[PDF] Systèmes déquations linéaires

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Exo7

Systèmes d"équations linéaires

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours

Exercice 1Résoudre (en discutant en fonction des différents paramètres) les systèmes suivants :

1)8 :2x+3y+z=4 x+my+2z=5

7x+3y+(m5)z=72)8

:2x+my+z=3m x(2m+1)y+2z=4

5xy+4z=3m23)8

:x+y+z+t=3 x+my+zmt=m+2 mxymzt=1 4)8 >:x+2y+3z+mt=m1

2x+y+mz+3t=1

3x+my+z+2t=0

mx+3y+2z+t=05)8 >:mx+y+z=m+2 xy+mz=m2 mx+y+mz=m xymz=m46)8 :x+y+z=1 ax+by+cz=m xa +yb +zc =1m 7)8 :(b+c)2x+b2y+c2z=1 a

2x+(c+a)2y+c2z=1

a

2x+b2y+(a+b)2z=18)8

:ax+by+cz=p cx+ay+bz=q bx+cy+az=r 9)8 :x+y+z=0 ax+by+cz=2 a

2x+b2y+c2z=3(oùa;b;etcsont les racines de l"équationt3t+1=0):

Donner une base du sous-espace vectoriel deR5défini par : 8< :x

1+2x2x3+3x4+x5=0

x

2+x32x4+2x5=0

2x1+x25x34x5=0:

Dans le plan, on donnenpointsA1, ... ,An. Existe-t-ilnpointsM1,...,Mntels queA1soit le milieu de[M1;M2],

A

2soit le milieu de[M2;M3],...,An1soit le milieu de[Mn1;Mn]etAnsoit le milieu de[Mn;M1].

Résoudre le système :x1+x2=0,xk1+xk+xk+1=0 pourk=2;:::;n1,xn1+xn=0. SoitEunensemblecontenantaumoinsnélémentset(f1;f2:::;fn)unn-upletdefonctionsdeEdansC. Montrer que les propositions suivantes sont équivalentes : 1

1.la f amille(f1;:::;fn)est libre ;

2. il e xistenélémentsa1,a2,...,andansEtels que det(fi(aj))16i;j6n6=0. Déteminer l"inverse deA= (ai;j)telle queai;i+1=ai;i1=1 etai;j=0 sinon.

Soienta1,...,an,b1,...,bn2nnombres complexes deux à deux distincts tels que les sommesai+bjsoient toutes

non nulles. Résoudre le système

ånj=1x

ja i+bj=1, pour touti=1;:::;n(en utilisant la décomposition en éléments simples deR=ånj=1x jX+bj). Correction del"exer cice1 Nmest un paramètre réel 1. det S=2(m(m5)6)+(3(m5)3)+7(6m) =2m214m+12=2(m1)(m6). Le système est de CRAMERsi et seulement sim2 f1;6g. Sim=2 f1;6g, les formules de CRAMERfournissent alors : x=12(m1)(m6) 4 3 1 5m2 7 3m5 =2(m6)(2m9)2(m1)(m6)=2m9m1 y=12(m1)(m6) 2 4 1 1 5 2 7 7m5 =14(m6)2(m1)(m6)=7m1 z=12(m1)(m6) 2 3 4 1m5 7 3m7 =14(m6)2(m1)(m6)=7m1 Sim2 f1;6g, detS=0. Un déterminant principal est2 1 1 2 =56=0. On peut choisir les deux

premières équations comme équations principales etxetzcomme inconnues principales. Le système des

deux premières équations équivaut à( x=3+(m6)y5 z=14(2m+3)y5

La dernière équation fournit alors une condition nécessaire et suffisante de compatibilité (les termes en y

disparaissent automatiquement pourm2 f1;6get donc pas la peine de les calculer).

7x+2y+(m5)z=7,73+(m6)y5

+3y+(m5)14(2m+3)y5 =7,21+14(m5)35=0 ,14(m6) =0,m=6: Sim=1, le système n"a pas de solution et sim=6, l"ensemble des solutions estf(35 ;y;y5 );y2Rg. 2. det S=2(8m4+2)(4m+1)+5(2m+2m+1) =0. Le système n"est jamais de CRAMER. Un déterminant principal est2 1 1 2 =36=0. On peut choisir les deux premières équations comme

équations principales etxetzcomme inconnues principales. Le système des deux premières équations

équivautà(

x=6m4(4m+1)y3 z=3m+8+(5m+2)y3 . Ladernièreéquationfournitalorsuneconditionnécessaireetsuffisante de compatibilité.

5xy+4z=3m2,56m4(4m+1)y3

y+43m+8+(5m+2)y3 =3m2 ,5(6m4)+4(3m+8)3(3m2) =0,9(m+2) =0,m=2: Sim6=2, lesystèmen"apasdesolution. Sim=2, l"ensembledessolutionsestf(16+7y3 ;y;148y3 );y2 Rg. 3. 1 1 1 1m1 m1m =2m2+2m=2m(m1). Le système est de CRAMERenx,yetzsi et seulement sim2 f0;1g.

Sim=2 f0;1g, les formules de CRAMERfournissent :

3 x=12m(m1) 3t1 1 m+2+mt m1 1+t1m =(2m22m)t+(2m2+2m)2m(m1)=t+1 y=12m(m1) 1 3t1

1m+2+mt1

m1+tm =(2m22m)+(2m2+2m)2m(m1)=m+1m1t+1 z=12m(m1)

1 1 3t

1m m+2+mt

m11+t =(2m2+2m)t+(2m2+2m)2m(m1)=m+1m1t+1: Dans ce cas, l"ensemble des solutions estf(t+1;m+1m1t+1;m+1m1t+1;t);t2Rg.

Sim=0, le système s"écrit8

:x+y+z+t=3 x+z=2 y+t=1,z=2x t=1y. Dans ce cas, l"ensemble des solutions estf(x;y;2x;1y);(x;y)2R2g.

Sim=1, le système s"écrit8

:x+y+z+t=3 x+y+zt=3 xyzt=1,8 :t=0 x+y+z=3 xyz=1,8 :t=0 x=1 z=2y. Dans ce cas, l"ensemble de solutions estf(1;y;2y;0);z2Rg. 4. det(S) =

1 2 3m

2 1m3 3m1 2 m3 2 1 m+6 2 3m m+6 1m3 m+6m1 2 m+6 3 2 1 = (m+6)

1 2 3m

1 1m3 1m1 2

1 3 2 1

= (m+6)

1 2 3m

01m3 3m

0m22 2m

0 11 1m

= (m+6)

1m3 3m

m22 2m 11 1m = (m+6) 1m3 0 m22m 11m =m(m+6) 1m3 0 m22 1 11 1 =m(m+6) 1m3 0 m31 0 11 1 =m(m+6)1m3 m31 =m(m2)(m4)(m+6): Le système est de CRAMERsi et seulement sim=2 f0;2;4;6g. Dans ce cas : m(m2)(m4)(m+6)x= m1 2 3m 1 1m3 0m1 2

0 3 2 1

0 2(m1)3m(m1)m3(m1)

1 1m3 0m1 2

0 3 2 1

3mm2+m+32m+3

m1 2 3 2 1

5m6m2+5m32m+3

m63 2 0 0 1 =[3(5m6)(m6)(m2+5m3)] =m3+11m218m=m(m2)(m9): etx=m9(m4)(m+6). 4 m(m2)(m4)(m+6)y=

1m1 3m

2 1m3

3 0 1 2

m0 2 1

2m+3 0m2+m+32m+3

2 1m3

3 0 1 2

m0 2 1

2m+3m2+m+32m+3

3 1 2 m2 1

3m25m6m2+m+3 2m24m3

0 1 0 m6 23 =3(3m25m6)(m6)(2m24m3) =2m3+7m26m=m(2m3)(m2) ety=2m3(m4)(m6). m(m2)(m4)(m+6)z=

1 2m1m

2 1 1 3

3m0 2 m3 0 1

2m+3m+3 02m+3

2 1 1 3

3m0 2 m3 0 1

2m+3m+32m+3

3m2 m3 1 =(2m+3)(m6)+3(5m6)m(2m25m+6) =2m3+7m26m =m(2m3)(m2); etz=2m3(m4)(m6). m(m2)(m4)(m+6)t=

1 2 3m1

2 1m1 3m1 0 m3 2 0

2m+3m+3m2+m+3 0

2 1m1 3m1 0 m3 2 0

2m+3m+3m2+m+3

3m1 m3 2 = (2m+3)(2m3)3(3m25m3)+m(m3m24m+3) =m4m317m2+30m=m(m2)(m2+m15) ett=m2+m15(m4)(m6).

Sim=0, le système s"écrit

8 >:x+2y+3z=1

2x+y+3t=1

3x+z+2t=0

3y+2z+t=0,8

>:x+y+z+t= (E1+E2)

2x+y+3t=1

x+y+z+t=0(E3+E4)

3y+2z+t=0,8

:t=xyz x2y3z=1 x+2y+z=0 8 :z=x2y x2y3(x2y) =1 t=xyz,y=x+14 z=x12 t=x+14 5

D"où l"ensemble de solutions :f(x;x+14

;x14 ;x+12 );x2Rg. Sim=2, on obtient pour ensemble de solutions :f(x;x58 ;x+12 ;x18 );x2Rg. Sim=4 oum=6, on voit en résolvant que le système est incompatible. 5. m1 1 11m 11m =m(2m)+(m+1)+(m+1) =2(m2+1)6=0 (mdésignant un paramètre réel).

Le système formé des équations 1, 2 et 4 est donc de CRAMER. Les formules de CRAMERfournissent

alors : x=2m2m1m

2+1;y=3metz=3m1m

2+1:

La troisième équation fournit alors une condition nécessaire et suffisante de compatibilité :

m2m2m1m

2+1+3m+m3m1m

2+1=m , m(2m2m1)+(3m)(m2+1)+m(3m1) =m(m2+1) , 2m3+7m2+3=0

Le système est compatible si et seulement simest l"une des trois racines de l"équation2X3+7X2+3=

0. 6. det S=1abc a b c a 2b2c2 1 1 1 =1abc 1 1 1 a b c a 2b2c2 =Van(a;b;c)abc Sia,betcsont deux à deux distincts, le système est de CRAMER. On obtient : x=abcmbc

Van(m;b;c)Van(a;b;c)=a(bm)(cm)m(ba)(ca);

puis, par symétrie des rôles,y=b(am)(cm)m(ab)(cb)etz=c(am)(bm)m(ac)(bc). Sia=b6=c(oua=c6=boub=c6=a), le système s"écrit : 8< :x+y=1z ax+ay+cz=m 1a x+1a y+1c z=1m ,8 :x+y=1z a(1z)+cz=m 1a (1z)+1c z=1m ,8 :x+y=1z z=maca(1c 1a )maca=1m 1a Le système est compatible si et seulement si(ma)(mc) =0 ou encore (m=aoum=c). Dans ce cas, l"ensemble des solutions est :f(x;mcacx;maca);x2Rg.

Sia=b=c, le système s"écrit :x+y+z=1=ma

=am . Le système est compatible si et seulement si m=a=b=cet dans ce cas l"ensemble des solutions est :f(x;y;1xy);(x;y)2R2g. 7. detS= (b+c)2b2c2 a

2(a+c)2c2

a

2b2(a+b)2

(b+c)2b2c2 a

2(b+c)2(a+c)2b20

0b2(a+c)2(a+b)2c2

= (a+b+c)2 (b+c)2b2c2 abc a+cb0

0bac a+bc

= (a+b+c)2

2bc b2c2

2c a+cb0

2(bc)bac a+bc

=2(a+b+c)2(c2b(ab+c)+(a+bc)bc(a+c)) =2bc(a+b+c)2(a2+ab+ac) =2abc(a+b+c)3: 6 Siabc(a+b+c)6=0, le système est de CRAMERet on obtient après calcul :

Sia=0 (oub=0 ouc=0), le système s"écrit :

8< :(b+c)2x+b2y+c2z=1 c

2(y+z) =1

b

2(y+z) =1:

Donc, Si ((a=0 etb26=c2) ou (b=0 eta26=c2) ou (c=0 eta26=b2)), le système n"a pas de solution. Sia=0 etb=c6=0, l"ensemble des solutions estf(0;y;yb

2);y2Rg(résultats analogues pour les cas

(b=0 eta=c6=0) et (c=0 eta=b6=0)).

Sia=b=c=0, il n"y a pas de solution.

Sia=0 etc=b6=0, l"ensemble des solutions estf(x;yyb

2);(x;y)2R2g(résultats analogues pour

(b=0 etc=a6=0) et (c=0 etb=a6=0).quotesdbs_dbs13.pdfusesText_19

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