[PDF] Corrigé du baccalauréat STMG Nouvelle-Calédonie 14 novembre

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14 novembre 2014

EXERCICE17 points

Dans cet exercice, lesparties A, B et C sont indépendantes.

Le tableau suivant donne le prix moyen d"un paquet de cigarettes au 1erjanvier de chaque année de 1991 à 2000. On sait

de plus que, le 1 erjanvier 2012, le prix moyen d"un paquet de cigarettes était de 6,40?.

Rang de l"année12345678910

Prix en euros1,501,812,102,362,672,742,942,963,053,20

Partie A

On a représenté ci-dessous, dans un repère orthogonal du plan, les données du tableau sous la forme d"un nuage de

points de coordonnées?xi;yi?pourivariant de 1 à 10.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 221

2345Prix en euros

Rang de l"année

O +AB 5,49

Soient les points A de coordonnées (0; 1,53) et B de coordonnées (5,5; 2,52). On admet que la droite (AB) réalise un bon

ajustement affine du nuage de points.

1.Déterminons une équation de la droite (AB).Étant non parallèle à l"axe des ordonnées, la droite (AB) a une équation de la forme

y=mx+poùm=yB-yA xB-xA.m=2,52-1,535,5=0,18. Passant par A,p=1,53 Une équation de la droite (AB) esty=0,18x+1,53.

2.Selon ce modèle d"ajustement, le prix moyen d"un paquet de cigarettes le 1erjanvier 2012

est la valeur deypourx=22.y=0,18×22+1,53=5,49.

Leprixmoyend"unpaquet decigarettesle1

erjanvier 2012 estde5,49?.Lerésultat obtenu par ce modèle d"ajustement est bien éloigné de la valeur du prix moyen en 2012.

On a tracé (ce qui n"était pas demandé) la résolution graphique de ce problème en rouge

en utilisant l"ajustement affine par la droite (AB).

PartieB

1.Calculons le taux d"évolution global, en pourcentage, du prix moyen d"un paquet de ci-

garettes entre le 1 erjanvier 2000 et le 1erjanvier 2012. Le taux d"évolutionTest défini par

T=valeur finale-valeur initiale

valeur initiale;T=6,40-3,203,20=1.

Le taux d"évolution global est de 100%.

Corrigédu baccalauréat STMGA. P. M. E. P.

2.Déterminons le taux d"évolution annuel moyen du prix moyen d"un paquet de cigarettes

entre le 1 erjanvier 2000 et le 1erjanvier 2012. En appelanttmle taux moyen, le coefficient multiplicateur global est aussi (1+tm)12puisque le prix moyen d"un paquet a subi 12 évo- lutions durant cette période. (1+tm)12=2 par conséquenttm=21

12-1≈0,0594.

Le prix moyen a augmenté chaque année en moyenne de 6%.

PartieC

On suppose que le prix moyen d"un paquet de cigarettes augmente de 6% par an à partir du 1er janvier 2000. On noteunle prix moyen d"un paquet de cigarettes pour l"année (2000+n).

On a doncu0=3,2.

1. a.Calculons

u

1=u0×?

1+6 100?
u

1=3,2×1,06=3,392;

u

2=3,392×1,06=3,59552≈3,596.

b.Passant d"un terme au suivant en multipliant toujours par 1,06, coefficient multipli- cateur associé à une augmentation de 6%, la suite (un)est une suite géométrique de raison 1,06 et de premier termeu0=3,2. c.Exprimons le terme généralunen fonction den. Letermegénérald"unesuite géométrique depremier termeu0etderaisonqestunn= u

0qndonc ici,un=3,20×(1,06)n.

d.Selon ce modèle d"évolution, le prix moyen d"un paquet de cigarettes dépasse-t-il 5? le 1 erjanvier 2005? Pour y répondre calculonsu5. u

5=3,20×(1,06)5≈4,28.

En 2005, le prix moyen d"un paquet de cigarettes ne dépasse pas 5?.

2.On considère l"algorithme suivant :

Variables :nest du type nombre entier

uest du type nombre réel

Sest du type nombre réel

Entrée :Saisirn

Début algorithme :uprend la valeur 3,2

Sprend la valeur 3,2

Pournallant de 1 à 4

Début Pour

uprend la valeuru×1,06

Sprend la valeurS+u

Fin Pour

Fin algorithme

Sortie :AfficherS

a.La valeur affichée par cet algorithme est 18,04. b.L"algorithme affiche une valeur lorsqu"il s"achève. Cette valeur par rapport à la suite un)est la somme de ses cinq premiers termes.

3.Paulaarrêtédefumerle1erjanvier2011. Du1erjanvier2000au31décembre2010, ilfumait

90 paquets de cigarettes par an. Déterminons la somme d"argent qu"il aurait pu économi-

ser s"il n"avait pas fumé durant ces années.S10est la somme payée pendant 11 ans pour l"achat au prix moyen d"un paquet de cigarettes. S

1,06-1≈47,91.

Puisque sa consommation est de 90 paquets par an, le montant dépensé est 90×47,91=

4311,90.

Il aurait pu économiser 4311,90 euros.

Nouvelle-Calédonie214 novembre2014

Corrigédu baccalauréat STMGA. P. M. E. P.

EXERCICE24 points

On s"intéresseau contrôle technique des véhicules de marques A et B.

En 2013, sur 571870 véhicules contrôlés, 266430 sont de marque A et 305440 de marque B. Pour ces véhicules, soit le

contrôle technique est conforme soit il est non conforme. Pour 8% des véhicules de marque A, le contrôle technique est non conforme. Pour 6% des véhicules de marque B, le contrôle technique est non conforme. Pour chacun des véhicules contrôlés, une fiche a été établie. On choisit une de ces fiches au hasard et on note : Al"évènement : "la fiche choisie est celle d"un véhicule de la marque A», Bl"évènement : "la fiche choisie est celle d"un véhicule de la marque B»,

Cl"évènement : "la fiche choisie est celle d"un véhicule ayantun contrôle technique conforme»,

Cl"évènement : "la fiche choisie est celle d"un véhicule ayantun contrôle technique non conforme».

Dans cet exercice, onarrondira tous lesrésultats à 10 -2près.

1.L"univers est l"ensemble des véhicules contrôlés et la loi mise sur cet univers est l"équipro-

babilité. La probabilité d"un évènementAestp(A)=nombre d"éléments deA nombre d"éléments de l"univers

a.La probabilité de l"évènementA, notéep(A), arrondie à 10-2près, vaut 0,47. En effet,

il y a 266430 véhicules de marque A sur un total de 571870 véhicules contrôlés.p(A)=

266430

571870≈0,46589

b.Donnons la probabilité conditionnelle, notéepA? C? , de l"évènementCsachant que l"évènementAest réalisé. p A? C? =0,08 car pour 8% des véhicules de marque A, le contrôle technique est non conforme.

2.Complétons l"arbre de probabilité suivant :

A 0,47C 0,92 C0,08 B

0,53C0,94

C0,06

3. a.L"évènementC∩Aest l"évènement :"lafichechoisie est celle d"unvéhicule demarque

A et ce véhicule a subi un contrôle conforme». b.Calculons la probabilitép(C∩A).

4.Calculons la probabilité de l"évènementC, arrondie à 10-2près.

0,4982=0,9306

La probabilité de l"évènementCest égale à 0,93 à 10-2près.

5.Sachantque lafichechoisie est celled"un véhicule ayantuncontrôle technique conforme,

la probabilité que ce véhicule soit de la marque A est notéepC(A). p

C(A)=p(A∩C)

p(C)=0,430,93≈0,46.

EXERCICE34 points

Cetexerciceest un questionnaireà choix multiple (QCM). Pour chaque question,une seule des troisréponsesproposéesest correcte.

Pour chaque question, indiquer le numéro de la question et recopier sur la copie la réponse choisie. Aucune justification

n"est demandée.

Chaque réponse correcte rapporte 1 point. Une réponse incorrecte ou une question sans réponse n"apporte ni ne retire

aucun point.

Nouvelle-Calédonie314 novembre2014

Corrigédu baccalauréat STMGA. P. M. E. P.

1.La variable aléatoireXsuit la loi normale d"espérance 12 et d"écart-type 2.

La probabilité de l"évènement {X?10}, notéeP(X?10), est égale à :

P(X<11)•P(0?X?10)•P(X<10)

2.La variable aléatoireXsuit la loi normale d"espérance 12 et d"écart-type 2.

La probabilité de l"évènement {8?X?16}, notéeP(8?X?16), vaut, à 10-2près :

0,5•0,95•0,68

3.La variable aléatoireXsuit la loi normale d"espérance 12 et d"écart-type 2.

La probabilité de l"évènement {8?X?12}, notéeP(8?X?12), est égale à :

1-P(X?8)•0,5+P(X?8)•0,5-P(X?8)

4.En France, le 1erjanvier 2010, 48,7% des foyers possédaient au moins un écranplat de

télévision. Une étude s"intéresse à un échantillon de 150 foyers possédant au moins un

écran plat de télévision et domiciliés dans une même ville. Un intervalle de fluctuation à

au moins 95% de la fréquence de ces foyers possédant un écran plat est : [48,6; 48,8]•[0,35; 0,52]•[0,40; 0,57]

EXERCICE45 points

Une entreprise fabrique des pièces mécaniques.

Le coût de productionC, en euros, dexde ces pièces est donné, pourxappartenant à l"intervalle

[0; 25], parC(x)=x3-13,5x2+60x+1000.

Chaque pièce est vendue 270 euros.

Un tableur a été utilisé pour calculer les coûts et les recettes qui figurent sur la feuille de calcul

donnée enannexe à rendreavecla copie. Dans cette feuille de calcul, deux valeurs ont été effacées.

1.Le coût de production de 2 pièces estC(2).C(2)=23-13,5×22+60×2+1000=1074.

2. a.La recette pour 2 pièces produites et vendues estR(2).R(2)=270×2=540.

b.La formule qui a été saisie dans la cellule C2 puis recopiée vers le bas jusqu"à la cel-

lule C27 pour obtenir la recette selon le nombre de pièces produites et vendues est : =270*$A3.

3.Pour 5 pièces produites et vendues, l"entreprise réalise ungain car la recette (R(5)=1350)

est supérieure aux coûts (C(5)=1087,50).

4.L"entreprise réalise un gain lorsque les quantités de pièces produites et vendues appar-

tiennent à [5; 21] puisque sur cet intervalle les recettes sont supérieures aux coûts. Pourxappartenant à l"intervalle [0; 25], le bénéfice est donné par:

B(x)=-x3+13,5x2+210x-1000.

5. a.DéterminonsB?(x) pourx?[0 ; 25].

B b.Montrons que, pourx[0 ; 14],B?(x)?0 et que, pourx?[14 ; 25],B?(x)?0.

Soit le trinômex2-9x-70. CalculonsΔ.

Δ=(-9)2-4×1×(-70)=361=192.

Le trinôme admet donc deux racines :x1=-b-?

b2-4ac

2ax2=-b+?

b2-4ac 2a,

Nouvelle-Calédonie414 novembre2014

Corrigédu baccalauréat STMGA. P. M. E. P.

soitx1=9-192=-5 etx2=9+192=14. B ?(x)=-3(x+5)(x-14)=(3x+15)(14-x). Sur [0; 25], 3x+15>0 par conséquent le signe deB?(x) est celui de 14-x. SurR, 14-x>0??x<14. Par conséquent, nous avons bien montré que pour x[0 ; 14],B?(x)?0 et que, pourx?[14 ; 25],B?(x)?0.

6.Étudions d"abord le sens de variation deBsur[0; 25].

Si pour toutx?I f?(x)<0 alors la fonctionfest strictement décroissante surI. Pourx?]14 ; 25],B?(x)<0, par conséquentBest strictement décroissante sur cet inter- valle. Si pour toutx?I,f?(x)>0 alorsfest strictement croissante surI. Pourx?[0 ; 14[,B?(x)>0 par conséquentBest strictement croissante sur cet intervalle. Dressons le tableau des variations de la fonctionBsur l"intervalle [0; 25]. x0 14 25 B ?(x)+0-

Variations

deB -1000-2938 1842

7.Pour quatorze pièces produites et vendues le bénéfice est maximal.

Ce bénéfice vaut alors 1842 euros.

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