[PDF] Exercices – Linversion 1 Linversion

View - Download Exercices – Linversion 1 Linversion

Previous PDF

Next PDF

Éléments de géométrie

Arnaud Bodin, avril 2012

Exercices - L"inversion

1 L"inversion 1

2 Homographie 3

3 Dispositifs mécaniques 41 L"inversion

Exercice 1(Cercle et droite)

1. Donner l"équation complexe du cerc leCde centre2+i et de rayonp5. Donner une paramétrisation polaire du cercleC0de centre3i et de rayon1. Calculer l"intersection deCetC0. 2. Soit Cle cercle de centre1+i et de rayon1etDla droite passant par les points d"affixe

1et1+i. Déterminer l"image deCetDpar chacune des transformations suivantes :

(a)z7!2ze-i4 +i; (b)z7!(1+i)z+i.i 01CD 3. Donner l"équation complexe de la droite (AB)passant par les points d"affixeet. 4. Étant fixés !2C,k2R, trouver l"équation complexe des droites perpendiculaires à la droite d"équation ¯!z+!¯z=k.

Exercice 2(Inversion)

Soit l"inversionde centreOet de rayon1définie par(z) =1¯z. Déterminer les images, par , de chacune des figures suivantes :i 01C 1C 2D 2D

11.la droite D1d"équation réelle(y=x);

2. la droite D2d"équation réelle(y=x+1); 3. le cerc leC1de centre(0;2)et de rayon2; 4. le cerc leC2de centre(0;2)et de rayon1. 1

Mêmes questions avec l"inversion(z) =2i+1z-2i.

Indications 1

Deux méthodes sont possibles : un calcul avec les équations complexes ou alors d"abord reconnaître (à l"aide du cours) la nature de l"image et la calculer.

Exercice 3(Inversion et cocyclicité)

1. Soient A;B;C;Dquatre points d"affixea;b;c;d. Montrer queA;B;C;Dsont cocyliques ou alignés si et seulement si d-ad-bc-ac-b2R: Indication.Utiliser le théorème de l"angle inscrit. 2. Soit un inversion,M;Ndeux points du plan distincts du centre. Montrer queM;N;(M);(N) sont cocyliques ou alignés.Indication.Choisir le repère de telle sorte que l"inversion s"écrive(z) =1¯z.

3.Application 1.Soitune inversion de centre

. soientM;Ndeux points du plan ( M,Ndistincts). Supposons connus et placés les quatre points distincts ,M,Net (M), construire à la règle et au compas le point(N).

4.Application 2.Soitune inversion de centre

. SoientM,(M)donnés avec ( ,M, (M)distincts). Construire à la règle et au compas le cercle invariant par l"inversion

5.Application 3.Montrer que si un cercle contient un point et son inverse alors il est

globalement invariant.

Exercice 4(Théorème de Ptolémé)

"Les sommets d"un quadrilatère convexe sont cocycliques si et seulement si la somme des

produits des côtés opposés est égale au produit des diagonales." En d"autres termes si et

seulement si :

ABCD+ADCB=ACBD:A

BCD

1.Sens direct.Supposons queA;B;C;Dappartiennent à un même cercle. SoitIle

point de[AC]tel qu"on ait l"égalité des angles :angle(ABI) =angle(CBD). 2 (a)Montrer que les triangles CBDetIBAsont semblables; en déduireABCD= IABD. (b) Montrer aussi que les triangles ABDetIBCsont semblables; en déduire que

ADBC=ICBD.

(c)

Conc lure.

2.Préliminaire à la réciproque.Soitune inversion de centre

et de rapportr2, soientM;Ndeux points du plan etM0=(M),N0=(N)leurs images. Montrer la relation entre les distances : M

0N0=r2MN

M N:

Indications.On pourra supposer que

est l"origine du plan, puis faire les calculs avec l"écriture complexe de.

3.Réciproque.SoientA;B;C;Dquatre points vérifiantABCD+ADCB=ACBD:

Soitl"inversion de centreDet d"un rapportr2fixé. SoitA0=(A),B0=(B),C0= (C). (a) Calculer A0B0,B0C0etA0C0et montrer queA0B0+B0C0=A0C0. Qu"en déduire pourA0;B0;C0? (b)

En déduire que A;B;C;Dsont cocyliques.

2 Homographie

Exercice 5(Homographie et birraport)

SoientA;B;C;Dquatre points d"affixea;b;c;d. Lebirapportde ces quatre points est [a:b:c:d] =d-ad-bc-ac-b: 1. Montrer que les homographies préservent le birapport (c"est-à-di re: [h(a) :h(b) : h(c) :h(d)] = [a:b:c:d], pour toute homographiehet tous quadruplets).Indication. Se ramener à l"étude de chacune des transformationsz7!z+,z7!z,z7!1z 2. En déduire que l"image d"un cerc le-droitepar une homographie est un cerc le-droite. Indication.Utiliser le critère de cocylicté.

3.Exemple.Soith(z) =z-1z-i. SoitCle cercle de centre1+i et de rayon1. À l"aide de

l"image de trois points, trouver l"image deC. 3

Exercice 6(Homographie et birraport (bis))

Soienta;b;c;d2Cdistincts.

1. Montrer qu"il existe une unique homographie htel queh(a) =1,h(b) =0,h(c) =1. 2.

Montrer que h(d) = [a:b:c:d].

Exercice 7(Homographie et matrices)

NotonsHl"ensemble des homographies définies parh(z) =az+bcz+daveca;b;c;d2Cet ad-bc6=0. NotonsGL2(C)l"ensemble des matricesa bc daveca;b;c;d2Cetad-bc6=0. 1.

Montrer que (GL2(C);)est un groupe.

2.

Montrer que (H;)est un groupe.

3. Soit :GL2(C)!Hl"application qui àa bc dassocie l"homographiehdéfinie par h(z) =az+bcz+d. Montrer quedéfinie un morphisme du groupe(GL2(C);)vers le groupe(H;). 4.

Calculer le noyau de .

3 Dispositifs mécaniques

Exercice 8(Inverseur de Hart)

L"inverseur de Hart est un dispositif mécanique constitué de quatre tiges articulées avec

AB=CD,AC=BD. Soient

;P;P0des points des tiges tels que :!B =k!BA,!BP=k!BD,!CP0=k!CA(avec0 < k < 1fixé). 1. Montrer que l equadrilatère ABCDest un trapèze dont les sommets sont cocycliques. 2. À l"aide du théorème de Ptolémé calculer ADBC. En déduire une valeur de P P0. Montrer queP0est l"image dePpar une inversion que l"on précisera. 3. En déduire un dispositif mécanique qui transforme un cerc leen droite . PP 0A BCD 4quotesdbs_dbs35.pdfusesText_40

[PDF] méthode moindre carré calculatrice

[PDF] équation différentielle ordinaire exercice corrige

[PDF] exercices corrigés équations différentielles premier ordre

[PDF] equations différentielles exercices corrigés pdf

[PDF] equation differentielle cours licence 3

[PDF] aide dm de math 3eme

[PDF] mesures de longueurs cm1-cm2

[PDF] un maitre nageur dispose d un cordon flottant

[PDF] vocabulaire mathématique opération

[PDF] exercice maths l'apprenti bijoutier

[PDF] sigma statistique

[PDF] symbole sigma clavier

[PDF] abscisse ordonnée x y

[PDF] physique chimie 4eme pdf

[PDF] dm physique chimie 4eme electricite