Cours dAnalyse 3 Fonctions de plusieurs variables PDF

Les propriétés de base pour les limites de fonctions de plusieurs variables sont les mêmes que pour les fonctions d'une variable réelle. Les trois propositions

Chapitre 2 - Continuité dune fonction de plusieurs variables

Maintenant qu'on a défini la notion de limite pour des suites dans Rn la notion de continuité s'étend sans problème à des fonctions de plusieurs variables.

TD1 – Continuité des fonctions de plusieurs variables réelles

Solution. On rappelle que pour étudier la continuité d'une fonction f sur un point il faut : — vérifier si la limite de f au point x0 existe et

CHAPITRE 1 Fonctions à plusieurs variables : limites et continuité

Fonctions à plusieurs variables : limites et continuité. Dans ce chapitre on s'intéresse à des fonctions f : D ? Rn ? Rp où n > 2 et p ? 1.

Cours dAnalyse 3 Fonctions de plusieurs variables

Notamment la compacité et la continuité : toute fonction continue sur un compact est uniformément continue (nous verrons ce que cela veut dire) sur ce compact

FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES (Outils Mathématiques 4)

Si f est une altitude on dit courbe isoplèthe. etc. 2 Limites et continuité. Définition 2.1 Soit f : R2 ? R une fonction réelle de deux variables réelles

Fonctions de plusieurs variables

fxy(t). Etudier la continuité de F sur R2. Correction ?. [005554]. Exercice 3 ***T.

Chapitre 1 - Fonctions de plusieurs variables. Limites dans R

A la lumière des exercices 5 et 6 on voit que l'étude de la continuité et de la dérivabilité d'une fonction de R dans Rp ne pose pas vraiment de difficulté

Fonctions de plusieurs variables

Fonctions de plusieurs variables Donner un développement limité à l'ordre 3 en 0 de la fonction implicitement ... Etudions la continuité de f en (00).

2.4 Différentiabilité en plusieurs variables

Chapter 2: Fonctions de plusieurs variables La différentiabilité est une condition plus forte que la continuité et la dérivabilité.

Continuité d’une fonction de plusieurs variables

Continuité d’une fonction de plusieurs variables Celaprouvequelasuite(x m) m2N estdeCauchy PuisqueR nestcompletelleconvergevers unelimitex Comme estfermécettelimiteappartientà En?npourtoutm2N ona x m+1 = f(x m): L’hypothèsesurfimpliquequefestcontinuesurdoncparpassageàlalimite(m!1) onobtient x= f(x):

Continuitéd’unefonctionde plusieursvariables

Exercice5 Prologerparcontinuitélafonction: f(xy) = xyln(x2 +y2) aupoint(00) Solution Oncherchededémontrerquenotrefonctionadmetlimite0 lorsque(xy) ?(00) à l

Leçon 02 – Cours : Fonctions à plusieurs variables

3 1 Fonctions implicites dans le cas de deux variables Tout d'abord expliquons ce qu'est une fonction implicite Lorsqu'on étudie une fonction x ? y = f(x) y est explicitement fonction de x c'est à dire que connaissant les différentes valeurs de x on peut calculer directement y

Limites et continuité pour une fonction de plusieurs variables

La proposition suivante généralise le théorème qui dit qu’une fonction continue sur un segmentestcontinueetatteintsesbornes: Proposition2 22 L’imaged’uncompactparunefonctioncontinueestcompacte Corollaire2 23 SoitKuncompactdeRnetfunefonctioncontinuedeKdansR Alors festbornéeetatteintsesbornes

Fonctions de plusieurs variables : Sujet et Corrigé de l’Examen

Pour (x;y) 6= (0 ;0) la fonction a une expression rationnelle donc par les théorèmes généraux sur la continuité de la somme et du produit elle est continue en chacun de ces points Reste à étudier la continuité en (0;0) On peut le faire par les normes ou bien par passage en coordonnées polaires

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Comment calculer la continuité d’une fonction de plusieurs variables?

Continuité d’une fonction de plusieurs variables Celaprouvequelasuite(x m) m2NestdeCauchy.PuisqueR nestcomplet,elleconvergevers unelimitex.Comme estfermé,cettelimiteappartientà .En?npourtoutm2N ona x m+1= f(x

Qu'est-ce que la fonction de plusieurs variables?

Chapitre 2 1 Fonctions de plusieurs variables Ce chapitre est conscr´e aux fonctions de plusieurs variables, c’est-`a-dire d´e?nies sur une partie de Rn, qu’on appellera son domaine de d´e?nition. On se limitera essentiellement aux fonctions de 2 ou 3 variables.

Comment calculer les fonctions de plusieurs variables?

1 Fonctions de plusieurs variables Ce chapitre est conscr´e aux fonctions de plusieurs variables, c’est-`a-dire d´e?nies sur une partie de Rn, qu’on appellera son domaine de d´e?nition. On se limitera essentiellement aux fonctions de 2 ou 3 variables. Exemple 1. Soit f 1d´e?nie sur R2par f 1(x,y) = (x+y)/(x?y).

Quels sont les exercices corrigés sur les fonctions de plusieurs variables ?

On propose des exercices corrigés sur les fonctions de plusieurs variables. C’est le calcul différentiel en dimension finie. En particulier le calcul des dérivées partielles et les extremums des fonctions de plusieurs variables. Noter qu’on peut aussi parler de clacul differentiel dans les espaces de dimension infinie.

Université Claude Bernard, Lyon ILicence Sciences, Technologies & Santé

43, boulevard 11 novembre 1918Spécialité Mathématiques

69622 Villeurbanne cedex, FranceL. Pujo-Menjouet

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Cours d"Analyse 3

Fonctions de plusieurs variablesFIGURE1 - Représentation de la fonctionf:R27!Rdéfinie par(x;y)7!z=sin(x2+3y2)0:1+r2+

(x2+ 5y2)exp(1r2)2 ;avecr=px

2+y2, et projection des courbes de niveau sur les plans

z= 0etz= 9. 1

Préambule

Le but de ce cours est degénéraliser la notion de dérivéed"une fonction d"une variable réelle

à valeurs réelles à partir de la théorie du calcul différentiel appliquée aux fonctions de plusieurs

variables. L"idée fondamentale de cette théorie est d"approcherune application "quelconque" (de

plusieurs variables réelles ici) par une applicationlinéaireauvoisinaged"un point. Le cadre général pour la mettre en oeuvre est celuides espaces vectoriels(ce qui donne un sens au mot"linéaire"comme nous le verrons dans les chapitres qui suivent), munis d"unenormesur l"espace de départ (pour avoir une notion devoisinage) et unenormesur l"espace d"arrivée (pour savoir"approcher").

Nous verrons que de cette théorie découle plusieurs propriétés et théorèmes classiques importants

ainsi que plusieurs applications notamment pour l"optimisation (voir le dernier chapitre du cours).

Toutefois, avant de s"attaquer au calcul différentiel proprement dit, il paraît nécessaire de bien

définir les notions de bases en topologie associées à cette théorie, à savoir : - les distances, boules ouvertes, fermées, - les ensembles ouverts, fermés, les normes, etc. Nous ne le ferons pas dans le contexte des espaces vectoriels de dimension infinie (hors pro- gramme), mais dans le cas particulier des espacesRn(et le plus souvent les espaces oùR2etR3) qui sont des espaces vectoriels particuliers de dimensionn(dimension finie). Rappelons qu"en dimension 2 (n= 2), on identifie un vecteurxde coordonnées(x1;x2)avec un point du plan de coordonnées(x1;x2)une fois fixée une origine. parx= (x1;:::;xn)2Rn. Rappelons enfin que l"ON NE PEUT PAS DIVISER PAR UN VECTEUR! Or, dansR, la définition de la dérivée fait intervenir le rapport(f(x)f(x0))=(xx0). Elle implique donc de pouvoir diviser par(xx0). Mais dansRnça n"a pas de sens car la division

par un vecteur n"est pas définie. Que faire alors si on ne peut pas définir la dérivée d"une fonction

DRn!Rn? C"est tout le but de ce cours : introduire une notion généralisée de la dérivée : la

DIFFERENTIABILITE.

Table des matières

1 Notion de topologie dansRn5

1.1 Espaces métriques, distance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.2 Normes des espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.3 Boules ouvertes, fermées et parties bornée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.4 Ouverts et fermés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.5 Position d"un point par rapport à une partie deE. . . . . . . . . . . . . . . . . .14

1.6 Suites numériques dans un espace vectoriel normé . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.7 Ensemble compact . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.8 Ensemble convexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.9HORS PROGRAMME :Applications d"unee.v.n.vers une.v.n.. . . . . . . . .23

1.9.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.9.2 Opérations sur les fontions continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.9.3 Extension de la définition de la continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.9.4 Cas des espaces de dimension finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.9.5 Notion de continuité uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.9.6 Applications linéaires continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2 Fonctions de plusieurs variables. Limite. Continuité. 29

2.1 Fonctions réelles de variable réelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.2 Notion de limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.3 Fonctions continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.4 Coordonnées polaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.5 Continuité sur un compact . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.6 Théorème des valeurs intermédiaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3 Calcul différentiel 41

3.1 Dérivées partielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.2 Opérateurs différentiels classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.2.1 Gradient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.2.2 Divergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.2.3 Rotationnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.3 Propriétés des dérivées partielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.4 Notion de différentiabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.5 Opérations sur les fonctions différentiables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.6 Propriétés géométriques des fonctions de plusieurs variables . . . . . . . . . . . .

51
3

TABLE DES MATIÈRES TABLE DES MATIÈRES

3.6.1 Gradient et ligne de niveau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.6.2 Le gradient indique la ligne de plus grande pente . . . . . . . . . . . . . .

3.6.3 Plan tangent à un graphe d"une fonction de 2 variables . . . . . . . . . . .

4 Théorème des accroissements finis 55

4.1 Fonction d"une variable réelle à valeurs réelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.2 Fonction d"une valeur sur un espaceRpet à valeurs réelles . . . . . . . . . . . . .56

4.3 Fonction d"une variable réelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.4 Théorème général . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.5 Application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5 Difféomorphismes 61

5.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.2 Théorème d"inversion locale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.3 Théorème des fonctions implicites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6 Formules de Taylor 67

6.1 Applications deux fois différentiables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6.2 Exemples de différentielles d"ordre 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6.3 Matrice Hessienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6.4 Différentielle d"ordrek. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .70

6.5 Formule de Taylor avec reste intégral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6.5.1 Fonction d"une variable réelle à valeur réelle . . . . . . . . . . . . . . . .

6.5.2 Fonction d"une variable réelle à valeurs dansRq. . . . . . . . . . . . . . .73

6.5.3 Fonction deRpà valeurs dansRq. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .75

6.6 Formule de Taylor-Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6.6.1 Fonction d"une variable réelle à valeur dansRq. . . . . . . . . . . . . . .75

6.6.2 Fonction deRpà valeur dansRq. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .76

6.7 Formule de Taylor-Young . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7 Extrema79

7.1 Rappels d"algèbre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7.2 Extrema libres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7.2.1 Condictions nécessaires du premier ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7.2.2 Conditions du second ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7.2.3 Critères avec les matrices Hessiennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7.2.4 Cas particulier oùf:R2!R. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .85

7.3 Extrema liés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7.3.1 Contraintes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7.3.2 Extrema liés avec une seule contrainte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7.3.3 Extrema liés avec plusieurs contraintes . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7.4 Convexité et minima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

88
4

Chapitre 1

Notion de topologie dansRn(a)Leonhard Euler

(1707-1783) : en résolvant en 1736 le problème des sept ponts enjambant la rivière Pregolia

Prusse, il a ouvert la

voie de la topologie.

En effet, par la

généralisation de ce problème, Cauchy et L"Huillier entre autres commencèrent

à développer la

théorie liée à cette discipline.(b) Maurice René

Fréchet (1878-1973) :

c"est à lui que l"on doit en 1906 les d"es- paces métriques et les premières notions de topologie en cherchant

à formaliser en termes

abstraits les travaux de Volterra, Arzelà,

Hadamard et Cantor.(c)Johann Bene-

dict Listing (1808-

1882) : il est le pre-

mier à avoir em- ployé le mot "topo- logie" FIGURE1.1 - Quelques mathématiciens célèbres liés à la topologie.

1.1 Espaces métriques, distance

Nous allons dans ce cours, nous intéresser aux fonctionsf:URp!Rq(p;q2N). Pour cela il faudra étudier tout d"abord la structure du domaineUcar le domaine est aussi important que la fonction comme nous le verrons. 5

1.1 Espaces métriques, distance Notion de topologie dansRnNous allons donc définir de nouvelles notions : distances, normes, ouverts, fermés, etc. dans les

domaines inclus dansRnqui nous seront utiles tout au long de ce semestre pour tous les nouveaux outils abordés.

Toutefois, même si nous travaillerons principalement dansR2,R3ou de façon généraleRn, nous

pourrons de temps à autre donner des résultats plus généraux qui resteront valables dans des es-

paces autres que ceux-ci (ce sera le cas de ce premier chapitre). Mais ce ne seront pas n"importe

quels espaces. Les définitions et propositions ci-dessous font en effet intervenir des combinaisons

entre eux des éléments d"un même espace, des multiplications par des scalaires, etc. Par consé-

quent il est nécessaire que cet espace reste stable par combinaison linéaires de ses éléments, et les

plus appropriés ici seront les espaces vectoriels que nous rappelons ci-dessous.SoitEun ensemble. On dispose sur cet ensemble d"une opération (notée additivement)

et on dispose par ailleurs d"une applicationKE!Equi à tout couple(;x)associe x. On dit queEest un espace vectoriel lorsque

1.Eest un groupe commutatif (pour l"addition)

2. pour tout v ecteurxdeE,1:x=x(1désignant le neutre de la multiplication deK). 3. pour tous ;2Ket pour tout vecteurxdeE,()x=(x) 4. pour tous ;2Ket pour tout vecteurxdeE,(+)x=x+x 5. pour tout 2Ket tous vecteursx;y2E,(x+y) =x+y.Définition 1.1(ESPACES VECTORIELS)Exemple .

L"espace

R n=R:::R|{z} nfois =fx= (x1;:::;xn);tel quexi2R;pour touti2 f1;:::;ngg: R nest un espace vectoriel de dimensionn. C"est celui que nous utiliserons le plus souvent ici.

Une fois donné l"espace vectoriel, il faut pouvoir évaluer ses éléments les uns par rapport aux

autres. D"où la notion de distance. 6

Notion de topologie dansRn1.1 Espaces métriques, distanceSoitEun ensemble non vide (on utilisera le plus souventRnici). On dit qu"une applica-

tiond:EE!R+; (x;y)7!d(x;y); est une distance surEsi elle vérifie 1. (SEP ARATION)pour tout (x;y)2EE,fx=yg () fd(x;y) = 0g, 2. (SYMETRIE) pour tout (x;y)2EE,d(x;y) =d(y;x), 3. (INEGALITE TRIANGULAIRE) pour t out(x;y;z)2EEE,

d(x;y)d(x;z) +d(z;y)Définition 1.2(DISTANCE)On appelle espace métrique tout couple(E;d)oùE6=;est un espace vectoriel etdest

une distance.Définition 1.3(ESPACE METRIQUE)Exemple .

1.E=R, muni de la distanceddéfinie pour tout(x;y)2R2pard(x;y) =jxyjest un

espace métrique.

2.E=Rn, muni de la DISTANCE DE MANHATTANd1définie pour tout(x;y)2RnRn

par d

1(x;y) =nX

i=1jxiyij:

3.E=Rn, muni de la DISTANCE EUCLIDIENNEd2définie pour tout(x;y)2RnRnpar

2(x;y) = (nX

i=1jxiyij2)1=2:

4.E=Rn, muni de la DISTANCE DE MINKOWSKIdpdéfinie pour tout(x;y)2RnRn

par d p(x;y) = (nX i=1jxiyijp)1=p:

5.E=Rn, muni de la DISTANCE INFINIE ou distance TCHEBYCHEVd1définie pour tout

(x;y)2RnRnpar d

1(x;y) = sup

i=1;:::;njxiyij: 7

1.1 Espaces métriques, distance Notion de topologie dansRnFIGURE1.2-Représentationdetroisdistances.1.PlandeManhattanqui,parsesruesquadrilléesa

donné son nom à la distance de Manhattan. 2. Cette distance est représentée en bleu, jaune et rouge

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