[PDF] Inversion complexe et cocyclicité

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Inversion complexe

et cocyclicite

Jean-Marie Lion

Universite de Rennes 1

Breve introduction aux nombres complexes

L'addition et la multiplication dansCsont denies de la facon suivante : siz=x+iy2Cetz0=x0+iy02Calors z+z0= (x+x0) +i(y+y0) etzz0= (xx0yy0) +i(xy0+yx0): L'ensembleCdes complexes muni des lois + etest un corps commutatif.

En particulier siz6= 0 alors son inverse1z

est 1z =xiyx 2+y2: Siz=x+iy2Con notezet on appelle conjuge dezle complexez=xiy et on notejzjet on appelle module dezle reel positif ou nul deni par jzj=qx

2+y2=pzz:

Siz6= 0 alors1z

=z jzj2: La conjugaison est une involution et c'est un isomorphisme du corpsC: L'application qui ax2Rassocie le complexez=x+ 0ide partie reellex et de partie imaginaire nulle est un morphisme de corps injectif qui permet d'identierRa un sous corps deC;le sous corps des complexes invariants par conjugaison. Ce sous-corps est appele axe reel. PuisqueCest un corps c'est aussi uneC-droite vectorielle et uneC-droite ane. Mais l'ensemble des complexes peut ^etre egalement considere comme un plan vectoriel euclidien oriente ou comme un plan ane euclidien oriente : 1 (0;(1;i)) est un repere orthonorme direct. Siz=x+iy2Calors le module jzjdezpeut ^etre vu comme la norme du vecteurz(siCest considere comme un plan vectoriel euclidien oriente) et le modulejzz0jpeut ^etre vu comme la distance entre les pointszetz0(siCest considere comme un plan ane euclidien oriente). La conjugaison est identiee a la re exion par rapport a l'axe reel. SoitEun espace ane euclidien oriente et soit (O;(!u ;!v)) un repere orthonorme direct de ce plan. L'application qui au pointMde coordonnees (x;y) associe le nombre complexezM=x+iyest un isomorphisme ane.

Le complexezMs'appelle axe deM:

L'inter^et de la representation complexe d'un plan ane euclidien oriente reside dans les possibilites calculatoires, algebriques, des nombres complexes. En particulier les applications anes complexes non constantes sont les simi- litudes directes : sia2Cet sib2Calors l'applicationz2C7!az+bpeut ^etre consideree soit comme une application ane complexe (c'est pratique pour les calculs) soit comme une similitude directe (c'est pratique pour la geometrie). En eet sia=+i02Calors 0 0! est la matrice d'une similitude directe et sib=+i02Cetz=x+iy2Calors z

0=az+b=x0+iy0est donne par

x0 y 0! = 0 0! x y! 0! En particulier un nombre complexe represente une similitude directe de centre l'origine. Une telle similitude est caracterisee par deux nombres : son rapport qui est un reel strictement positif et la mesure de l'angle de rotation associee et qui est determinee modulo 2:Ces deux nombres caracterisent egalement le complexe non nul associe a la similitude. Siz2Calors on ecrit z=rei avecr=jzjetest une mesure de l'angle oriente (d1;z) (ici 1 etzsont vus comme des vecteurs). Siz6= 0 le nombre(deni modulo 2) s'appelle argument dez:Le couple (r;) associe azs'appelle coordonnees polaires de z: c'est la representation par module et argument du complexe non nulz:La similitude de centre l'origine a laquellezest associe a pour rapportret pour mesure de l'angle de rotation associee:La composee de deux similitudes directes de centre l'origine est une similitude directe de rapport le produit des 2 rapports et de mesure d'angle la somme des mesures des angles. Cet enonce admet la formulation complexe suivante. Siz=reietz0=r0ei0alors zz

0=rr0ei(+0):

On a en particulier la formule suivante : siz=reiest un complexe non nul alors son inverse est1z =1r ei: De plus sia; betzsont trois complexes distincts alors l'argument de zazb est une mesure de l'angle oriente fait par les vecteursbzetaz: Cercles dans C de centre0ou passant par0et droites de C Dans un plan ane, une droite aneest souvent donnee par son equation cartesienne relativement a un repere caratesien :ax+by+c= 0: Si la droiteappartient a un plan ane euclidien orienteEqu'on identi- e par passage aux axes aCil peut ^etre pratique de choisir une autre representation de la droite:Siz0etz1sont deux complexes distincts de alors =fz=z0+t(z1z0) :t2Rg: Il peut ^etre aussi interessant de considerer la representation polaire d'une droite: { 02:Soitz02:Il exister0>0 et0tels quez=r0ei0:La droite est l'ensemble des complexesz=rei0avecr2R: =fr0ei0:r2Rg: La demi-droite ]0;z0) est l'ensemble des complexesz=rei0avecr >0 : ]0;z0) =fr0ei0:r >0g: La demi-droite ]0;z0) est l'ensemble des complexesz=rei(0+)avec r >0 : ]0;z0) =fr0ei(0+):r >0g: 3 { 0=2:Soitz0le projete orthogonal de 0 sur:Il exister0>0 et0tels quez=r0ei0:Un complexe non nulz=reiavecr >0 appartient asi et seulement si le triangle (0;z0;z) est rectangle enz0c'est a dire si et seulement sir0= cos(0)r:La droiteest l'ensemble des complexesz=rei0avecr=r0cos(0)et2]02 ;0+2 re i:r=r0cos(0); 2]02 ;0+2 Le pointz0separe la droite en deux demi-droites, la demi-droite re i:r=r0cos(0); 2]0;0+2 et la demi-droite re i:r=r0cos(0); 2]02 ;0[) Dans un plan ane euclidien orienteeEun cercle est caracterise par son centre et son rayon. Si le planEest rapporte a un repere orthonorme direct (O;(!u ;!v)) alors le cercle de rayonr0et de centreC0de coordonnees (x0;y0) a pour equation cartesienne (xx0)2+ (yy0)2=r2:Identions comme precedemmentEetC:SiCest un cercle de centrec0et de rayonr0alors

C=fz=c0+r0ei:2[0;2[g:

La representation polaire d'un cercleCde rayonr0centre en 0 est

C=fr0ei:2[0;2[g:

Considerons maintenant un cercleCde centrez0=r0ei0dierent de 0 et qui passe par 0 c'est a dire de rayonr0:Le segment [0;2z0] = [0;2ei0] est un diametre deC:C'est pourquoiz=rei2Cavecr >0 appartient au cercleCsi et seulement si le triangle (0;2z0;z) est rectangle enzc'est a dire sir= 2cos(0)r0:Le cercleCadmet comme representation polaire

C=frei:r= 2cos(0)r0;2[02

;0+2 [g: 4 Le segment [0;2z0] separe le cercleCen deux demi-cercles, le demi-cercle C +=frei:r= 2cos(0)r0;2]0;0+2 [g et le demi-cercle C =frei:r= 2cos(0)r0;2]02 ;0[g: Les autres cercles deCn'admettent pas de representation polaire aussi simple.

L'inversionz7!1z

=z1associe au complexe non nulz=reile complexe z

1=zjzj2=1r

ei:Fixonsz0=r0ei06= 0:On deduit des representations polaires des cercles de centre 0 ou passant par 0 et des droites les resultats suivants. { L'image par l'inversion de la demi-droite ]0;z0) est la demi-droite ]0;1z 0) et l'image deRz0n f0g(la droite vectorielle privee de 0 et qui passe parz0) par l'inversion estR1z

0n f0g(la droite vecotorielle privee de 0

et qui passe par 1z 0). { L'image par l'inversion de la droite re i:r=r0cos(0); 2]02 ;0+2 est le cercle prive de l'origine C =frei:r= cos(+0)12r0;2]02 ;0+2 [g:

L'image par l'inversion de la demi-droite

re i:r=r0cos(0); 2]0;0+2 est le demi-cercle C =frei:r= cos(+0)12r0;2]02 ;0[g:

L'image par l'inversion de la demi-droite

re i:r=r0cos(0); 2]02 ;0[) 5 est le demi-cercle C +=frei:r= cos(+0)12r0;2]0;0+2 [g: { L'image par l'inversion du cercle centre a l'origine et de rayonr0est le cercle centre a l'origine et de rayon 1r 0: { L'image par l'inversion du cercle prive de l'origine C =frei:r= cos(0)r0;2]02 ;0+2 [g est la droite re i:r=r02cos(+0); 2]02 ;0+2

L'image par l'inversion du demi-cercle

C +=frei:r= cos(0)r0;2]0;0+2 [g est la demi-droite re i:r=r02cos(+0); 2]02 ;0[)

L'image par l'inversion du demi-cercle

C =frei:r= cos(0)r0;2]02 ;0[g est la demi-droite re i:r=r02cos(+0); 2]0;0+2 Il reste a considerer l'image d'un cercle quelconque par l'inversion. C'est l'objet de la partie suivante.

Cocyclicite et inversion

Soitc2Cr >0 etCle cercle de centrecet de rayonr:

C=fz=c+rei:2[0;2[g:

6 Soitaetbdeux points distincts deC:Il existeet2];+ 2[ tels que a=c+reietb=c+rei:On a

C=fz=c+rei:2[;+ 2[g:

Le segment [a;b] separe le cercle en deux arcs de cercles, l'arc C =fz=c+rei:2];[g et l'arc C +=fz=c+rei:2];+ 2[g:

Soitz=c+rei2 C n fa;bg:2];[[];+[:

On azbza=eieie

iei ei2 ()ei2 ()e i2 ()ei2 ()ei2 (+)e i2 sin(12 ())sin( 12 ())ei2

Siz2 C(c'est a dire si2];[) alors

<12 ())<0 et 0<12

Par consequent

sin(12 ())sin( 12 ())est strictement negatif et l'argument dezbza est egal a+12 () modulo 2(c'est a dire a+la mesure de l'angle oriente fait paracet12 (a+b)c).

Siz2 C+(c'est a dire si2];+ 2[) alors

0<12 ())< et 0<12

Par consequent

sin(12 ())sin( 12 ())est strictement positif et l'argument dezbza est egal a 12 () modulo 2(c'est a dire a la mesure de l'angle oriente fait paracet12 (a+b)c). 7 Ainsi siz2 Cnfa;bgalors l'argument dezbzaest egal a12 () modulo Il reste a verier que siz =2 Calors l'argument dezbzaest dierent de 12 () modulo:Sizest aligne avecaetbalors l'argument dezbzaest

0 ou:Il est dierent de12

() qui est dans ]0;[:Sizn'est pas aligne avecaetbalors le centrec0du cercle qui contienta; betzest un point de la mediatrice du segment [a;b] qui est dierent dec:Le calcul precedent montre que l'argument de zbzaest egal a la mesure de l'angle oriente fait parac0et12 (a+b)c0:Or, puisquec0etcsont deux points dierents de la mediatrice du segment [a;b];la mesure de l'angle oriente fait parac0et 12 (a+b)c0diere (modulo) de la mesure de l'angle oriente fait parac et 12 (a+b)c:Par consequent l'argument dezbzadiere (modulo) de la mesure de l'angle oriente fait paracet12 (a+b)cc'est a dire de12 On vient de prouver le critere de cocyclicite suivant. Soienta; b; zetz0 quatre complexes distincts. On suppose quea; betzne sont pas alignes. On noteCle cercle qui passe para; betz:On designe parC+zl'arc de C n fa;bgqui contientzetCzl'arc deC n fa;bgqui ne contient pasz:Soit z

02Cn fa;bg:Alorsz02 C+zsiz0bz

0aetzbzaont m^eme argument et

z

02 Czsi les arguments dez0bz

0aetzbzadierent de:

On considere quatre complexes non nuls et distinctsa; b; zetz0:Alors zbzaz 0bz 0a=1z 1b1 z 1a1 z 01b1 z 01a

Par consequent

z0bz

0aetzbzaont m^eme argument si et seulement si1z

01b1 z 01a et1z 1b1 z 1a ont m^eme argument. De m^eme, les arguments dez0bz

0aetzbza

dierent desi et seulement si ceux de1z 01b1 z 01a et1z 1b1 z 1a dierent de: On en deduit a l'aide du critere de cocyclicite que l'image par l'inversionquotesdbs_dbs35.pdfusesText_40

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