[PDF] Corrigé du baccalauréat STI 2D/STL Nouvelle-Calédonie 18

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A. P. M. E. P.

Durée : 4 heures

?Corrigé du baccalauréat STI 2D/STL?

Nouvelle-Calédonie 18 novembre 2013

EXERCICE15 points

PARTIEA :

1.Réponse c. : B$2?0,4+3

2.Il semble que la limite de la suite soit égale à 5.

3.L"algorithme s"arrête pourp=7 : avecu7=4,9902, on a bien|u7-5|?0,01.

PARTIEB :

1.D"après l"écriture du terme général, cette suite est géométrique de premier

terme 6 et de raison 0,4.

2.Comme 0<0,4<1, on sait que limn→+∞0,4n=0, donc limn→+∞6×0,4n=0.

Conclusion : lim

n→+∞vn=0.

3.Commeun=5-vn, on en déduit que limn→+∞un=5-0=5.

4. a.Cette somme est lasomme desn+1) premiers termes d"une suite géomé-

trique, on sait que cette somme est égale à : v

0+v1+···+vn=6×1-0,4n+1

0-0,46×1-0,4n+10,6=10?1-0,4n+1?=

10-4×0,4n.

b.Comme pour tout entiern,un=5-vn, on a : u

5n+5-10+4×0,4n=5n-5+4×0,4nou 5(n-1)+4×0,4n.

EXERCICE23 points

1.Réponsea..

2.z=-?

2eiπ4: cette écrituren"est pas celle d"une forme exponentielle car?2<

0.

Orz=eiπ?

2eiπ4=?2ei?π+π4?

=?2ei5π4Un argument dezest donc5π4à 2π près soit encore-3π

4. Réponsec.

3.Sifest définie parf(t)=3cos?

5t-π

2? , alorsf?(t)=-15sin?

5t-π2?

et f ??(t)=-75cos?

5t-π

2?

Doncf??(t)+25f(t)=0. Réponseb.

4.Les solutions de l"équation différentielle sont les fonctions :x?-→Ce2xavec

C?R. Réponsea.

5.ln(x+1)=3??eln(x+1)=e3??x+1=e3??x=e3-1. Réponsec.

6.2x-3?5??2x?8??xln2?ln8 ou encorexln2?ln23??xln2?

3ln2??x?3. Réponseb.

Sciences et technologies de l"industrie et du développement durable

Sciences et technologies de laboratoire

spécialité Sciences physiques et chimiques de laboratoireA. P.M. E. P.

EXERCICE37 points

PARTIEA :

1. a.On litf(1)≈-1.

b.On litf?(1)=-2 1=-2. tion deTest doncy=-2x+1.

2. a.f?(x)=2×1

x-ax2=2x-ax2. b.On sait quef?(1)=-2 soit2×1-a

12=-2??2-a=-2??a=4.

Doncf(x)=2lnx+4

x+b. mais on sait quef(1)=-1, soit 2ln1+41+b= -1??b=-1-4=-5.

Finalement :f(x)=2lnx+4

x-5.

PARTIEB :

1. a.On sait que limx→+∞lnx= +∞et que limx→+∞4

x, d"où par somme de limites lim x→+∞f(x)=+∞. b.Ceci signifie que l"axe des ordonnées est asymptote verticale àCau voi- sinage de zéro.

2. a.On af?(x)=2×1

x-4x2=2x-4x2. b.Commex2>0 six?]0 ;+∞[, le signe def?(x) est celui de 2x-4 qui est positif six>2.

Conclusion :f?(x)>0 sur ]2 ;+∞[;

f ?(x)<0sur]0 ; 2[; f ?(2)=0.

3.Le résultat précédent permet de construire le tableau suivant :

x0 2+∞ f ?(x)-0+ f(x)

2ln2-3+∞

4.Comme 2ln2-3≈-1,62 est inférieur à zéro, la fonction décroissant de plus

l"infini à 2ln2-3 s"annule une fois sur l"intervalle ]0; 2[, puis croissant de

2ln2-3 à plus l"infini s"annule une autre fois sur l"intervalle ]2 ;+∞[.

L"équationf(x)=0, pourxappartenant à ]0 ;+∞[ a donc deux solutionsa etb.

5. a.On af(1)=2×04

1-5=-1 etf(3)=2ln3+43-5=2ln3-113≈-1,47.

Donc sur l"intervalle [1; 3],fne prend que des valeurs négatives. b.On a vu que sur l"intervalle [1; 3],fest négative, donc l"aireAdu do- maine limité par la courbeC, l"axe des abscisses et les droites d"équation x=1 etx=3 est égale à A= -? 3 1 f(x)dx= -[F(3)-F(1)]=F(1)-F(3)=(2×1+4)ln1-7×1- (2×3+4)ln3-7×3]=-7-10ln3+21=14-10ln3 (unités d"aire).

Ob aA=14-10ln3≈3,01 unités d"aire.

Nouvelle-Calédonie218 novembre2013

Sciences et technologies de l"industrie et du développement durable

Sciences et technologies de laboratoire

spécialité Sciences physiques et chimiques de laboratoireA. P.M. E. P.

EXERCICE45 points

PARTIEA :

1.Le nombre de pièces est assez important pour que l"on puisse assimiler le

tirage de 10 pièces à un prélèvement avec remise de 10 pièces,la probabilité de prélevée étant à chaque fois la même : 0,9. La variable aléatoireXsuit donc une loi binomiale de paramètresn=10 et p=0,9.

2.On a E(X)=n×p=10×0,9=9.

σ(X)=?

n×p×(1-p)=?10×0,9×0,1=?0,9.

3.La calculatrice donnep(X?8)≈0,9298≈0,93.

PARTIEB :

1.La calculatrice livre :μ=80 etσ=0,6, puis

p(79?M?81)≈0,904.

2.Comme l"espérance est égale à 80, la probabilité que le diamètre d"une pièce

prélevée au hasard soit supérieur à 80 est égale à 0,5.

PARTIEC :

1.L"intervalle defluctuation asymptotique à95% delafréquence desmédailles

non conformes obtenues dans un échantillon de 300 médaillesest égale à : I=?

0,05-1,96×?

0,05×0,95

300; 0,05+1,96×?

0,05×0,95

300?
soit

I=[0,025 ; 0,075].

2.On an>30,np=300×0,05=15>10 etn(1-p)=300×0,95=285>10 :

les conditions d"utilisation d"un intervalle de fluctuation asymptotique sont réunies. Donc la fréquence d"apparition des médailles non conformes est : f=24

300=8100=0,08.

Or 0,8?[0,025 ; 0,075], donc au seuil de confiance de 95% on décide de revoir le réglage de la machine.

Nouvelle-Calédonie318 novembre2013

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