Baccalauréat S Nouvelle-Calédonie 14 novembre 2013
Baccalauréat S Nouvelle-Calédonie. 14 novembre 2013. EXERCICE 1. 5 points. Commun à tous les candidats. Soit f la fonction dérivable
Baccalauréat S Nouvelle-Calédonie 14/11/2013 Corrigé
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Baccalauréat S Nouvelle-Calédonie 14/11/2013 - APMEP
BaccalauréatS A P M E P d D’après son tableau de variation la fonction f admet le nombre f (a) comme minimum sur sonintervalle dedé?nition f (a)=ea + 1 a Or a est la solution del’équation g (x)=0 donc
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Nouvelle Calédonie 14 novembre 2013 - testapmepfr
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A. P. M. E. P.
Durée : 4 heures
?Baccalauréat S Nouvelle-Calédonie?14 novembre 2013EXERCICE15 points
Commun à tous les candidats
Soitfla fonction dérivable, définie sur l"intervalle ]0 ;+∞[ par f(x)=ex+1 x.1. Étude d"une fonctionauxiliaire
a.Soit la fonctiongdérivable, définie sur [0 ;+∞[ par g(x)=x2ex-1.Étudier le sens de variation de la fonctiong.
b.Démontrer qu"il existe un unique réelaappartenant à [0 ;+∞[ tel que g(a)=0. Démontrer queaappartient à l"intervalle [0,703; 0,704[. c.Déterminer le signe deg(x) sur [0 ;+∞[.2. Étude de la fonctionf
a.Déterminer les limites de la fonctionfen 0 et en+∞. b.On notef?la fonction dérivée defsur l"intervalle ]0 ;+∞[. Démontrer que pour tout réel strictement positifx,f?(x)=g(x) x2. c.En déduire le sens de variation de la fonctionfet dresser son tableau de variation sur l"intervalle ]0 ;+∞[. d.Démontrer que la fonctionfadmet pour minimum le nombre réel m=1 a2+1a. e.Justifier que 3,43Commun à tous les candidats
Soient deux suites
(un)et(vn)définies paru0=2 etv0=10 et pour tout entier natu- reln, u n+1=2un+vn3etvn+1=un+3vn4.
PARTIEA
On considère l"algorithme suivant :
Baccalauréat SA. P.M. E. P.
Variables:Nest un entier
U,V,Wsont des réels
Kest un entier
Début :Affecter 0 àK
Affecter 2 àU
Affecter 10 àV
SaisirN
Tant queK AffecterK+1 àK
AffecterUàW
Affecter2U+V3àU
AffecterW+3V4àVFin tant que
AfficherU
AfficherV
Fin On exécute cet algorithme en saisissantN=2. Recopier et compléter le tableau donné ci-dessous donnant l"état des variables au cours de l"exécution de l"algo- rithme. KWUV 0 1 2 PARTIEB
1. a.Montrer que pour tout entier natureln,vn+1-un+1=5
12(vn-un).
b.Pour tout entier naturelnon posewn=vn-un. Montrer que pour tout entier natureln,wn=8?5
12? n 2. a.Démontrer que la suite(un)est croissante et que la suite(vn)est décrois-
sante. b.Déduire des résultats des questions 1. b. et 2. a. que pour tout entier na- turelnon aun?10 etvn?2. c.En déduire que tes suites(un)et(vn)sont convergentes. 3.Montrer que les suites(un)et(vn)ont la même limite.
4.Montrer que la suite(tn)définie partn=3un+4vnest constante.
En déduire que la limite commune des suites
(un)et(vn)est46 7. EXERCICE35 points
Commun à tous les candidats
Tous les résultats numériques devrontêtre donnés sous forme décimaleet arrondis au dix-millième Unebilleestditehorsnormelorsquesondiamètreestinférieur à9mmousupérieur à 11 mm.
PartieA
Nouvelle-Calédonie214 novembre2013
Baccalauréat SA. P.M. E. P.
1.On appelleXla variable aléatoire qui à chaque bille choisie au hasard dans
la production associe son diamètre exprimé en mm. On admet que la variable aléatoireXsuit la loi normale d"espérance 10 et d"écart-type 0,4. Montrer qu"une valeur approchéeà0,0001 près delaprobabilité qu"une bille soit hors norme est 0,0124. On pourra utiliser la table de valeurs donnée en annexe. sont écartés et 99% des billes correctes sont conservées. On choisit une bille au hasard dans la production. On noteNl"évènement : "la bille choisie est aux normes»,Al"évènement : "la bille choisie est accep- tée à l"issue du contrôle». a.Construire un arbre pondéré qui réunit les données de l"énoncé. b.Calculer la probabilité de l"évènementA. c.Quelle est la probabilité pour qu"une bille acceptée soit hors norme? PartieB
Ce contrôle de production se révélant trop coûteux pour l"entreprise, il est aban- donné : dorénavant, toutes les billes produites sont donc conservées, et elles sont conditionnées par sacs de 100 billes. On considère que la probabilité qu"une bille soit hors normeest de 0,0124. On admettra que prendre au hasard un sac de 100 billes revientà effectuer un tirage avec remise de 100 billes dans l"ensemble des billes fabriquées. On appelleYla variable aléatoire qui à tout sac de 100 billes associe le nombre de billes hors norme de ce sac. 1.Quelle est la loi suivie par la variable aléatoireY?
2.Quels sont l"espérance et l"écart-type de la variable aléatoireY?
3.Quelle est la probabilité pour qu"un sac de 100 billes contienne exactement
deux billes hors norme? 4.Quelle est la probabilité pour qu"un sac de 100 billes contienne au plus une
bille hors norme? EXERCICE45 points
Pour lescandidats n"ayantpas suivi l"enseignementde spécialité Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct O,-→u,-→v?
On noteCl"ensemble des nombres complexes.
Pour chacune des propositions suivantes, dire si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse. 1. Proposition: Pour tout entier natureln: (1+i)4n=(-4)n.
2.Soit (E) l"équation (z-4)?z2-4z+8?=0 oùzdésigne un nombre complexe.
Proposition: Les points dontles affixes sont lessolutions, dansC,de(E)sont les sommets d"un triangle d"aire 8. 3. Proposition: Pour tout nombre réelα, 1+e2iα=2eiαcos(α).
4.Soit A le point d"affixezA=1
2(1+i) etMnle point d"affixe(zA)noùndésigne
un entier naturel supérieur ou égal à 2. Nouvelle-Calédonie314 novembre2013
Baccalauréat SA. P.M. E. P.
5.Soit j le nombre complexe de module 1 et d"argument2π3.
Proposition: 1+j+j2=0.
EXERCICE45 points
Pour lescandidats ayantsuivi l"enseignementde spécialité On noteEl"ensemble des vingt-sept nombres entiers compris entre 0 et 26. On noteAl"ensemble dont les éléments sont les vingt-six lettres de l"alphabet et un séparateur entre deux mots, noté "?» considéré comme un caractère. Pour coder les éléments deA, on procède de la façon suivante : Premièrement : On associe à chacune des lettres de l"alphabet, rangées par ordre sant. On a donca→0,b→1,...z→25. On associe au séparateur "?»le nombre 26.
abcdefghijklmn 012345678910111213
opqrstuvwxyz? 14151317181920212223242526
On dit queaa pour rang 0,ba pour rang 1, ... ,za pour rang 25 et le séparateur "?» a pour rang 26. Deuxièmement : à chaque élémentxdeE, l"applicationgassocie le reste de la division euclidienne de 4x+3 par 27. On remarquera que pour toutxdeE,g(x) appartient àE. Troisièmement : Le caractère initial est alors remplacé parle caractère de rang g(x). Exemple :
s→18,g(18)=21 et 21→v. Donc la lettresest remplacée lors du codage par la lettrev. 1.Trouver tous les entiersxdeEtels queg(x)=xc"est-à-dire invariants parg.
En déduire les caractères invariants dans ce codage. 2.Démontrer que, pour tout entier naturelxappartenant àEet tout entier na-
turelyappartenant àE, siy≡4x+3 modulo 27 alorsx≡7y+6 modulo 27. En déduire que deux caractères distincts sont codés par deuxcaractères dis- tincts. 3.Proposer une méthode de décodage.
4.Décoder le mot "vf v».
Nouvelle-Calédonie414 novembre2013
Baccalauréat SA. P.M. E. P.
Annexe
Exercice 3
AB 1dP(X 203,06E-138
312,08E-112
422,75E-89
537,16E-69
643,67E-51
753,73E-36
867,62E-24
973,19E-14
1082,87E-07
1190,00620967
12100,5
13110,99379034
14120,99999971
15131
16141
17151
18161
19171
20181
21191
22201
23211
24221
25
Copie d"écran d"une feuille de calcul
Nouvelle-Calédonie514 novembre2013
quotesdbs_dbs23.pdfusesText_29
AffecterK+1 àK
AffecterUàW
Affecter2U+V3àU
AffecterW+3V4àVFin tant que
AfficherU
AfficherV
Fin On exécute cet algorithme en saisissantN=2. Recopier et compléter le tableau donné ci-dessous donnant l"état des variables au cours de l"exécution de l"algo- rithme. KWUV 0 1 2PARTIEB
1. a.Montrer que pour tout entier natureln,vn+1-un+1=5
12(vn-un).
b.Pour tout entier naturelnon posewn=vn-un.Montrer que pour tout entier natureln,wn=8?5
12? n2. a.Démontrer que la suite(un)est croissante et que la suite(vn)est décrois-
sante. b.Déduire des résultats des questions 1. b. et 2. a. que pour tout entier na- turelnon aun?10 etvn?2. c.En déduire que tes suites(un)et(vn)sont convergentes.3.Montrer que les suites(un)et(vn)ont la même limite.
4.Montrer que la suite(tn)définie partn=3un+4vnest constante.
En déduire que la limite commune des suites
(un)et(vn)est46 7.EXERCICE35 points
Commun à tous les candidats
Tous les résultats numériques devrontêtre donnés sous forme décimaleet arrondis au dix-millième Unebilleestditehorsnormelorsquesondiamètreestinférieur à9mmousupérieurà 11 mm.
PartieA
Nouvelle-Calédonie214 novembre2013
Baccalauréat SA. P.M. E. P.
1.On appelleXla variable aléatoire qui à chaque bille choisie au hasard dans
la production associe son diamètre exprimé en mm. On admet que la variable aléatoireXsuit la loi normale d"espérance 10 et d"écart-type 0,4. Montrer qu"une valeur approchéeà0,0001 près delaprobabilité qu"une bille soit hors norme est 0,0124. On pourra utiliser la table de valeurs donnée en annexe. sont écartés et 99% des billes correctes sont conservées. On choisit une bille au hasard dans la production. On noteNl"évènement : "la bille choisie est aux normes»,Al"évènement : "la bille choisie est accep- tée à l"issue du contrôle». a.Construire un arbre pondéré qui réunit les données de l"énoncé. b.Calculer la probabilité de l"évènementA. c.Quelle est la probabilité pour qu"une bille acceptée soit hors norme?PartieB
Ce contrôle de production se révélant trop coûteux pour l"entreprise, il est aban- donné : dorénavant, toutes les billes produites sont donc conservées, et elles sont conditionnées par sacs de 100 billes. On considère que la probabilité qu"une bille soit hors normeest de 0,0124. On admettra que prendre au hasard un sac de 100 billes revientà effectuer un tirage avec remise de 100 billes dans l"ensemble des billes fabriquées. On appelleYla variable aléatoire qui à tout sac de 100 billes associe le nombre de billes hors norme de ce sac.1.Quelle est la loi suivie par la variable aléatoireY?
2.Quels sont l"espérance et l"écart-type de la variable aléatoireY?
3.Quelle est la probabilité pour qu"un sac de 100 billes contienne exactement
deux billes hors norme?4.Quelle est la probabilité pour qu"un sac de 100 billes contienne au plus une
bille hors norme?EXERCICE45 points
Pour lescandidats n"ayantpas suivi l"enseignementde spécialité Le plan est rapporté à un repère orthonormal directO,-→u,-→v?
On noteCl"ensemble des nombres complexes.
Pour chacune des propositions suivantes, dire si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse.1. Proposition: Pour tout entier natureln: (1+i)4n=(-4)n.
2.Soit (E) l"équation (z-4)?z2-4z+8?=0 oùzdésigne un nombre complexe.
Proposition: Les points dontles affixes sont lessolutions, dansC,de(E)sont les sommets d"un triangle d"aire 8.3. Proposition: Pour tout nombre réelα, 1+e2iα=2eiαcos(α).
4.Soit A le point d"affixezA=1
2(1+i) etMnle point d"affixe(zA)noùndésigne
un entier naturel supérieur ou égal à 2.Nouvelle-Calédonie314 novembre2013
Baccalauréat SA. P.M. E. P.
5.Soit j le nombre complexe de module 1 et d"argument2π3.
Proposition: 1+j+j2=0.
EXERCICE45 points
Pour lescandidats ayantsuivi l"enseignementde spécialité On noteEl"ensemble des vingt-sept nombres entiers compris entre 0 et 26. On noteAl"ensemble dont les éléments sont les vingt-six lettres de l"alphabet et un séparateur entre deux mots, noté "?» considéré comme un caractère. Pour coder les éléments deA, on procède de la façon suivante : Premièrement : On associe à chacune des lettres de l"alphabet, rangées par ordre sant. On a donca→0,b→1,...z→25.On associe au séparateur "?»le nombre 26.
abcdefghijklmn012345678910111213
opqrstuvwxyz?14151317181920212223242526
On dit queaa pour rang 0,ba pour rang 1, ... ,za pour rang 25 et le séparateur "?» a pour rang 26. Deuxièmement : à chaque élémentxdeE, l"applicationgassocie le reste de la division euclidienne de 4x+3 par 27. On remarquera que pour toutxdeE,g(x) appartient àE. Troisièmement : Le caractère initial est alors remplacé parle caractère de rang g(x).Exemple :
s→18,g(18)=21 et 21→v. Donc la lettresest remplacée lors du codage par la lettrev.1.Trouver tous les entiersxdeEtels queg(x)=xc"est-à-dire invariants parg.
En déduire les caractères invariants dans ce codage.2.Démontrer que, pour tout entier naturelxappartenant àEet tout entier na-
turelyappartenant àE, siy≡4x+3 modulo 27 alorsx≡7y+6 modulo 27. En déduire que deux caractères distincts sont codés par deuxcaractères dis- tincts.3.Proposer une méthode de décodage.
4.Décoder le mot "vf v».
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Annexe
Exercice 3
AB1dP(X 203,06E-138
312,08E-112
422,75E-89
537,16E-69
643,67E-51
753,73E-36
867,62E-24
973,19E-14
1082,87E-07
1190,00620967
12100,5
13110,99379034
14120,99999971
15131
16141
17151
18161
19171
20181
21191
22201
23211
24221
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Copie d"écran d"une feuille de calcul
Nouvelle-Calédonie514 novembre2013
quotesdbs_dbs23.pdfusesText_29
203,06E-138
312,08E-112
422,75E-89
537,16E-69
643,67E-51
753,73E-36
867,62E-24
973,19E-14
1082,87E-07
1190,00620967
12100,5
13110,99379034
14120,99999971
1513116141
17151
18161
19171
20181
21191
22201
23211
24221
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