Systèmes linéaires1
résoudre des systèmes linéaires avec ou sans paramètres et que vous connaissiez les propriétés exposées dans les sections 3 et 5.
TD 3: systèmes linéaires
Systèmes avec paramètres. Exercice 10. Résoudre les systèmes d'inconnues les nombres réels x y et z et de paramètre le réel m :.
Math S2 PeiP Chapitre 3 Systèmes linéaires et méthode du pivot de
avec a paramètre (donnée variable) dans (S3). on s'intéresse aux systèmes linéaires (S) à n équations ... 1.4 Résolution des systèmes échelonnés.
Systèmes déquations linéaires
Systèmes d'équations linéaires Résoudre le système : x1 +x2 = 0 xk-1 +xk +xk+1 = 0 pour k = 2
Fascicule dexercices
1.2 Résolution de systèmes linéaires avec paramètres . Avec ces informations on trouve que Manon a passé 15 sur Instagram et. Paul 10. Exercice 2.
RÉSOLUTION DE SYSTÈMES À DEUX INCONNUES
La rubrique d'aide qui suit s'attardera aux problèmes de résolution de systèmes de deux équations linéaires et deux variables.
Systèmes déquations linéaires
Systèmes d'équations linéaires. Corrections d'Arnaud Bodin. Exercice 1. 1. Résoudre de quatre manières différentes le système suivant (par substitution
Chapitre
Systèmes. 1.1 Systèmes linéaires avec paramètres. Il faut être particulièrement prudent lors de la résolution de systèmes linéaires utilisant des paramètres
Systèmes d’équations linéaires avec paramètres (5 exercices)
Syst`emes d'équations linéaires avec param`etres. Énoncés. ´Enoncés des exercices. Exercice 1 [ Indication ] [ Correction ]. Résoudre le syst`eme (S).
[PDF] Systèmes linéaires dépendant de paramètres : Exercices corrigés
et concluons : • 1 solution unique lorsque h = 9; • une infinité de solutions quand h = 9 et k = 6; • aucune solution lorsque h = 9 mais k = 6 Exercice 10 (
[PDF] Systèmes linéaires - Exo7 - Cours de mathématiques
où a b et e sont des paramètres réels a et b n'étant pas simultanément nuls Une solution du système linéaire est une liste de p nombres réels (s1s2
[PDF] Systèmes déquations linéaires - Exo7 - Exercices de mathématiques
7x+2y+(m-5)z = 7 ? 7 3+(m-6)y 5 +3y+(m-5) 14-(2m+3)y 5 = 7 ? 21+14(m-5)-35 = 0 ? 14(m-6) = 0 ? m = 6 Si m = 1 le système n'a pas de solution et si
[PDF] Systèmes linéaires
Définition d'un système linéaire Forme générale Opérations 3 Méthode du pivot de Gauss Description Système échelonné Résolution Discussion
[PDF] Systèmes linéaires1 - ceremade
L'objectif est que vous sachiez résoudre des systèmes linéaires avec ou sans paramètres et que vous connaissiez les propriétés exposées dans les sections 3 et 5
[PDF] Ift 2421 Chapitre 3 Résolution des systèmes déquations linéaires
Méthode de Cramer Si A x = b est un système de n équations avec n inconnues tel que det (A) ? 0 alors le système a une solution unique qui est
[PDF] RÉSOLUTION DE SYSTÈMES À DEUX INCONNUES
La rubrique d'aide qui suit s'attardera aux problèmes de résolution de systèmes de deux équations linéaires et deux variables
[PDF] Fascicule dexercices - Julie Scholler
1 2 Résolution de systèmes linéaires avec paramètres On appliquera la méthode de Gauss sur la matrice des coefficients et on donnera le rang de cette
[PDF] TD 3: systèmes linéaires
Résoudre dans R les systèmes linéaires suivants d'inconnues x y et z : systèmes d'inconnues les nombres réels x y et z et de paramètre le réel m :
[PDF] Systèmes d’équations linéaires avec paramètres (5 exercices)
Indication pour l'exercice 2 [ Retour `a l'énoncé ] – Si m = 2 le syst`eme n'a pas de solution – Si m = 0 la solution générale est (x y z) = (40?2)
Systèmes linéaires
1Préliminaires:Lisez une première fois ce polycopié de manière rapide, puisrelisez-le en es-
sayant de tout comprendre. Le polycopié est long, mais rapide à lire. L"objectif est que vous sachiez
résoudre des systèmes linéaires avec ou sans paramètreset que vous connaissiez les propriétés
exposées dans les sections 3 et 5.On s"intéresse ici aux systèmes linéaires à coefficient réels, mais la façon de procéder
est tout à fait générale, et tous les résultats obtenus sont encore vrais pour les systèmes
linéaires à coefficients complexes.En pratique, vous savez déjà résoudre des systèmes linéaires de petite taille, et depuis longtemps.
Mais pour cela, beaucoup d"entre vous utilisent plutôt un ensemble d"astuces qu"une méthode précise.
Vous seriez dans doute un peu perdu si vous deviez résoudre unsystème linéaire de 150 équations
à 130 inconnues, où si vous deviez écrire un programme informatique qui permette à un ordinateur
de résoudre un tel système. Or résoudre des systèmes de très grande taille est un problème courant
dans beaucoup d"applications des mathématiques. Il est donc important de comprendre comment de tels systèmes peuvent être résolus.1 Qu"est ce qu"un système linéaire?
Informellement, une équation est linéaire si les variablesy apparaissent de manière séparées et
toujours à la puissance 1. Un système linéaire, aussi appelé"système d"équations linéaires", est un
système de telles équations. Par exemple, les trois systèmes suivants sont des systèmes linéaires :
3x+ 6y=-3
-2x+y= 12? x+ 2y+ 3z= 52x+y-4z= 0???2x1+ 4x2= 0
3x1+x2= 0
-2x1+ 2x2= 0(1)Le premier est un système de deux équations à deux inconnues (notéesxety), le deuxième un
système de deux équations à trois inconnues (x,yetz) et le troisième un système de trois équations
à deux inconnues (notéesx1etx2au lieu dexety). En revanche, les systèmes suivants ne sont pas des systèmes linéaires : ?x-y2= 12x+ 3y= 8?
x+ 3y= 52xy= 4
En effet, dans le système de gauche, dans la première équation, une des inconnues apparait à une
puissance autre que1. Dans le système de droite, dans la deuxième équation, les inconnues n"appa-
raissent pas de manière "séparée".1Pour toute remarque : yannick.viossat@dauphine.fr
1 Vous avez sans doute l"habitude de noter les inconnuesxetyquand il y en a deux etx,yetz quand il y en a trois. Mais comment les noter s"il y a 130 inconnues? La solution la plus simple estde noter la première inconnuex1, la deuxièmex2et lakièmexk. En notant ainsi les inconnues, les
deux premiers systèmes de (1) deviennent respectivement : ?3x1+ 6x2=-3 -2x1+x2= 12et?x1+ 2x2+ 3x3= 52x1+x2-4x3= 0
Définition: soientnetpdes entiers non nuls. Unsystème linéairedenéquations àpinconnues est
un système du type : ?a11x1+a12x2+···+a1pxp=b1
a a n1x1+an2x2+···+anpxp=bn(2) où les coefficientsaijetbisont des réels fixés. ?Lesinconnuessontx1,x2, ...,xp. ?les réelsaijsont lescoefficients du premier membre. Le premier indice indique la ligne, le deuxième la colonne. ?Les réelsbisont lescoefficients du second membre. L"indice indique la ligne.Exemple: pour le système?3x1+ 6x2=-3
-2x1+x2= 12(3) on aa11= 3,a12= 6,a21=-2,a22= 1,b1=-3etb2= 12.Définition: une solution du système linéaire (2) est un p-uplet de réels(x1,x2,...,xp)qui vérifie
toutes les équations du système. On dit qu"un système estcompatibles"il a au moins une solution.
Exemple:(-5,2)est une solution du système (3). En effet, pourx1=-5etx2= 2, on a bien3x1+6x2=-3et-2x1+x2= 12. En revanche,(1,-1)n"est pas une solution de (3) car pourx1= 1
etx2=-1, la deuxième équation n"est pas satisfaite.2 Résolution d"un système linéaire
Définition: deux systèmes linéaires sontéquivalentss"ils ont le même ensemble de solutions.
Résoudreun système linéaire, c"est en déterminer toutes les solutions. Pour ce faire, on transforme
le système initial en un système équivalent plus simple, puis en un système encore plus simple, jusqu"à
aboutir à un système qu"on sache résoudre. Les principales opérations qui permettent de transformer
un système linéaire en un système linéaire équivalent sont les suivantes : ?multiplier une ligne par une constante non nulle ?ajouterλfois la lignekà la lignei, oùλest un réel quelconque eti?=k ?échanger la ligneiet la lignekLes trois opérations ci-dessus sont appelées "opérations élémentaires". Ce sont les plus impor-
tantes. On peut aussi : 2 ?ajouter à une ligne une combinaison des autres lignes (remplacer la kième ligneLkparLk+? i?=kλiLi). Cela revient à faire plusieurs opérations élémentaires successives. ?supprimer les lignes0 = 0 ?conclure que le système n"a pas de solutions s"il comporte une ligne du type0 =biavecbi?= 0.Dans les exemples de résolution de systèmes linéaires ci-dessous, on écrira en face de la ième ligne
du système :?Li←λLi, ou simplementλLi, pour dire que la ième ligne du nouveau système est égale àλ
fois la ième ligne de l"ancien système.?Li←Li+λLk, ou simplementLi+λLk, pour dire que la nouvelle ligneiest égale à l"ancienne
ligneiplusλfois l"ancienne lignek ?Li↔Lkpour dire que les lignesietkont été échangées2.1 Exemple de résolution d"un système linéaire
Considérons le système suivant :
?3x+ 6y=-3 -2x+y= 12(4) En multipliant la première ligne par1/3, on obtient le système équivalent : 1 3L1 L 2? x+ 2y=-1 -2x+y= 12(5) Puis en ajoutant deux fois la première ligne à la seconde ligne, on obtient : L 1 L2+ 2L1?
x+ 2y=-15y= 10(6)
En divisant la deuxième ligne par5, on obtient
L 1 1 5L2? x+ 2y=-1 y= 2(7) Enfin, en soustrayant deux fois la deuxième ligne à la première ligne, on obtient : L 1-2L2 L 2? x=-5 y= 2(8)Le système a donc une solution unique :(-5,2)
2.2 Résolution en travaillant directement sur le tableau des coefficients
Lorsqu"on travaille sur des systèmes de grande taille, recopier à chaque fois le nom des inconnues
est vite fatiguant. Aussi, les mathématiciens, qui sont desêtres paresseux, préfèrent-ils travailler
directement sur le tableau des coefficients. Au lieu d"écrire: ?3x+ 6y=-3 -2x+y= 12 3 on écrit?3 6 -3 -2 1 12? (9)Les coefficients du premier membre apparaissent à gauche de labarre verticale, et les coefficients du
second membre à droite. La résolution se fait comme précédemment, sauf qu"on ne s"embête plus à
recopier les inconnues. On obtient successivement : 1 3L1 L 2? 1 2-1 -2 1 12? L 1 L2+ 2L1?
1 2 -1 0 5 10? L 1 1 5L2? 1 2 -1 0 1 2? et enfin L 1-2L2 L 2? 1 0 -5 0 1 2? c"est à dire le système : ?x=-5 y= 2(10) On conclut comme précedemment que le système a une unique solution :(-5,2). Dans la suite, on travaillera directement sur le tableau descoefficients.2.3 Solutions de quelques systèmes linéaires simples.
Avant de donner d"autres exemples de résolutions de systèmes linéaires, voici quelques exemples
du type de systèmes auquel on souhaite aboutir.Exemple 2.3.1Le système
?x+y= 30 = 5(11)
n"a pas de solutions, car la deuxième équation ne peut pas être satisfaite. D"une manière générale, si
lors de la résolution d"un système, on obtient un système équivalent qui comporte une équation du
type0 =βavecβ?= 0, on s"arrête et on conclut que le système n"a pas de solutions.Exemple 2.3.2Le système
?2x+2y+2z= 123y+6z=-3
5z=-10(12)
a les propriétés suivantes : (a) il a autant d"équations que d"inconnues (b) il est triangulaire (au sens où les coefficientsaijaveci > jsont nuls) 4 (c) les coefficients situés sur la diagonale sont non nuls.Un tel système se résoud aisément, et a toujours exactement une solution. Voici deux méthodes de
résolutions :Première méthode(sans doute la plus rapide) : on calculezà l"aide de la dernière équation, puis
yà l"aide de la deuxième équation et de la valeur dez, puis enfinxà l"aide de la première équation et
des valeurs deyet dez. On obtient ici :z=-10/5 =-2, puisy=13(-3-6z) =13(-3+12) = 3et
enfinx=12(12-2y-2z) =12(12-6+4) = 5. Il y a donc une seule solution possible :(5,3,-2). De
plus,(5,3,-2)est bien solution des trois équations du système. Le systèmea une solution unique :
(5,3,-2).2Deuxième méthode(la plus intéressante d"un point de vue théorique) : on transforme le système
(12) en un système équivalent encore plus simple. Le but est d"obtenir à la fin un système avec des
coefficients 1 sur la diagonale et des0à la fois en dessous de la diagonale (comme c"est déjà le cas)
et au dessus. En pratique, en partant du système initial (2 2 2 12 0 3 6 -3 0 0-5 10)) (13) on commence par mettre des1sur la diagonale : 1 2L1 1 3L2 1 5L3(( 1 1 1 6 0 1 2 -1 0 0 1 -2)) (14)puis on fait apparaître des0au-dessus de la diagonale, en commençant par la dernière colonne. On
obtient : L 1-L3 L 2-2L3 L 3(( 1 1 0 8 0 1 0 3 0 0 1 -2)) puis L 1-L2 L 2 L 3((quotesdbs_dbs13.pdfusesText_19[PDF] ic60n
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