[PDF] Cours de mathématiques - Exo7

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L"inversionL"inversion géométrique est une transformation remarquable du plan. Par exemple, elle peut changer une

droite en un cercle et un cercle en une droite. Nous étudions ici quelques propriétés de l"inversion. Cela

nous permettra de créer un dispositif mécanique qui transforme un mouvement circulaire en un mouvement

rectiligne. Nous montrerons enfin que toute construction à la règle et au compas peut s"effectuer au compas

seulement.

1. Cercle-droite

1.1. Équation complexe d"une droite

Soit ax+by=c

l"équation réelle d"une droiteD:a,b,csont des nombres réels (aetbn"étant pas nuls en même temps), et

(x,y)2R2désigne un point du plan dont les coordonnées satisfont l"équation.

Écrivonsz=x+iy2C. Alors

x=z+¯z2 ,y=z¯z2i doncDa aussi pour équationa(z+¯z)ib(z¯z) =2cou encore(aib)z+ (a+ib)¯z=2c. Posons !=a+ib2Cetk=2c2R. Alors nous obtenons quel"équation complexed"une droite est : !z+!¯z=k où!2Cetk2R.i 01D

L"INVERSION1. CERCLE-DROITE2

1.2. Équation complexe d"un cercleSoitC(

,r)le cercle de centre et de rayonr. C"est l"ensemble des pointsMtels qued( ,M) =r. Si l"on note!l"affixe de etzl"affixe deM, nous obtenons : d( ,M) =r() jz!j=r() jz!j2=r2()(z!)(z!) =r2 et en développant nous trouvons quel"équation complexedu cercle centré en (!)et de rayonrest : z

¯z¯!z!¯z=r2j!j2

où!2Cetr>0.!C r i 01

1.3. Les cercles-droites

Les deux paragraphes précédents conduisent à la définition suivante.Proposition 1. Uncercle-droiteest un ensemble de points M du plan, d"affixe z, tel que az

¯z¯!z!¯z=k

où a,k2R,!2Csont donnés.

Si a=0, un cercle-droite est une droite.

Si a6=0, un cercle-droite est un cercle.Exemple 1.

Le cercleCr=C(

(0,r),r)a pour équationz¯z¯!rz!r¯z=r2j!rj2avec son centre d"affixe!r=0+ir.

Cette équation s"écrit aussiz¯z+irzir¯z=0ou encorez¯z+z¯zir=0. On fait tendrervers l"infini : le

rayon tend vers l"infini et le centre s"éloigne indéfiniment; cependant le cercle passe toujours par l"origine.

À la limite l"équation devientz¯z=0, qui est l"équation d"une droite, et plus précisément de l"axe des

abscisses. Une droite peut être vue comme un cercle dont le centre est à l"infini.

L"INVERSION2. L"INVERSION3

2. L"inversion

2.1. Définition géométriqueSoit le cercleC=C(

,r). L"inversionest l"application du plan privé de dans lui-même, qui à un point

Massocie un pointM0tel que :

M02[ M), M

M0=r2.

CrM M 0 La première condition impose queM0est sur la demi-droite issue de passant parM, et la deuxième condition lie les distances deMetM0à

Le point

est lecentrede l"inversion, le nombrer2est sapuissance, etC( ,r)est lecercle d"inversion. Voici quelques propriétés élémentaires (Pdésigne le plan) :Proposition 2.

Soit i:P nf

g ! P nf gune inversion de centre et de puissance r2. 1.

Chaque point du cercle C(

,r)est invariant par i : M2 C( ,r) =)i(M) =M. 2. L "inversioni est une bijection. C "estmême une involution : pour tout point M 2 P nf g, i(i(M)) =M.Le fait queM7!i(M)soit une involution se formule aussi ainsi : siM0=i(M)alorsM=i(M0).

Exemple 2.

Soitil"inversion de centre

et de puissancer2=4. Nous représentons des pointsMkainsi que leur image M0 k=i(Mk). Comme l"inversion est involutive, nous avons aussiMk=i(M0 k). Il est important de noter que l"inversion ne préserve pas les longueurs. Cr=2M 1M 0 1M 2M 0 2M 0 3M 3M 4M 0 4

L"INVERSION2. L"INVERSION4

Par exemple, comparez les distancesM1M4etM0

1M0

4. Voir l"exercice4 pour une formule.

Démonstration.

1.SoitM2 C(

,r)et notonsM0=i(M). La relation entre les distances s"écrit M

M0=r2. Mais

comme

M=r, alors nous avons aussi

M0=r. CommeMetM0sont sur la même demi-droite issue de , alorsM=M0. 2.

SoitM2 P n f

g. NotonsM0=i(M)etM00=i(M0). CommeM002[

M0)etM02[

M), alorsM00

appartient à la demi-droite[ M). Les relations entre les distances sont d"une part M

M0=r2et

M0

M00=r2. D"où les égalités

M M0= M0

M00, puis

M=

M00. CommeMetM00sont

sur la même demi-droite issue de , alorsM=M00. Le bilan est le suivant :ii(M)=M. L"applicationM7!i(M)est donc une involution. En particulier c"est une bijection.2.2. Construction de l"inverse d"un point à la règle et au compas

Étant donné un cercleCde centre

et un pointMdifférent de . Comment construire géométriquement, l"image deMpar l"inversionide cercleC?

Tracer la perpendiculaire à(

M)en . Cette perpendiculaire recoupe le cercleCen un pointP. Tracer la perpendiculaire à(MP)enP. Cette droite recoupe(

M)en un pointM00.

Le symétrique deM00par rapport à

est le pointM0qui est l"inverse deM:M0=i(M). MP C M 00MP C M 00M 0MP C La construction fonctionne aussi si le pointMest à l"intérieur du cercle. M 00M 0MP C On verra une méthode différente, qui n"utilise que le compas dans la section 5.3

Lemme 1.

Dans un triangle ABC, rectangle en C, où H2[AB]est le pied de la hauteur en C alors

HAHB=HC2

L"INVERSION2. L"INVERSION5HABC

Preuve du lemme.On applique le théorème de Pythagore trois fois.

Dans le triangleABC:AB2=AC2+BC2.

Dans le triangleAHC:AC2=HA2+HC2.

Dans le triangleBHC:BC2=HB2+HC2.

CommeAB=HA+HBalors

(HA+HB)2=AB2=AC2+BC2= (HA2+HC2)+(HB2+HC2) Donc HA

2+2HAHB+HB2=HA2+HB2+2HC2

et ainsi HAHB=HC2Preuve de la construction.Dans le triangleMM00Prectangle enPavec le pied de la hauteur, on a d"après le lemme : M M00= P2 comme M00=

M0et que

P=r, alors

M M0=r2 et commeM0est bien sur la demi-droite[

M),M0est l"inverse deM.2.3. Écriture complexe

Considérons les points et leur affixe

(!),M(z),M0(z0). Nous allons transformer la relationM0=i(M)en une condition entrezetz0. La première conditionM02[

M)s"écritz0!=(z!)avec2Ret>0.

La deuxième condition

M M0=r2devient en écriture complexejz!jjz0!j=r2, ce qui donne à l"aide de la première conditionjz!j2=r2et donc=r2jz!j2. Nous exprimons alorsz0comme une fonction dez: z

0=!+r2z!jz!j2=!+r2z!.!

Crz z 0i 01 Ceci nous permet de donner la définition complexe de l"inversion : L"inversionest l"applicationi:C[ f1g !C[ f1gdéfinie pari(z) = !+r2z!pourz2Cnf!get prolongée pari(!) =1eti(1) =!.

L"INVERSION2. L"INVERSION6

Exemple 3.L"inversion de cercleC(O,1)a pour écriture complexei(z) =1=¯z(pourz2C),que l"on prolonge àC[f1g

aveci(0) =1eti(1) =0.

2.4. Inversion et cercle-droiteThéorème 1.

L"image d"un cercle-droite par une inversion est un cercle-droite.Plus précisément, nous allons montrer que siiest l"inversion de cercleC(

,r)alors :

L"image d"une droite passant par

est elle-même.

L"image d"une droite ne passant pas par

est un cercle passant par

L"image d"un cercle passant par

est une droite ne passant pas par

L"image d"un cercle ne passant pas par

est un cercle ne passant pas par Les trois premiers cas sont sur la figure de gauche, le dernier sur la figure de droite. CC

2=i(D2)D

2=i(C2)D

1=i(D1)

C C

3i(C3)Démonstration.

Remarquons tout d"abord que, pour une translation, l"image d"une droite est une droite et l"image d"un cercle est un cercle. Il en va de même pour les homothéties.

Donc, par une translation, nous nous ramenons à démontrer la proposition dans le cas où le centre de

l"inversion est situé à l"origine du plan complexe. Par une homothétie, nous supposons même que le cercle

d"inversion est de rayon1. Après ces deux réductions, nous nous sommes ramenés au cas où l"inversion a

pour écriture complexe : i(z) =1¯ z. Soit maintenantCun cercle-droite d"équationaz¯z¯!z!¯z=k(a,k2R,!2C). SoitM(z)un point du plan (d"affixez) et notonsM0l"image deMpar notre inversion qui sera donc d"affixez0=i(z) =1¯ z. On a alors les équivalences suivantes :

M(z)2 C ()az¯z¯!z!¯z=k

()a¯!1¯ z!1z =kz

¯zen divisant parz¯z

()a¯!z0!¯z0=kz0¯z0carz0=1=¯z ()kz0¯z0+¯!z0+!¯z0=a

Mais la dernière ligne est l"équation d"un autre cercle-droiteC0. Bilan :M(z)2 Csi et seulement si

i(M)2 C0. Autrement dit l"image du cercle-droiteCest le cercle-droiteC0.

Il suffit de regarder les équations pour obtenir les différents cas. Par exemple, si notre cercle-droite passe

par l"origine (c"est le cas lorsquek=0), il faut traiter le casz=0à part et se rappeler notre convention

i(0) =1. Dans ce cas l"équation obtenue pourC0est celle d"une droite.

L"INVERSION2. L"INVERSION7

Remarque.

•L"image d"une droiteDpassant par le centre d"une l"inversioniest la droite elle-même :i(D) =D. La

droite estinvariante globalement. Un point de la droite est envoyé sur un autre point de la droite. Par

contre, chaque point du cercle d"inversion est conservé par l"inversion : c"est l"invariance point par

point. SiCest le cercle d"inversion, cela s"écrit :

8P2 Ci(P) =P.

La droiteDpassant par l"originen"est pasinvariante point par point. Même si l"image d"un cercleC0de centreOest un cercleC0

0=i(C0)de centreO0, on n"a pas forcément

O0=i(O)comme l"illustre la figure ci-dessous.

O i(O)O 0C C 0C 0

0=i(C0)2.5. Inversion et cocyclicité

Proposition 3.

Soientiune inversion etM,Ndeux points du plan. Les pointsM,N,i(M),i(N)sont cocycliques (ou alignés).

CM M 0NN

0C"est un résultat important et utile qui est démontré dans l"exercice3 .

L"INVERSION3. LES HOMOGRAPHIES8

3. Les homographies

3.1. Définition

Unehomographieest une applicationh:C[f1g !C[f1gdéfinie par : h(z) =az+bcz+d,h(1) =ac dc =1,aveca,b,c,d2Ctels queadbc6=0. (Remarque : sic=0, l"homographie est une similitude du type h(z) =az+bavech(1) =1.)Proposition 4.

Une homographie est la composée d"une inversionz7!1=¯z, d"une réflexionz7!¯z, de translationsz7!z+

et de rotations-homothéties z7!z (,2C).En particulier une homographie est une application bijective.

Démonstration.

Tout d"abord, par la composition d"une rotation, d"une homothétie et d"une translation, nous définissonsh1(z) =cz+d. Puish2(z) =1zest la composée d"une inversionz7!1¯ zet d"une réflexionz7!¯z. Nous obtenons donch2h1(z) =1cz+d. Posonsh3(z) =z+(encore la composition d"une rotation, d"une homothétie et d"une translation). Alors h

3h2h1(z) =cz+d+=cz+d+cz+d=az+bcz+d,

si l"on a choisi=ac et=bac d.Corollaire 1. L"image par une homographie d"un cercle-droite est un cercle-droite.Démonstration. L"image d"une droite par une translation est une droite. De même, l"image d"un cercle

par une translation est un cercle. Il en va de même pour les rotations, pour les homothéties et pour les

réflexions. L"image d"un cercle par une inversion est un cercle ou une droite, et l"image d"une droite par une

inversion est un cercle ou une droite. Par composition, l"image d"un cercle-droite par une homographie est

un cercle-droite.3.2. Homographies et angles

Théorème 2.

Les homographies préservent les angles orientés. Voyons d"abord ce que cela signifie. Soient deux courbesC1etC2qui s"intersectent en un pointP. Soit l"angle formé par les deux tangentes àC1etC2enP. Soithnotre homographie; notonsC0

1=h(C1),

C0

2=h(C2), etP0=h(P)qui appartient à l"intersection deC0

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