nombre de ses éléments On définit aussi le cardinal d’un ensemble infini mais c’est beaucoup plus compliqué Exemples : L’ensemble des nombres impairs et sont infinis dénombrables
Ensembles ?nis et Dénombrement
a) Cardinal d’un ensemble ?ni Cardinal d’un ensemble ?ni Notations j A Card( ) #A Tout fondement théorique des notions d’entier na-turel et de cardinal est hors programme Cardinal d’une partie d’un ensemble ?ni cas d’égalité Une application entre deux ensembles ?nis de même cardinal est bijective si et seulement
Chapitre6 : Dénombrement
‚ Ce qu’est le cardinal d’un ensemble fini (card(H) = 0) ‚ Pour np P N avec p ? n card(JpnK) = n´p+1 ‚ Proposition (admise) : Si E est fini et siF ? E alors F est fini et card(F) ? card(E) Si E et F sont disjoints et finis alors F YE est fini et card(E YF) = card(E)+card(F) B) Conséquences Si E1E2 En sont finis et
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? 1) CARDINAL d’un ensemble fini ( effectif ) a) Définition 1 : Un ensemble ? contenant n éléments où n ? IN est dit « fini » On dit alors que « le cardinal de ? est n » on note card( ?) = n ou encore ? = n b) Exemples : 1 ? est l’ensemble des lettres de l’alphabet : card( ?) = ? = 26
Quel est le cardinal d’un ensemble fini ?
1CARDINAL D’UN ENSEMBLE FINI Dé?nition-théorème (Ensemble ?ni/in?ni, cardinal d’un ensemble ?ni)SoitEun ensemble. • On dit queEest?nis’il est vide ou si, pour un certainn? N?, il existe une bijection de l’ensemble ¹1,nºsurE. On dit dans le cas contraire queEestin?ni.
Comment calculer le cardinal d’un ensemble ?
On admet qu’un tel entier n, si il existe est unique, il est appelé cardinal de E et noté card(E), |E| ou encore #E. ? Le cardinal d’un ensemble fini est son nombre d’éléments. = { x1, x2, ...,xn }. ? Si E n’est pas un ensemble fini, on dit qu’il est infini. Un singleton est un ensemble de cardinal 1 E =
Comment montrer qu’un ensemble est fini ?
Dans la pratique : Pour montrer qu’en ensemble est fini et donner son cardinal, on pourra le mettre en bijection avec un ensemble fini dont le cardinal est connu. Lemme 10.2: Si E est une ensemble fini de cardinal n ? 1 et a un élément de E alors E{a} est fini et de cardinal n – 1. Si n = 1 alors E = {a} et E{a} = ?, le lemme est vérifié
Comment dénombrer un ensemble ?
? Méthode : Pour dénombrer un ensemble on peut représenter ses éléments dans une structure de données (arbre, tableau...) qui permet de compter. Corollaire : Soit E et F deux ensembles finis de cardinal respectifs p et n. Théorème 10.3 : Soit E un ensemble fini de cardinal n, l’ensemble P(E) des parties de E est fini et card(P(E)) = 2n.
EFGABCĘ nmpab
cĘ nPN n! ĕ %0! = 1 @nPN,(n+ 1)! = (n+ 1)ˆn!.E=H EF
F=HFYE (EYF) =(E) +(F)
E1,E2,...En E1YE2Y...YEn
řn k=1EkEF EYF (EYF) =(E) +(F)´(EXF)
EYF=EY(FzE) FzEĂF FzE EFzE
EY(FzE) (EY(FzE)) =(E)+(FzE) (EYF) =(E)+(FzE)
(FzE)Y(FXE) =F FzEFXE (FzE)+(FXE) = (F) (FzE) =(F)´(FXE) (EYF) =(E)+(F)´(EXF) EEFðñF (F)ě(E)
EFðñF (F) =(E)
EF ā f:EÑF
f ðñf f ðñfE E E E NE
kÞÝÑ2k0 1 2 3´1´2´3´4
a 0 a 1 a 2 a 3 a 4NˆN
0 1 2 3 4 0 0 (0,0) 2 (0,1) 5 (0,2) (0,3) (0,4) 1 1 (1,0) 4 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) 2 3 (2,0) (2,1) 3 (3,0) (3,1) 4 (4,0) (4,1) f(0) = 10011001001...11... f(1) = 10010001110...01... f(0) =a0,0 a0,1a0,2a0,3a0,4...
f (1) =a1,0a1,1 a1,2a1,3a1,4...
f(2) =a2,0a2,1a2,2 a2,3a2,4...
u E @kPN,uk=$ %0ak,k= 11ak,k= 0
u=f(n) @kPN,uk=an,k un=an,n (EˆF) (E) =n (F) =p (EˆF) =nˆpĿ ŀ (a,b)EˆF an b
p (a,b) ? ? ? ? a b aPEtauˆF aPEFÝÑ tau ˆF yÞÝÑ(a,y (tauˆF) =(F) tau ˆFaPE (EˆF) =ř
aPE(tau ˆF) =ř aPE(F) =(E)ˆ(F) (E1ˆE2ˆ...ˆEn) =(E1)ˆ(E2)ˆ...ˆ(En) (Em) = ((E))m (F(E,F)) (F(E,F)) = ((F))(E)E=ta1,a2,...anuɍ ai F=tb1,b2,...bpuɍ bj
EF a1p a2p Ęn anp pn (F(J1,mK,E)) = ((E))m (P(E)) (P(E)) = 2(E) (r1,r2,...rn)0 1 @kPJ1,nK,rk=$ %0akRA 1akPA 2n P (E)ÝÑ t0,1unAÞÝÑ(x1,x2,...xn),
@kPJ1,nK,xk=$ %0akRA1akPA,
A pn=$ %0pąn n! EF f(a1)n f(a2)n´1 f(ap)n´p+ 1 n(n´1)...(n´p+ 1) A S(E)E n En!
E EE
Ann p n n p) %0pąn n! (N P) Apn (n p) p! (n p)ˆp! (n p)=Ap n p!=n! p!(n´p)! n p) n´p)=(n p) p)=(n´1 p)+(n´1 p´1) n p=0( n p) = 2 n n p) =n p n´1 p´1) =n´p+ 1 p n p´1) pąn n p) = 0,(n´1 p) = 0,(n´1 p´1) = 0 p=n n p) = 1,(n´1 p) = 0,(n´1 p´1) = 1E n nąpE‰ H aPE
n p) =N1+N2,ɍN1 p Ea N2 p
Ea N1=(n´1
p) p Eztau N2=(n´1
p´1) (N P) (n p) p n 0 123 0 1 000 1 1 1 0 0 22 1 + 1 1 + 0
0 31 1 + 2 2 + 1 1 + 0
řn p=0( n p=0Pp(E) Pp(E) Pk(E) kE (P(E)) =řn
p=0(Pp(E)) 2n=řn p=0( n p) p= 0pąn n p) =n! p!(n´p)!=n p (n´1)! (p´1)!(n´1´(p´1))!=n p n´1 p´1) n´p+ 1 p n! (p´1)!(n´p+ 1)!=n´p+ 1 p n p´1) p=n+ 1 n n+ 1) = 0,(n´1 n) = 0,n´p+ 1 p = 0. N=(n p) loomoonAˆploomoon
aA,N=nloomoon
aEˆ(n´1 p´1) looomooon Ap a, N=(n p) loomoonAˆploomoon
aA, N=(n p´1) looomooonBp´1ˆ(n´p+ 1)looooomooooon
aEzB, (N P)E=t1,2,3up= 2
N=(n p) loomoonAˆploomoon
aA,$ ''''''''''%A=t1,2ua= 1 a= 2A=t2,3ua= 2
a= 3A=t1,3ua= 1
a= 3N=nloomoon
aEˆ(n´1 p´1) looomooon Apa,$ ''''''''''%a= 1A=t1,2uA=t1,3u
a= 2A=t1,2uA=t2,3u
a= 3A=t1,3uA=t2,3u
N=(n p´1) looomooonBp´1ˆ(n´p+ 1)looooomooooon
aEzB,$ ''''''''''%t1ua= 3 a= 2 t2ua= 1 a= 3 t3ua= 2 a= 3 a,bPC nPN (a+b)n=nÿ p=0( n p) a pbn´p n ab @nPN,(a+b)n=nÿ p=0( n p) a pbn´p loooooooooooooooomoooooooooooooooon P(n)P(0)P(1)
(N (a+b)n+1= (a+b)(a+b)n= (a+b)nÿ p=0( n p) a pbn´p nÿ p=0( n p) a p+1bn´ploooomoooon p+1+n´p=n+1+nÿ p=0( n p) a pbn´p+1loooomoooon p+n´p+1=n+1 n+1ÿ q=1( n q´1) a qbn´q+1+nÿ p=0( n p) a pbn´p+1 (n n) loomoon =(n+1 n+1)a n+1b0+nÿ p=1(( n p´1) +(n p))quotesdbs_dbs33.pdfusesText_39[PDF] diagramme de venn union intersection
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