[PDF] FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES (Outils Mathématiques 4)

View - Download FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES (Outils Mathématiques 4)

Previous PDF

Next PDF

FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES

(Outils Mathématiques 4)

Bernard Le Stum

Université de Rennes 1

Version du 13 mars 2009

Table des matières

1 Fonctions partielles, courbes de niveau 1

2 Limites et continuité 5

3 Différentiabilité 8

4 Fonctions implicites 19

5 Développements limités 21

1 Fonctions partielles, courbes de niveau

Exemple 1.1i) Volume d"un cylindre.

[DESSIN] Une fois fixées des unités (mètre et mètre cube par exemple), lorsque le rayon ret la longueurhd"un cylindre varient dansR>0, le volumeV=πr2hdu cylindre varie dansR>0. On ditVestfonctiondes deux variablesreth. On dispose donc d"une fonction réelle R 2//R (r,h)//V(r,h) =πr2h de deux variables réelles. Cette fonction est définie sur sondomaine

D:={(r,h)?R2, r,h >0}

1

2B04 - Version du March 13, 2009

et sonimageestR>0. Choisissons deux valeursr0eth0. Si on fixe le rayon r=r0, alors on peut considérer lafonction partielle R //R h//V(r0,h) = (πr20)×h (qui est linéaire). [DESSIN] De même, si on fixe la longueurh=h0, on peut considérer l"autrefonction partielle R //R r//V(r,h0) = (πh0)×r2 (qui est cette fois quadratique). [DESSIN] Lorsqu"on donne différentes valeursViàV, on obtient ce qu"on appelle les courbes de niveaud"équationsπr2h=Vi: [DESSIN] Enfin, le graphe deVest la surface deR3d"équationV=πr2h, c"est à dire l"ensemble des points de la forme(r,h,πr2h)avecr,h >0. [DESSIN] ii) Température en un point d"une pièce à un moment donné. [DESSIN] Dans une pièce de longueurL, largeurlet hauteurh, on peut mesurer pendant une période donnée (disons, une heure) la température en un point donné à un moment donné. Si on fixe des unités (mètre et seconde par exemple), le coin en bas à gauche comme origine de la pièce et le moment de la première mesure comme origine du temps, la températureTest fonction des coordonnéesx,y,z du point et du momenttou la température est prise. En d"autres termes,T est fonction dex,y,z,t. On a définit donc une fonction réelle R 4T//R (x,y,z,t)//T(x,y,z,t) de quatre variables réelles. Quel est le domaine de définition de cette fonction? Définition 1.2On rappelle queR2désigne l"ensemble detousles couples(x,y) avecx?Rety?R. UnepartiedeR2estunensemble de couples de réels.

Exemple 1.3i) Le quadrant droit du plan.

[DESSIN]

B04 - Version du March 13, 20093

Il peut être décrit comme

Q={(x,y)?R2, x,y≥0}

ou encore commeQ=R>0×R>0. ii) Le cercle unité. [DESSIN]

Il peut être décrit comme

C={(x,y)?R2, x2+y2= 1}

(en compréhension : condition) mais aussi comme l"ensemble

C={(cosθ,sinθ), θ?R}

(en extension : paramétrisation). Définition 1.4Unefonctionréelle de deux variables réelles est une méthode qui associe à certains couples de réels(x,y), un autre réelf(x,y). On écrit R 2f//R (x,y)//f(x,y) Sondomaine de définitionest la partieDfdeR2formée des couples(x,y)pour lesquelsf(x,y)existe. L"image(du domaine) defest l"ensemble de toutes les valeurs quef(x,y)peut prendre.

Exemple 1.5La fonctionf(x,y) =xy-52

⎷y-x2est définie lorsque le point de coor- données(x,y)est situé au dessus de la paraboley > x2. [DESSIN]

On peut montrer que son image estRtout entier.

Définition 1.6Étant donne une fonctionf:R2→Ret un point(a,b)deR2, les fonctions partiellessont les fonctions d"une variable réelle obtenue en fixanty=b, R //R x//f x(x,b) =f(x,b) ou en fixantx=a, R //R y//f y(a,y) =f(a,y).

4B04 - Version du March 13, 2009

Définition 1.7 (Généralisation)On désigne parRnl"ensemble detouslesn- uples(x1,...,xn)avecx1,...,xn?R. Alternativement, on verra les éléments de R ncomme des vecteursu= (x1,...,xn)ou des pointsP= (x1,...,xn). La cor- respondance étant donnée paru=-→OP. UnepartiedeRnest tout simplementun ensemble den-uples de réels. Unefonctionréelle denvariables réelles est une méthode qui associe à certains n-uples(x1,...,xn), un autre réelf(x1,...,xn). On écrit R nf//R (x1,...,xn)//f(x1,...,xn) Sondomaine de définitionest la partieDfdeRnformée des pointsPpour lesquels f(P)existe. L"image(du domaine) defest l"ensemble de toutes les valeurs que f(P)peut prendre. Enfin, lesfonctions partiellesen un point(a1,...,an)sont les fonctions d"une va- riable réelle obtenue en faisant varier seulementxi: R nf//R x//f xi(a1,...,ai-1,x,ai+1,...an) =f(a1,...,ai-1,x,ai+1,...an)

Exemple 1.8La fonctionf(x,y) =xyez⎷x

2+y2+z2-1es définie lorsque le point

peut voir que son image est encoreRtout entier. Définition 1.9Legraphed"une fonctionf:R2→Rest la " surface »G(f)?R3 formée de tous les triplets de la forme(x,y,f(x,y))avec(x,y)? Df.

Exemple 1.10Par exemple, sif(x,y) =xy-52

⎷y-x2, alors

G(f) ={(x,y,xy-52

⎷y-x2), y > x2}. Définition 1.11 (Généralisation)Legraphed"une fonctionf:Rn→Rest

G(f) ={(P,f(P)), P? Df} ?Rn+1.

Définition 1.12Lescourbes de niveaud"une fonctionf:R2→Rsont les courbes planes d"étquationf(x,y) =kaveckfixé. Une courbe de niveau d"une fonctionfest donc la même chose qu"une courbe de niveau de son grapheG(f).

Exemple 1.13La fonctionf(x,y) =y2-x2.

B04 - Version du March 13, 20095

[DESSIN] Définition 1.14Les courbes de niveau d"une surfaceSdansR3sont les courbes obtenues en coupantSavec un plan d"équationz=ket en projetant sur le plan xOy. [DESSIN] Proposition 1.15Une courbe de niveau d"une fonctionfest la même chose qu"une courbe de niveau de son grapheG(f). [Démonstration] Définition 1.16Sifest une pression, on ditcourbe isobare. Sifest une tempé- rature, on ditcourbe isotherme. Sifest un potentiel, on ditcourbe equipotentielle Sifest une altitude, on ditcourbe isoplèthe. etc.

2 Limites et continuité

Définition 2.1Soitf:R2→Rune fonction réelle de deux variables réelles,(a,b) un point deR2etl?R. Alors,f(x,y)a pourlimitelquand(x,y)tend vers(a,b) si pour tout intervalle ouvertIcontenantl, il existe un disque ouvertDcontenant (a,b)tel que l"image deD\(a,b)parfest contenu dansI. [DESSIN]

Autrement dit,

On écrira

lim (a,b)f(x,y) =lou lim(x,y)→(a,b)f=l. Définition 2.2Les coordonnées polaires de(x,y)en(a,b)sont données par ?x=a+ρcosθ y=b+ρsinθ avecρ=?(x-a)2+ (y-b)2etθ?[0,2π[. Proposition 2.3 (Méthode des majorations)On alim(a,b)f(x,y) =lsi et seule-

6B04 - Version du March 13, 2009

[Démonstration]

Exemple 2.4On alim(0,0)x

2y2x

2+y2= 0: en effet,

x 2y2x

2+y2=ρ24

→0 quandρ→0. Proposition 2.5 (Méthode des chemins)S"il existe deux " chemins continus »

α,β:R→R2tels queα(0) =β(0) = (a,b)etlim0(f◦α)?= lim0(f◦β), alorsfn"a

pas de limite en(a,b). [Démonstration]

Exemple 2.6

x2y2x

4+y4n"a pas de limite en(0,0): il suffit de choisirα(t) = (t,0)

etβ(t) = (t,t). On trouve d"un coté0et de l"autre12 Définition 2.7Une fonctionf:R2→Restcontinue en(a,b)?R2sif(a,b) = lim(a,b)f(x,y). La fonctionfestcontinuesifest continue en tout point deDf.

Exemple 2.8i) La fonction

f(x,y) =? ?x 2y2x

2+y2si (x,y)?= (0,0)

0 sinon

est continue en(0,0). ii) la fonction f(x,y) =? ?x 2y2x

4+y4si (x,y)?= (0,0)

0 sinon

n"est pas continue en(0,0). Proposition 2.9Soitf:R2→Rune fonction continue (sur son domaine) et (a,b)?? Df. Alorsl= lim(a,b)f(x,y)existe si et seulement sifse prolonge par continuité en(a,b)et on a alorsf(a,b) =l. [Démonstration] Exemple 2.10Soitf:R2→Rune fonction réelle de deux variables réelles. i)f(x,y) =x2y2x

2+y2se prolonge par continuité surR2en posantf(0,0) = 0.

B04 - Version du March 13, 20097

ii)f(x,y) =x2y2x

4+y4ne peut pas se prolonger par continuité.

Proposition 2.11Sifetgsont continues en(a,b), alorsf+g,fgetfg aussi (si g(a,b)?= 0dans le dernier cas). [Démonstration] Corollaire 2.12Toute fonction rationnelle est continue (sur son domaine de défi- nition).

Exemple 2.13

x2y2x

2+y2etx2y2x

2+y4sont bien continues sur leur domaine.

Proposition 2.14i) Siα:R→R2est continue entetfest continue en (a,b) =α(t), alorsf◦αest continue ent. ii) Sifest continue en(a,b)eth:R→Rest continue enf(a,b), alorsh◦f est continue en(a,b). [Démonstration]

Exemple 2.15On sait que la fonction

f(x,y) =x2y2x 2+y2 se prolonge par continuité surR2en posantf(0,0) = 0et la fonctionsinest continue surR. Il suit que la fonction g(x,y) = sin(x2y2x 2+y2) " est » continue surR2.quotesdbs_dbs35.pdfusesText_40

[PDF] montrer que f est differentiable en (0 0)

[PDF] les différents types dhabitation

[PDF] les différents habitats dans le monde ce2

[PDF] procédé qui consiste ? faire passer une espèce chimique d'un mélange ? un solvant

[PDF] procédé qui consiste ? séparer une espèce chimique d'un mélange

[PDF] technique d'extraction liquide-liquide

[PDF] fonctionnement du corps humain pdf

[PDF] cours d'environnement pdf

[PDF] économie de lenvironnement pdf

[PDF] problématique liée ? l'environnement

[PDF] procédés de l'ironie voltairienne

[PDF] contrôle de substance définition

[PDF] les types du conte populaire

[PDF] types de contes pdf

[PDF] la structure narrative du conte