[PDF] Baccalauréat S Nouvelle-Calédonie 14/11/2013 - APMEP

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A. P. M. E. P.

?Baccalauréat S Nouvelle-Calédonie 14/11/2013?

Corrigé

EXERCICE15 points

Commun à tous les candidats

Soitfla fonction dérivable, définie sur l"intervalle ]0 ;+∞[ parf(x)=ex+1 x.

1. Étude d"une fonctionauxiliaire

a.Soit la fonctiongdérivable, définie sur [0 ;+∞[ parg(x)=x2ex-1. Pour tout réelxde [0 ;+∞[ :g?(x)=2xex+x2ex?0 sur ]0 ;+∞[ (car tous les termes sont positifs. La fonctiongest strictement croissante sur [0 ;+∞[ (car la dérivée ne s"annule qu"en 0). b.g(0)=-1<0 etg(1)=e-1>0. Dressons le tableau de variations deg: x0a1+∞ g(x) -10e- 1 D"après ce tableau de variations, l"équationg(x)=0 admet une solution unique dans l"intervalle [0;1]; on appelleacette solution. g (0,703)≈-0,0018<0 etg(0,704)≈0,002>0 donca?[0,703;0,704]. c.D"après le tableau de variations deg: •g(x)<0 sur [0;a[ •g(x)>0 sur ]a;+∞[

2. Étude de la fonctionf

a. limx→0ex=1 lim x→0 x>01 x=+∞??????? =?limx→0 x>0e x+1x=+∞=?limx→0 x>0f (x)=+∞ lim x→+∞ex=+∞ lim x→+∞1 x=0??? b.On notef?la fonction dérivée defsur l"intervalle ]0 ;+∞[. f(x)=ex+1 x=?f?(x)=ex-1x2=x2ex-1x2=g(x)x2 c.Pour toutxde ]0 ;+∞[,x2>0 doncf?(x)est du signe deg(x).

On dresse le tableau de variation def:

x0a+∞ g(x)-1---0+++ f?(x)---0+++ f(x) f(a)

Baccalauréat SA. P. M. E. P.

d.D"après son tableau de variation, la fonctionfadmet le nombref(a) comme minimum sur son intervalle de définition. f (a)=ea+1 a. Oraest la solution de l"équationg(x)=0 donc g (a)=0??a2ea-1=0??a2ea=1??ea=1 a2.

On en déduit quef(a)=1

a2+1aet on a donc démontré que la fonctionf admettait pour minimum sur ]0 ;+∞[ le nombre réelm=1 a2+1a. e.On a successivement(en valeurs approchées) :

0,703

0,4942 1

0,4957<1a2<10,4942

2,017<1

a2<2,024

0,703 1

0,704<1a<10,703

1,420<1

a<1,423 donc par somme : 2,017+1,420<1 a2+1a<2,024+1,423 et donc :

3,43

EXERCICE25 points

Commun à tous les candidats

Soient deux suites

(un)et(vn)définies paru0=2 etv0=10 et pour toutn?Npar u n+1=2un+vn

3etvn+1=un+3vn4

PARTIEA

Variables :Nest un entier

U,V,Wsont des réels

Kest un entier

Début :Affecter 0 àK

Affecter 2 àU

Affecter 10 àV

SaisirN

Tant queK

AffecterK+1 àK

AffecterUàW

Affecter2U+V3àU

AffecterW+3V4àV

Fin tant que

AfficherU

AfficherV

Fin

État des variables :

KWUV

0—210

1214/38

214/352/943/6

PARTIEB

1. a.Pour tout entier natureln,

v n+1-un+1=un+3vn

4-2un+vn3=3(un+3vn)12-4(2un+vn)12

3un+9vn-8un-4vn

12=5vn-5un12=512(vn-un)

Nouvelle-Calédonie214 novembre2013

Baccalauréat SA. P. M. E. P.

b.Pour tout entier naturelnon posewn=vn-un. D"après la question précédente, on peut dire que la suite (wn)est géomé- trique de raison 5

12et de premier termew0=v0-u0=10-2=8.

D"après le cours (forme explicite d"une suite géométrique)on peut dire que, pour tout entier natureln,wn=8?5 12? n

2. a.un+1-un=2un+vn

3-3un3=2un+vn-3un3=vn-un3=wn3

On avu que, pour toutn,wn=8?5

12? n ;on peut en déduire que pour tout n,wn>0 et donc que, pour toutn,un+1-un>0.

Donc la suite

(un)est croissante. v n+1-vn=un+3vn

4-4vn4=un+3vn-4vn4=un-vn4=-wn4

Et commewn>0, on peut dire quevn+1-vn<0 pour toutn.

Donc la suite

(vn)est décroissante. b.On a vu que, pour toutn,wn>0; donc, pour toutn,vn-un>0 c"est-à- direvn>un.

La suite

(vn)est décroissante donc, pour toutn,vn?v0??vn?10.

Pour tout entier natureln,vn>un

v n?10? =?un?10.

La suite

(un)est croissante donc pour toutn,un?u0??un?2.

Pour tout entier natureln,vn>un

u n?2? =?vn?2. c.La suite(un)est croissante majorée par 10 donc, d"après le théorème de la convergence monotone, la suite (un)est convergente vers un réel?u.

La suite

(vn)est décroissante minorée par 2 donc, d"après ce même théo- rème, la suite (vn)est convergente vers un réel?v.

3.La suite(wn),définie parwn=vn-un,est convergente comme différence de

deux suites convergentes, et sa limite est égale à?v-?u.

Or la suite

(wn)est géométrique de raison5

12et-1<512<1; donc on peut

dire que la suite (wn)est convergente vers 0. La limite d"une suite est unique donc?v-?u=0 et donc?v=?u; les suites un)et(vn)ont donc la même limite qu"on appelle?.

4.tn+1=3un+1+4vn+1=3×2un+vn

3+4×un+3vn4=2un+vn+un+3vn

=3un+4vn=tndonc la suite(tn)est constante. t

0=3u0+4v0=3×2+4×10=6+40=46

Comme la suite

(tn)est constante, pour toutn,tn=t0=46; la suite(tn)est donc convergente vers 46.

Les suites

(un)et(vn)sont toutes les deux convergentes vers?donc la suite tn)définie partn=3un+4vnest convergente vers 3?+4?=7?.

La limite d"une suite est unique donc 7?=46???=46

7.

La limite commune des suites

(un)et(vn)est donc46 7.

Nouvelle-Calédonie314 novembre2013

Baccalauréat SA. P. M. E. P.

EXERCICE35 points

Commun à tous les candidats

PartieA

1.Une bille est dans la norme si son diamètre est entre 9 et 11 mm;donc la

probabilité qu"une bille soit dans la norme est P (9?X?11)=P(X?11)-P(X?9). La probabilité que la bille soit hors norme est donc :

0,01241933; donc une valeur approchée à 0,0001 de la probabilité qu"une

bille soit hors norme est 0,0124.

2. a.On construit un arbre pondéré qui réunit les données de l"énoncé :

N

0,9876?A

0,99 A0,01 N

0,0124?A

0,02 A0,98 b.D"après la formule des probabilités totales :P(A)=P(N∩A)+P?

N∩A?

=P(N)×PN(A)+P?N?

×PN(A)

≈0,9780 La probabilité deAest 0,9780 (arrondie au dix-millième). c.On cherche :PA? N? =P?

A∩

N?

P(A)=0,0002480,977972≈0,0003

La probabilité qu"une bille acceptée soit hors norme est 0,0003 (arrondie au dix-millième).

PartieB

1.Laprobabilitéqu"unebillesoithorsnormeest0,0124 :onadmetqueprendre

au hasard un sacde 100 billes revient à effectuer un tirage avec remise de100 billes dans l"ensemble des billes fabriquées. DonclavariablealéatoireYqui, àtout sacde100 billes, associe lenombrede

2.L"espérance mathématique et l"écart type d"une variable aléatoire qui suit

np?1-p?.

DoncE(Y)=np=100×0,0124=1,24

etσ(Y)=?

3.La probabilité pour qu"un sac de 100 billes contienne exactement deux billes

hors norme estP(Y=2). P (Y=2)=? n 2? p

2?1-p?n-2=?

100
2?

×0,01242×0,987698=

Nouvelle-Calédonie414 novembre2013

Baccalauréat SA. P. M. E. P.

P (Y?1)=P(Y=0)+P(Y=1) 100
0?

×0,01240×0,9876100+?

100
1?

×0,01241×0,987699

Nouvelle-Calédonie514 novembre2013

Baccalauréat SA. P. M. E. P.

EXERCICE45 points

Pour lescandidats n"ayantpas suivi l"enseignementde spécialité Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct?

O,-→u,-→v?

On noteCl"ensemble des nombres complexes.

1. (1+i)4n=?(1+i)4?net(1+i)4=?(1+i)2?2

1+i)2=1+2i+i2=1+2i-1=2i ; donc(1+i)4=(2i)2=4i2=-4

Donc (1+i)4n=(-4)n;la propositionest vraie.

2.On cherche les solutions de l"équation (E) : (z-4)?z2-4z+8?=0.

Il y az=4 qui annulez-4.

Pourz2-4z+8=0 :Δ=(-4)2-4×1×8=16-32=-16<0

L"équation admet deux solutions complexes conjuguées : z

1=-(-4)+i?

16

2=4+4i2=2+2i etz2=2-2i

L"équation (E) admet pour solutions

4, 2+2i, 2-2i?

Représentons les points dont les affixes sont solutions de (E) : u? v ?O AB C H ?Le triangle ABC est isocèle en A carlespoints BetCsontsymétriques parrapport à l"axe

O,-→u?

et A appartient

àcetaxe;donclemilieu Hde[BC]est

aussi le pied de la hauteur issue de A dans le triangle.

H a pour affixe 2 donc AH=2; de plus

BC=|2+2i-2+2i|=|4i|=4.

L"aire de ce triangle vaut donc :

BC×AH

2=4×22=4

La propositionest fausse.

3.Soitαun nombre réel quelconque; on sait que 1=cos2α+sin2α.

1+e2iα=1+?eiα?2=1+(cosα+i sinα)2=1+cos2α+2i sinαcosα+i2sin2α

=cos2α+sin2α+cos2α+2i sinαcosα-sin2α=2cos2α+2i sinαcosα =2(cosα+i sinα)cosα=2eiαcosα

La propositionest vraie.

4.Le nombre complexezAa pour argumentπ

4donc le nombre complexe(zA)n

a pour argumentnπ

4(argument d"un produit).

Les points O, A etMnsont alignés si

et seulement si l"argument de l"affixe deMnestπ

4ouπ+π4à 2πprès.

u? v OA 4

π+π4

On suppose quen-1 est divisible par 4; le nombren-1 peut alors s"écrire

4kaveckentier et doncns"écrit 4k+1.

L"argument de l"affixe deMnqui estnπ

4peut s"écrire(4k+1)π4=kπ+π4qui

est bien équivalent à

4ouπ+π4à 2πprès;

donc sin-1 est divisible par 4, alors les points O, A etMnsont alignés.

La propositionest vraie.

Nouvelle-Calédonie614 novembre2013

Baccalauréat SA. P. M. E. P.

5.Le nombre j a pour module 1 et argument2π3donc j2a pour module 12=1

et pour argument 2×2π

3=4π3.

Ona:j=cos2π

3+i sin2π3=-12+?

3

Et : j

2=cos4π

3+i sin4π3=-12-?

3 2.

Donc 1+j+j2=1-1

2+? 3

2-12-?

3 2=0.

La propositionest vraie.

Une solution plus élégante consiste à écrire le nombre j sousla forme ei2π 3 pour prouver que j

3=1. Ensuite on développe?1+j+j2??1-j?en 1-j3qui

donne donc0. Et comme j n"est pas égal à1, le facteur 1-j n"est pas nul, mais comme le produit?1+j+j2??1-j?est nul, c"est le facteur 1+j+j2qui est nul.

Nouvelle-Calédonie714 novembre2013

Baccalauréat SA. P. M. E. P.

EXERCICE45 points

Pour lescandidats ayantsuivi l"enseignementde spécialité

1.On cherche tous les entiersxdeEtels queg(x)=x:

g (x)=x??4x+3≡x(mod 27)??3x≡-3 (mod 27) ce qui veut dire que 3xs"écrit-3+27koùk?Z. x?E??0?x?26

0?3x?81

or 3x=-3+27kdonc 0?-3+27k?81

3?27k?84

3

27?k?8427Orkestentierdonck??1,2,3?.

Pourk=1, 3x=-3+27=24 doncx=8;

pourk=2, 3x=-3+54=51 doncx=17; pourk=3, 3x=-3+81=78 doncx=26. Les éléments deEinvariants pargsont 8, 17 et 26. Les caractères invariants dans ce codage sont les caractères correspondant à

8,17 et 26 donc ce sont les caractèresi,ret?.

2.Soientxetydeux éléments deEtels quey≡4x+3 (mod 27).

y≡4x+3 (mod 27)??7y≡28x+21 (mod 27); or 21≡-6 (mod 27) et 28≡1 (mod 27) donc 28x≡x(mod 27)

7y≡28x+21 (mod 27)??7y≡x-6 (mod 27)??7y+6≡x(mod 27)

??x≡7y+6 (mod 27) caractèreydeE. On a doncx≡7y+6 (mod 27) etx?≡7y+6 (mod 27) ce qui entraînex≡x? (mod 27) donc on peut écrirex=x?+27koùk?Z.

Or 0?x?26 et 0?x??26 donck=0 etx=x?.

Deux caractères distincts ne sont pas codés par un même caractère, donc deux caractères distincts sont codés par deux caractères distincts.

3.Une méthode de décodage suit le même principe que la méthode de codage,

en remplaçant la fonctiongpar la fonctionfqui, à chaque élémentydeE, associe le reste de la division euclidienne de 7y+6 par 27.

4.On sait que la lettresse code en la lettrev, donc la lettrevse décode ens.

La lettrefcorrespond au nombrey=5; 7y+6=7×5+6=35+6=41. Or 41=27×1+14 donc 14 est le reste de la division de 41 par 27.

Le nombre 14 correspond à la lettreo.

Doncv f vse décode ensos.

Nouvelle-Calédonie814 novembre2013

quotesdbs_dbs22.pdfusesText_28

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