[PDF] Fonctions de plusieurs variables





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Limites et continuité pour une fonction de plusieurs variables

Les propriétés de base pour les limites de fonctions de plusieurs variables sont les mêmes que pour les fonctions d'une variable réelle. Les trois propositions 



Chapitre 2 - Continuité dune fonction de plusieurs variables

Maintenant qu'on a défini la notion de limite pour des suites dans Rn la notion de continuité s'étend sans problème à des fonctions de plusieurs variables.



TD1 – Continuité des fonctions de plusieurs variables réelles

Solution. On rappelle que pour étudier la continuité d'une fonction f sur un point il faut : — vérifier si la limite de f au point x0 existe et 



CHAPITRE 1 Fonctions à plusieurs variables : limites et continuité

Fonctions à plusieurs variables : limites et continuité. Dans ce chapitre on s'intéresse à des fonctions f : D ? Rn ? Rp où n > 2 et p ? 1.



Cours dAnalyse 3 Fonctions de plusieurs variables

Notamment la compacité et la continuité : toute fonction continue sur un compact est uniformément continue (nous verrons ce que cela veut dire) sur ce compact 



FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES (Outils Mathématiques 4)

Si f est une altitude on dit courbe isoplèthe. etc. 2 Limites et continuité. Définition 2.1 Soit f : R2 ? R une fonction réelle de deux variables réelles



Fonctions de plusieurs variables

fxy(t). Etudier la continuité de F sur R2. Correction ?. [005554]. Exercice 3 ***T.



Chapitre 1 - Fonctions de plusieurs variables. Limites dans R

A la lumière des exercices 5 et 6 on voit que l'étude de la continuité et de la dérivabilité d'une fonction de R dans Rp ne pose pas vraiment de difficulté 



Fonctions de plusieurs variables

Fonctions de plusieurs variables Donner un développement limité à l'ordre 3 en 0 de la fonction implicitement ... Etudions la continuité de f en (00).



2.4 Différentiabilité en plusieurs variables

Chapter 2: Fonctions de plusieurs variables La différentiabilité est une condition plus forte que la continuité et la dérivabilité.



Continuité d’une fonction de plusieurs variables

Continuité d’une fonction de plusieurs variables Celaprouvequelasuite(x m) m2N estdeCauchy PuisqueR nestcompletelleconvergevers unelimitex Comme estfermécettelimiteappartientà En?npourtoutm2N ona x m+1 = f(x m): L’hypothèsesurfimpliquequefestcontinuesurdoncparpassageàlalimite(m!1) onobtient x= f(x):



Continuitéd’unefonctionde plusieursvariables

Exercice5 Prologerparcontinuitélafonction: f(xy) = xyln(x2 +y2) aupoint(00) Solution Oncherchededémontrerquenotrefonctionadmetlimite0 lorsque(xy) ?(00) à l



Leçon 02 – Cours : Fonctions à plusieurs variables

3 1 Fonctions implicites dans le cas de deux variables Tout d'abord expliquons ce qu'est une fonction implicite Lorsqu'on étudie une fonction x ? y = f(x) y est explicitement fonction de x c'est à dire que connaissant les différentes valeurs de x on peut calculer directement y



Limites et continuité pour une fonction de plusieurs variables

La proposition suivante généralise le théorème qui dit qu’une fonction continue sur un segmentestcontinueetatteintsesbornes: Proposition2 22 L’imaged’uncompactparunefonctioncontinueestcompacte Corollaire2 23 SoitKuncompactdeRnetfunefonctioncontinuedeKdansR Alors festbornéeetatteintsesbornes



Fonctions de plusieurs variables : Sujet et Corrigé de l’Examen

Pour (x;y) 6= (0 ;0) la fonction a une expression rationnelle donc par les théorèmes généraux sur la continuité de la somme et du produit elle est continue en chacun de ces points Reste à étudier la continuité en (0;0) On peut le faire par les normes ou bien par passage en coordonnées polaires



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Fonctions de plusieurs variables Exercices de Jean-Louis Rouget Retrouver aussi cette ?che sur www maths-france * très facile ** facile *** dif?culté moyenne **** dif?cile ***** très dif?cile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours Exercice 1 **T

Comment calculer la continuité d’une fonction de plusieurs variables?

Continuité d’une fonction de plusieurs variables Celaprouvequelasuite(x m) m2NestdeCauchy.PuisqueR nestcomplet,elleconvergevers unelimitex.Comme estfermé,cettelimiteappartientà .En?npourtoutm2N ona x m+1= f(x

Qu'est-ce que la fonction de plusieurs variables?

Chapitre 2 1 Fonctions de plusieurs variables Ce chapitre est conscr´e aux fonctions de plusieurs variables, c’est-`a-dire d´e?nies sur une partie de Rn, qu’on appellera son domaine de d´e?nition. On se limitera essentiellement aux fonctions de 2 ou 3 variables.

Comment calculer les fonctions de plusieurs variables?

1 Fonctions de plusieurs variables Ce chapitre est conscr´e aux fonctions de plusieurs variables, c’est-`a-dire d´e?nies sur une partie de Rn, qu’on appellera son domaine de d´e?nition. On se limitera essentiellement aux fonctions de 2 ou 3 variables. Exemple 1. Soit f 1d´e?nie sur R2par f 1(x,y) = (x+y)/(x?y).

Quels sont les exercices corrigés sur les fonctions de plusieurs variables ?

On propose des exercices corrigés sur les fonctions de plusieurs variables. C’est le calcul différentiel en dimension finie. En particulier le calcul des dérivées partielles et les extremums des fonctions de plusieurs variables. Noter qu’on peut aussi parler de clacul differentiel dans les espaces de dimension infinie.

Exo7

Fonctions de plusieurs variables

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours

Exercice 1**TEtudier l"existence et la valeur éventuelle d"une limite en(0;0)des fonctions suivantes :

1. xyx+y 2. xyx 2+y2 3. x2y2x 2+y2 4.

1+x2+y2y

siny 5. x3+y3x 2+y2 6. x4+y4x 2+y2. t7!xt2+ytpuisF(x;y) =sup t2[1;1]f x;y(t). Etudier la continuité deFsurR2. xy(x2y2)x

2+y2si(x;y)6= (0;0).

(x;y)7!(0 siy=0 y

2sinxy

siy6=0. 1.

Etudier la continuité de f.

2.

Etudier l"e xistenceet la v aleurév entuellede déri véespartielles d"ordre 1 et 2. On montrera en particulier

que

Déterminer une fontion de classeC2sur un intervalleIdeRà préciser à valeurs dansRtelle que la fonction

1 g(x;y) =fcos2xch2y

soit non constante et ait un laplacien nul sur un sous-ensemble deR2le plus grand possible (une fonction de

Laplacien nul est dite harmonique).

1.f:R2!R

(x;y)7!x2+xy+y2+2x+3y

2.f:R2!R

(x;y)7!x4+y44xy admettra que ce maximum existe).

2+(ya)2+py

2+(xa)2.

dansRqui à(x;y)associejyx vérifie : 3. 1. 2

2+y2surD=f(x;y)2R2=x>0g(en passant en polaires).

Correction del"exer cice1 NOn notefla fonction considérée. 1.

Pour x6=0,f(x;x+x3)=x(x+x3)xx+x3x!0+1x

. Quandxtendvers0,x+x3tendvers0puis lim(x;y)!(0;0) x>0;y=x+x3f(x;y)=

¥.fn"a de limite réelle en(0;0).

2.

Pour x6=0,f(x;0) =x0x

2+02=0 puis lim(x;y)!(0;0)

y=0f(x;y) =0. Mais aussi, pourx6=0,f(x;x) =xxx

2+x2=12

puis lim (x;y)!(0;0)x=yf(x;y) =12 . Donc sifa une limite réelle, cette limite doit être égale à 0 et à12 ce qui est impossible.fn"a pas de limite réelle en(0;0). 3. Pour tout (x;y)2R2,x22jxyj+y2= (jxjjyj)2>0 et doncjxyj612 (x2+y2). Par suite, pour(x;y)6= (0;0), jf(x;y)j=x2y2x

2+y26(x2+y2)24(x2+y2)=14

(x2+y2).

Comme lim

(x;y)!(0;0)14 (x2+y2) =0, on a aussi lim(x;y)!(0;0)f(x;y) =0. 4. lim (x;y)!(0;0)sinyy =1 et lim(x;y)!(0;0)(1+x2+y2) =1. Donc lim(x;y)!(0;0)f(x;y) =1. 5.

Pour (x;y)2R2,jx3+y3j=jx+yj(x2+xy+y2)632

jx+yj(x2+y2)et donc pour(x;y)6= (0;0), jf(x;y)j=jx3+y3jx

2+y2632

jx+yj.

Comme lim

(x;y)!(0;0)32 jx+yj=0, on a aussi lim(x;y)!(0;0)f(x;y) =0. 6.

Pour (x;y)2R2,jx4+y4j= (x2+y2)22x2y26(x2+y2)2+212

(x2+y2)2=32 (x2+y2)2et donc pour(x;y)6= (0;0), jf(x;y)j=jx4+y4jx

2+y2632

(x2+y2).

Comme lim

(x;y)!(0;0)32

(x2+y2) =0, on a aussi lim(x;y)!(0;0)f(x;y) =0.Correction del"exer cice2 NDéterminonstoutd"abordF(x;y)pour(x;y)2R2. •Poury2R,F(x;y)=Maxff0;y(1);f0;y(1)g=Maxfy;yg=

jyj. • Six6=0,F(x;y) =Maxfx;y(1);fx;yy2x;fx;y(1)=Maxn x+y;xy;y24xo =Maxn x+jyj;y24xo Plus précisément, six>0, on ax+jyj>0 ety24x60. DoncF(x;y) =x+jyjce qui reste vrai quandx=0. Si x<0,x+jyj y24x =4x2+4xjyj+y24x=(2x+jyj)24x<0 et doncF(x;y) =y24x.

8(x;y)2R2;F(x;y) =(x+jyjsix>0

y24xsix<0.En vertu de théorèmes généraux,Fest continue surf(x;y)2R2;x>0getf(x;y)2R2;x<0g. Soity06=0.

lim(x;y)!(0;y0) x<0;y=y0F(x;y) = +¥6=jy0j=F(0;y0)et doncFn"est pas continue en(0;y0). Enfin, lim(x;y)!(0;0) x<0;y=pxF(x;y) = 14

6=0=F(0;0)et doncFn"est pas continue en(0;0).

3

Fest continue surR2nf(0;y);y2Rget est discontinue en tout(0;y),y2R.Correction del"exer cice3 N• Pour(x;y)2R2,x2+y2=0,x=y=0 et doncfest définie surR2. •fest de classeC¥surR2nf(0;0)g

en tant que quotient de fonctions de classeC¥surR2nf(0;0)gdont le dénominateur ne s"annule pas sur

R

2nf(0;0)g.

2+y2=jxyj. Commelim(x;y)!(0;0)jxyj=0, onendéduitque lim(x;y)!(0;0)

(x;y)6=(0;0)f(x;y)= f(x;0)f(0;0)x0=x0(x202)x(x2+02)=0, et donc lim

x!0f(x;0)f(0;0)x0=0. Ainsi,fadmet une dérivée partielle par rapport à sa première variable en(0;0)

et

Finalement,fadmet surR2une dérivée partielle par rapport à sa première variable définie par

:0 si(x;y) = (0;0) y(x4+4x2y2y4)(x2+y2)2si(x;y)6= (0;0). dansR2 Donc,fadmet surR2une dérivée partielle par rapport à sa deuxième variable définie par :0 si(x;y) = (0;0) x(x44x2y2y4)(x2+y2)2si(x;y)6= (0;0). R fest de classeC1exactement surR2.Correction del"exer cice4 N4

1.Posons D=f(x;y)=y6=0g.fest continue surR2nDen vertu de théorèmes généraux. Soitx02R.

jf(x;y)f(x0;0)j=(0 siy=0 y

2sinxy

siy6=06y2.

Comme lim

(x;y)!(x0;0)y2=0, lim(x;y)!(x0;0)jf(x;y)f(x0;0)j=0 et doncfest continue en(x0;0). Finalement, (x;y)2R2nD, xcosxy puis xy sinxy et enfin 2xy cosxy x2y

2sinxy

variable surR2définie par ycosxy f(x0;y)f(x0;0)y0=(0 siy=0 ysinx 0y siy6=06jyj: et donc dérivée partielle par rapport à sa deuxième variable surR2définie par

2ysinxy

xcosxy 5 et donc )y =1 et donc

décritR2,cos(2x)ch(2y)décrit[1;1]. On suppose déjà quefest de classeC2sur[1;1]. L"applicationgest alors de

classeC2surR2et pour(x;y)2R2, +4sin2(2x)ch

2(2y)f00cos2xch2y

Ensuite,

2(2y)f0cos2xch2y

puis

2cos(2x)sh(2y)4sh(2y)ch

3(2y)f0cos2xch2y

+4cos2(2x)sh2(2y)ch

4(2y)f00cos2xch2y

Mais alors

Dg(x;y) =8cos(2x)ch2(2y)+8cos(2x)sh2(2y)ch

3(2y)f0cos2xch2y

+4sin2(2x)ch2(2y)+4cos2(2x)sh2(2y)ch

4(2y)f00cos2xch2y

8cos(2x)ch

3(2y)f0cos2xch2y

4(2y)f00cos2xch2y

8cos(2x)ch

3(2y)f0cos2xch2y

+4ch2(2y)4cos2(2x)ch

4(2y)f00cos2xch2y

4ch 2(2y)

2cos(2x)ch(2y)f0cos2xch2y

1cos2(2x)ch

2(2y) f

00cos2xch2y

Par suite,

Dg=0, 8(x;y)2R2;2cos(2x)ch(2y)f0cos2xch2y

1cos2(2x)ch

2(2y) f

00cos2xch2y

=0 , 8t2[1;1];2t f0(t)+(1t2)f00(t) =0, 8t2[1;1];((1t2)f0)0(t) =0 , 9l2R;8t2[1;1];(1t2)f0(t) =l: 6 Le choixl6=0 ne fournit pas de solution sur[1;1]. Doncl=0 puisf0=0 puisfconstante ce qui est exclu. Donc, on ne peut pas poursuivre sur[1;1]. On cherche dorénavantfde classeC2sur]1;1[de sorte queg est de classeC2surR2nkp2 ;0;k2Z. fsolution, 9l2R;8t2]1;1[;(1t2)f0(t) =l, 9l2R=8t2]1;1[;f0(t) =l1t2

, 9(l;m)2RR=8t2]1;1[;f(t) =largtht+m:Correction del"exer cice6 N1.fest de classeC1surR2qui est un ouvert deR2. Donc sifadmet un extremum local en un point(x0;y0)

deR2,(x0;y0)est un point critique def. Or, pour(x;y)2R2, 8< x+2y+3=0,8 :x=13 y=43 Donc sifadmet un extremum local, c"est nécessairement en13 ;43 avecf13 ;43 =73 . D"autre part, f(x;y) =x2+xy+y2+2x+3y= x+y2 +1 2y2 +1

2+y2+3y=

x+y2 +1

2+3y24

+2y1 x+y2 +1 2+34 y+43 2 73
>73 =f 13 ;43

Doncfadmet un minimum local en13

;43

égal à73

et ce minimum local est un minimum global.

D"autre part,fn"admet pas de maximum local.

2.fest de classeC1surR2qui est un ouvert deR2. Donc sifadmet un extremum local en un point(x0;y0)

deR2,(x0;y0)est un point critique def. Or, pour(x;y)2R2, 8<

4y34x=0,y=x3

x

9x=0,(x;y)2 f(0;0);(1;1);(1;1).

Lespointscritiquesdefsont(0;0),(1;1)et(1;1). Maintenant, pour(x;y)2R2,f(x;y)=f(x;y). Ceci permet de restreindre l"étude aux deux points(0;0)et(1;1). • Pourx2R,f(x;0) =x4>0 surR etf(x;x) =4x2+2x4=2x2(2+x2)<0 sur]p2;0[[]0;p2[. Doncfchange de signe dans tous voisinage de(0;0)et puisquef(0;0) =0,fn"admet pas d"extremum local en(0;0). • Pour(h;k)2R2, f(1+h;1+k)f(1;1) = (1+h)4+(1+k)44(1+h)(1+k)+2=6h2+6k24hk+4h3+4k3+h4+k4 =h2(2h2+1)2+k2(2k2+1)2>0:

fadmet donc un minimum global en(1;1)(et en(1;1)) égal à2.Correction del"exer cice7 NSoitMun point intérieur au triangleABC. On posea=BC,b=CAetc=AB. On notex,y,zetAles aires

respectives des trianglesMBC,MCA,MABetABC. On a 7 d(M;(BC))d(M;(CA))d(M(AB)) =2aire(MBC)a

2aire(MCA)b

2aire(MAB)c

=8xyzabc =8abc xy(Axy). T=f(x;y)2R2;x>0;y>0;x+y0=f(x;y)2R2;x>0;y>0;x+y6Ag(cela résulte d"un théorème de math Spé : une fonction numérique

continue sur un compact admet un minimum et un maximum ). Ce maximum est atteint dans l"intérieurTde

T

0carfest nulle au bord deT0et strictement positive à l"intérieur deT0.

Puisquefest de classeC1surTqui est un ouvert deR2,fatteint son maximum surTen un point critique de f. Or, pour(x;y)2T2, 8 y(Axy)xy=0,y(A2xy) =0 x(Ax2y) =0

2x+y=A

x+2y=A,x=y=A3

Le maximum cherché est donc égal à

8abc A3 A3 AA3 A3 =8A327abc. (On peut montrer que ce

maximum est obtenu quandMest le centre de gravité du triangleABC).Correction del"exer cice8 NSoientRun repère orthonormé deR2muni de sa structure euclidienne canonique puisM,AetBles points de

coordonnées respectives(x;y),(0;a)et(a;0)dansR. Pour(x;y)2R2,f(x;y) =MA+MB>AB=ap2 avec

égalité si et seulement siM2[AB]. Donc

Le minimum defsurR2existe et vautap2.

Correction de

l"exer cice

9 NSoitjune application de classeC2surRpuisfl"application définie surUpar8(x;y)2U,f(x;y) =jyx

vérifie : 3. jyx jyx yx 2j0yx 1x j0yx =2yxquotesdbs_dbs35.pdfusesText_40
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