[PDF] INTRODUCTION AU CALCUL STOCHASTIQUE

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INTRODUCTION AU CALCUL

STOCHASTIQUE

Nadine GUILLOTIN-PLANTARD

13 novembre 2009

Table des matieres

1 Processus stochastiques 3

1.1 Processus stochastiques equivalents. Modication. Processus

indistinguables. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2 Loi d'un processus stochastique. Processus canonique. . . . . . 9

1.3 Processus canonique ayant des repartitions nies donnees . . . 11

2 Processus de Poisson standard et mouvement Brownien reel

standard 16

2.1 Processus ponctuel. Processus de Poisson standard . . . . . . 16

2.2 Critere de regularite de Kolmogorov. Construction du mouve-

ment Brownien reel standard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.3 Processus variation quadratique et application au mouvement

Brownien reel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3 Martingales 24

3.1 Filtration. Processus adapte. Martingale . . . . . . . . . . . . 24

3.2 Temps d'arr^et. Adaptation forte. . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.3 Theoreme d'arr^et pour des temps d'arr^et bornes . . . . . . . . 31

3.4 Theoremes de convergence. Theoreme d'arr^et pour une mar-

tingale uniformement integrable . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

4 Propriete de Markov forte des P.A.I.S. et applications 40

4.1 Propriete forte de Markov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

4.2 Application au mouvement Brownien reel standard . . . . . . 42

5 Processus a variation nie et integrale de Stieltjes 47

5.1 Fonctions a variation nie et integrale de Stieltjes . . . . . . . 47

5.1.1 Fonctions a variation nie. . . . . . . . . . . . . . . . . 47

5.1.2 Fonctions a variation nie et mesures surR+;. . . . . . 48

5.1.3 Formule d'integration par parties. . . . . . . . . . . . . 49

5.1.4 Formule de changement de variable. . . . . . . . . . . . 50

5.1.5 Changement de temps. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

5.2 Processus a variation nie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

1

6 Martingales locales continues 57

6.1 Variation quadratique d'une martingale continue bornee. . . . 57

6.2 Martingales locales continues. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

6.3 Semi-martingales continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

7 Integrale stochastique 66

7.1 Integrale stochastique par rapport a une martingale bornee

dansL2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

7.2 Integrale stochastique par rapport a une martingale locale . . 70

7.3 Integrale stochastique par rapport a une semi-martingale conti-

nue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

7.4 Formule d'integration par parties . . . . . . . . . . . . . . . . 73

7.5 Formule de changement de variables de It^o . . . . . . . . . . . 74

7.6 Applications de la formule de It^o . . . . . . . . . . . . . . . . 76

7.6.1 Exponentielle de Doleans d'une martingale locale conti-

nue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

7.6.2 Theoreme de Girsanov . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

7.6.3 Inegalite de Burkholder . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

8 Equations dierentielles stochastiques 86

2

Chapitre 1

Processus stochastiques

1.1 Processus stochastiques equivalents. Mo-

dication. Processus indistinguables. L'objet de la theorie des processus stochastiques (ou aleatoires) est l'etude des phenomenes aleatoires dependant du temps. Soit ( ;F;P) un espace probabilise, un ensembleTappeleensemble des temps(exemples :T=R+ ou [0;t]). Soit aussi (E;E) un espace mesurable appelel'espace des etats. Un processus stochastiqueavaleurs dans (E;E) basesur ( ;F;P) est une famille (Xt)t2Tde variables aleatoires (abreviation : v.a.) de ( ;F;P) dans (E;E). A!2 , on associe l'application : T!E t7!Xt(!) appeleela trajectoire de(Xt)t2Tassociee a!. PrenonsE=Rd,E=B(Rd), on dit que (Xt)t2TestPp.s. continu a droite (resp. :Pp.s. continu a gauche,Pp.s. continu) si pourPpresque tout !2 ,t!Xt(!) est continue a droite (resp. : continue a gauche, continue). On dira que deux processus stochastiques decrivent le m^eme phenomene aleatoire s'ils sont equivalents au sens suivant : Soient (Xt)t2Tet (X0t)t2Tdeux processus stochastiques a valeurs dans le m^eme espace d'etats (E;E), avec (Xt)t2Tbase sur ( ;F;P) et (X0t)t2Tbase sur (

0;F0;P0).

On dit qu'ils sontequivalentssi8n1;8t1;:::;tn2T;8B1;:::;Bn2 E, on a :

P(fXt12B1;:::;Xtn2Bng) =P0(fX0t

12B1;:::;X0t

n2Bng): On dira encore que chacun de ces processus estune version de l'autreou encore que (Xt)t2Tet (X0t)t2Tsontdes versions du m^eme processus. (C'est 3 une relation d'equivalence!). La famille des lois des v.a. (Xt1;:::;Xtn) lorsqueft1;:::;tngparcourt l'en- semble des parties nies non vides deTs'appellela famille des lois de di- mension nieoufamille des repartitions nies de(Xt)t2T. Deux processus stochastiques sont equivalents si et seulement si ils ont les m^emes repartitions nies. A partir de maintenant,T=R+et (E;E) = (Rd;B(Rd)). Un processus stochastique (Xt)t2R+base sur ( ;F;P) a valeurs dans (Rd;B(Rd)) estun processus a accroissements independants(abreviation : P.A.I.) si on a : (i)X0= 0Pp.s. et (ii)8n2;8t1;:::;tn2R+tels que 0< t1< t2< ::: < tn, les v.a. X t1;Xt2Xt1;:::;XtnXtn1 sont independantes. Un processus stochastique (Xt)t2R+estun processus a accroissements independants stationnaires(abreviation : P.A.I.S.) si c'est un P.A.I. et si (iii)8s;t2R+, tels que 0s < t, la v.a.XtXsa la m^eme loi queXts:

Autrement dit,8h0,

X t+hXs+hL=Xts;

8s;t2R+, tels que 0s < t. (Notation :XL=YssiXetYont m^eme loi).

LorsqueT=N, la notion correspondante a celle de P.A.I. (resp. : P.A.I.S.) est la suivante : on se donne une suite (Zk)k1de v.a.ddimensionnelles independantes et on pose :S0= 0P-p.s. et pour toutn1, S n=Z1+:::+Zn: (Sn)n0verie (i) et (ii) et si les v.a.Zk;k1;ont m^eme loi, (Sn)n0verie (iii) et s'appelleune marche aleatoire. Une famille (t)t2]0;+1[de probabilites sur (Rd;B(Rd)) estun semi-groupe de convolutionsi on a :8s2]0;+1[;8t2]0;+1[; s+t=st: (est la mesure image de par l'application (x;y)!x+y). Proposition 1.1.1.a). Si(Xt)t2R+est un P.A.I.S. (a valeurs dans(Rd;B(Rd))) et si pour toutt2]0;+1[,tdesigne la loi deXt, alors(t)t2]0;+1[est un semi-groupe de convolution. On l'appellele semi-groupe de convolution du

P.A.I.S. (Xt)t2R+.

b). Plus generalement, si(Xt)t2R+est un P.A.I. et si pour touts;t2R+ tels ques < t,s;tdesigne la loi deXtXs, alors on a :8s;t;u2R+, tels ques < t < u, on a : s;u=s;tt;u: 4

Demonstration.a) On a :

X s+t=Xs+ (Xs+tXs): Or,XsetXs+tXssont des v.a. independantes etXs+tXsL=Xt, donc s+t=st: b) On ecrit : X uXs= (XuXt) + (XtXs): X uXsa pour lois;u; (XuXt) et (XtXs) sont des v.a. independantes de lois respectivest;uets;t, d'ou l'egalite s;u=s;tt;u:Proposition 1.1.2.a). Si(Xt)t2R+et(X0t)t2R+sont deux P.A.I.S.ddimensionnels (bases sur( ;F;P)et sur(

0;F0;P0)) qui ont m^eme semi-groupe de convo-

lution, alors(Xt)t2R+et(X0t)t2R+sont equivalents. b). Plus generalement, si(Xt)t2R+et(X0t)t2R+sont deux P.A.I.ddimensionnels tels que pour touts;t2R+avecs < t, on ait : X tXsL=X0tX0s; alors(Xt)t2R+et(X0t)t2R+sont equivalents. Remarque :Le a). peut se reformuler ainsi : deux P.A.I.S. qui ont les m^emes lois de dimension 1 ont les m^emes lois de dimension nie. Ce resultat n'est pas vrai pour des processus plus generaux.

Demonstration.b) : (Remarquons queb):=)a):):

Pour toutt2R+,XtL=X0t:De plus, pour toutn2, pour toutt1;:::;tn2 R +tels que 0< t1< t2< ::: < tn, (Xt1;:::;Xtn)L= (X0t

1;:::;X0t

n):

En eet, les v.a. (Xt1;Xt2Xt1;:::;XtnXtn1) et (X0t

1;X0t 2X0t

1;:::;X0t

n X 0t n1) ont la loi0;t1 t1;t2 tn1;tn:On en deduit en considerant l'application : : (u1;:::;un)!(u1;u1+u2;:::;u1+:::+un) que (Xt1;:::;Xtn) =(Xt1;Xt2Xt1;:::;XtnXtn1) et (X0t

1;:::;X0t

n) ont la m^eme loi, c'est a dire la mesure image parde0;t1 t1;t2 tn1;tn.5 Exemples de semi-groupes de convolution sur(R;B(R)):

1). Sit=ataveca2Rxe, pour toutt2]0;+1[, alors (t)t2]0;+1[

est un semi-groupe de convolution.

2). Sitest la loi de Poisson de parametret(avec >0 xe) pour tout

t2]0;+1[, alors (t)t2]0;+1[est un semi-groupe de convolution (Il sut de remarquer que la somme de deux v.a. independantes de lois de Poisson de parametresetsuit une loi de Poisson de parametre+).

3). Si pour toutt2]0;+1[,test la loi normaleN(0;t), alors (t)t2]0;+1[

est un semi-groupe de convolution (la somme de deux v.a. independantes de lois normalesN(0;2) etN(0;02) suit une loi normaleN(0;2+02)). On appelleprocessus de Poisson de parametre >0 tout P.A.I.S. reel (Xt)t2R+qui a pour semi-groupe de convolution (t)t2]0;+1[outest la loi de Poisson de parametretpour toutt2]0;+1[. On appellemouvement Brownientout P.A.I.S. reel (Xt)t2R+qui a pour semi- groupe de convolution (t)t2]0;+1[outest la loi normaleN(0;t) pour tout t2]0;+1[. On verra par la suite qu'il existe eectivement des P.A.I.S. associes a ces semi-groupes de convolution. Revenons au cas ouTest un ensemble inni quelconque. Un processus stochastique (Xt)t2Testun processus gaussien reelsi : i) il est a valeurs dans (R;B(R)) ii)8n1,8t1;:::;tn2T, la v.a. (Xt1;:::;Xtn) est gaussienne.

Rappels :

a). Une v.a.r.Yest dite gaussiennne s'il existe des reelsa;bet une v.a.r.Ude loiN(0;1) telles queY=aU+bPp.s. En particulier, toute v.a.r.Pp.s. constante est gaussienne (casa= 0). Sia6= 0,Ya la loi normaleN(b;a2). b). Une v.a.Y= (Y1;:::;Yn) a valeurs dansRn(n2) est dite gaussienne si8u2Rn,hu;Yi=Pn k=1ukYkest une v.a.r. gaussienne. La moyennemd'un processus gaussien reel (Xt)t2Test l'application T!R t7!E(Xt) =m(t) Lorsquem(t) = 0;8t2T, on dit que (Xt)t2Test gaussien centre. La covariancecd'un processus gaussien reel (Xt)t2Test l'application T 2!R (s;t)7!Cov(Xs;Xt) =c(s;t): 6

Rappels :

SoitU;Vdeux v.a.r. de carre integrables. Par denition,

Cov(U;V) =E[(UE(U))(VE(V))]:

On a aussi

Cov(U;V) =E(UV)E(U)E(V):

Proposition 1.1.3.L'applicationcest symetrique etsemi-denie positive (oude type positif) c'est a dire : i)c(s;t) =c(t;s);8s;t2T. ii)8n1;8t1;:::;tn2T;81;:::;n2R; n X i;j=1c(ti;tj)ij0: La forme quadratique en1;:::;nest de type positif ou encore la ma- trice (c(ti;tj))i;j=1;:::;nest de type positif. Demonstration.La matrice (c(ti;tj))i;j=1;:::;nest la matrice de covariance de la v.a. de dimensionn(Xt1;:::;Xtn). C'est donc une matrice symetrique de type positif car

0Var(nX

i=1 iXti) =nX i;j=1c(ti;tj)ij:Proposition 1.1.4.Si(Xt)t2Tet(X0t)t2Tsont deux processus gaussiens reels qui ont m^eme moyenne et m^eme covariance, alors ils sont equivalents. Demonstration.Soitt1;:::;tn2T. Les v.a. (Xt1;:::;Xtn) et (X0t

1;:::;X0t

n)

sont gaussiennes, de m^eme esperance et m^eme matrice de covariance.Theoreme 1.1.1.Un processus stochastique reel(Xt)t2R+est un mouvement

Brownien reel si et seulement si c'est un processus gaussien reel centre, de covariancecdenie parc(s;t) =s^t. Demonstration.): Soit (Xt)t2R+un mouvement Brownien reel. -X0= 0,P-p.s.. - Pour toutt >0,Xtsuit une loi normaleN(0;t). - Pour toutn2 et toutt1;:::;tn2Ttels que 0< t1< t2< ::: < tn, (Xt1;:::;Xtn) est gaussienne comme transformee lineaire de la v.a. gaus- sienne (Xt1;Xt2Xt1;:::;XtnXtn1) (par l'application(x1;:::;xn) = 7 (x1;x1+x2;:::;x1+:::+xn)): Donc, (Xt)t2R+est un processus gaussien. Il est centre. Soits;t2R+, c(s;t) =E(XsXt):

Supposons ques < t, on aXt=XtXs+Xs, donc

c(s;t) =E(Xs(XtXs)) +E(X2s) =s (carXsetXtXssont independantes et centrees). (: Soit (Xt)t2R+un processus gaussien reel centre, de covariancecdenie parc(s;t) =s^t. Soitn2 ett1;:::;tn2R+tels que 0< t1< t2< ::: < tn. La v.a. (Xt1;Xt2Xt1;:::;XtnXtn1) est gaussienne comme transformee lineaire de la v.a. gaussienne (Xt1;:::;Xtn) par l'application (x1;:::;xn) = (x1;x2 x

1;:::;xnxn1):

Soiti;j2 f1;:::;ngtels quei < j. On a

Cov(XtiXti1;XtjXtj1) =E[(XtiXti1)(XtjXtj1)] = 0:

Les composantes du vecteur (Xt1;Xt2Xt1;:::;XtnXtn1) sont donc independantes. (Xt)t2R+est donc un P.A.I.. Soits < t,XtXs=f(Xs;Xt) (avecf(x;y) =yx) est gaussienne comme transformee lineaire de la v.a. gaussienne (Xs;Xt). De plus,E(XtXs) = 0 et

E[(XtXs)2] =E[X2t] +E[X2s]2E(XsXt) =t+s2s=ts:

Donc, (Xt)t2R+est un P.A.I.S. de semi-groupe de convolutionN(0;t), c'est

a dire un mouvement Brownien reel.Soient (Xt)t2Tet (X0t)t2Tdeux processus stochastiques bases sur le m^eme

espace de probabilite ( ;F;P) a valeurs dans le m^eme espace d'etats (E;E). On dit que (X0t)t2Testune modicationde (Xt)t2Tsi pour toutt2T; Xt= X

0tP-p.s. (L'ensemble negligeable peut dependre det).

Deux processus (Xt)t2Tet (X0t)t2Tsont ditsindistinguablessi, pourP-presque tout!2 , on a : X

0t(!) =Xt(!)

(c'est a dire qu'il existe un ensemble negligeableNtel que8! =2N;on ait X

0t(!) =Xt(!)).

Remarques :

1) En temps discret, les notions de modications et de processus indistin-

guables sont equivalentes.

2) Si (X0t)t2Test une modication de (Xt)t2T, alors (Xt)t2Tet (X0t)t2Tsont

8 equivalents.

3) a) Si (Xt)t2Tet (X0t)t2Tsont indistinguables, alors chacun de ces processus

est une modication de l'autre. b) PrenonsT=R+etE=Rd,E=B(Rd):Si (Xt)t2R+et (X0t)t2R+sont P-p.s. continus a droite et si (X0t)t2R+est une modication de (Xt)t2R+, alors (Xt)t2R+et (X0t)t2R+sont indistinguables. (Exercice) On appellemouvement Brownien reel standardun mouvement Brownien reel dont les trajectoires sontP-p.s. continues. Theoreme 1.1.2.(admis pour le moment) Si(Xt)t2R+est un mouvement Brownien reel, alors il existe une modication(Yt)t2R+de(Xt)t2R+qui est un mouvement Brownien reel standard.1.2 Loi d'un processus stochastique. Proces- sus canonique. Soit (E;E) un espace mesurable. SoitTun ensemble non vide. On note E

T=fx= (xt)t2T:xt2E;8t2Tg:

On appelletribu produitsurET(associee a la tribuEet aT) la plus petite tribu surETrendant mesurables les applications coordonnees : t:x= (xs)s2T7!xt lorsquetparcourtT. On la noteE

T. On appelleespace mesurable produit

associe a (E;E) et aTl'espace (ET;E

T) = (E;E)T.

Proposition 1.2.1.Soit(

;F)un espace mesurable. SoitUune application de dansET. Alors,Uest mesurable de( ;F)dans(E;E)Tsi et seulement si8t2T, tUest mesurable de( ;F)dans(E;E).

Demonstration.): SiUest mesurable, alors

tUest mesurable comme composee d'applications mesurables. (: Reciproquement, si8t2T, tUest mesurable, alors ( tU)1(A)2

F;8A2 E:

Or, ( tU)1(A) =U1(( t)1(A)):Donc,U1(B)2 Fpour tout

B2 D:=f(

t)1(A) :t2T;A2 Eg: OrE T=(D), par le critere de mesurabilite classique, on a alors : U

1(B)2 F

pour toutB2 E T.9 Soit maintenant une famille (Xt)t2Td'applications de dansE.

On noteXl'application :

!ET !7!(Xt(!))t2T:

On a alors le resultat suivant :

Corollaire 1.2.1.(Xt)t2Test un processus stochastique a valeurs dans(E;E) si et seulement si l'applicationXest mesurable de( ;F)dans(E;E)T.

Demonstration.Utiliser la proposition precedente.D'apres le corollaire, on peut identier un processus stochastique (Xt)t2T

et l'application mesurableXassociee. On posera dans la suiteX= (Xt)t2T. On appelleloi, sur(E;E)T, deXla probabilite image dePpar l'applica- tion mesurableX. On la notePX. Proposition 1.2.2.Deux processus stochastiques(Xt)t2Tet(X0t)t2T(bases respectivement sur( ;F;P)et(

0;F0;P0)) a valeurs dans(E;E)sont equivalents

si et seulement si ils ont la m^eme loi sur(E;E)T. Demonstration.(: SiPX=P0X0, alors ils sont equivalents : soitt1;:::;tn2

T, siA=Q

t2TAtavec A t=Bi2 Esit=ti;1in

Esit =2 ft1;:::;tng;

on a : X

1(A) =fXt12B1;:::;Xtn2Bng:

X

01(A) =fX0t

12B1;:::;X0t

n2Bng: Donc, P 0(X0t

12B1;:::;X0t

n2Bn) =P0X0(A) =PX(A) =P(X1(A)) =P(Xt12B1;:::;Xtn2Bn):quotesdbs_dbs10.pdfusesText_16

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