[PDF] Equations différentielles L3 de Mathématiques

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Equations dierentielles

L3 de Mathematiques

Raphael Danchin

Annee 2010{2011

2

Table des matieres

1

Equations dierentielles lineaires 7

1.1 Generalites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2Equations dierentielles scalaires lineaires du premier ordre . . . . . . . . . . . . 8

1.3 Le theoreme de Cauchy-Lipschitz lineaire et consequences . . . . . . . . . . . . . 9

1.4 Exponentielles de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.4.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.4.2 Comment calculer une exponentielle de matrice . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.5 Le cas lineaire homogene a coecients constants . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.5.1 Le cas des systemes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.5.2 Le cas scalaire d'ordren. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.6 La methode de variation des constantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.6.1 Le cas des systemes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.6.2 Le cas scalaire d'ordren. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.6.3 Application au cas des coecients constants . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.7 Comportement asymptotique des solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2 Contr^ole des EDO lineaires 29

2.1 Problemes de commandabilite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.2 Stabilisation par retour d'etat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.3 Problemes d'observabilite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3

Equations dierentielles non lineaires 37

3.1 Le theoreme de Cauchy-Lipschitz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.2 Quelques proprietes qualitatives des solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.2.1 Criteres d'existence globale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.2.2 Dependance par rapport aux parametres et conditions initiales . . . . . . 42

3.2.3 Le

ot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3.3 Exemples d'equations dierentielles non lineaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3.3.1 Equations dierentielles du typex0@xf+@tf= 0 . . . . . . . . . . . . . . 46

3.3.2Equation de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3.3.3Equation de Ricatti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3.3.4 Exemples d'equations non lineaires d'ordre superieur . . . . . . . . . . . . 48

4 Equations dierentielles autonomes 51

4.1 Champs de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

4.2 Stabilite des solutions stationnaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

4.3 Points stationnaires hyperboliques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

Bibliographie63

3

4TABLE DES MATIERES

Introduction

On appelleequation dierentielle ordinaire(EDOen abrege) toute expression du type (S)X0=F(t;X) ouFest une fonction continue denie surIAavecIun intervalle deRetAune partie de R n;et a valeurs dansRnou dans1Cn:La fonctionFa doncncomposantesF1;;Fnqui sont des fonctions deIAdansKet l'EDO ci-dessus peut donc se recrire 0 B @X 01... X 0n1 C A=0 B @F

1(t;X1;;Xn)

F n(t;X1;;Xn)1 C A: Lorsquen2;pour souligner le fait que l'expression consideree dans (S) comporte plusieurs equations, on parle aussi desysteme dierentieldu premier ordre. Par analogie avec la physique (dont, historiquement, l'etude des equations dierentielles est issue), la variabletest souvent appelee \temps". Une EDO est dite autonome (resp. non autonome) siFne depend pas det(resp.Fdepend det). Denition.On dit que la fonctiondenie sur un sous-intervalleJdeIet a valeurs dans K nestsolutionde l'equation dierentielle associee aFsi elle est derivable surJet verie (1)8t2J; (t)2Aet0(t) =F(t;(t)): Remarque.En integrant l'expression ci-dessus entret0ett(out0est un element arbitraire de

J) on obtient

(2)(t) =(t0) +Z t t

0F(;())d:

L'expression

(I)X=X0+Z t t

0F(;X)d

est appeleeequation dierentielle integree. Pour les fonctions assez regulieres, les formulations (I) et (S) sont equivalentes. En eet, il est clair que toute solutionde (S) denie pres det0verie (2). Reciproquement, siest continue et verie (2) pres det0alors le theoreme de composition (souvenons-nous queFest continue) assure queestC1pres det0; en derivant on verie queest solution de (S):1

Dans la suite,Kdesignera indieremmentRouC:

5

6TABLE DES MATIERES

Remarque.Tout systeme dierentiel non autonome anequations se ramene a un systeme dierentiel den+ 1 equations autonome gr^ace a l'artice suivant : 0 B BB@X 01... X 0nT01 C CCA=0 B BB@F

1(T;X1;;Xn)

F n(T;X1;;Xn) 11 C CCA: Donnons-nous maintenant une fonctionfdenie et continue surIAeta valeurs scalaires (c'est-a-dire dansRouC). L'expression x (n)=f(t;x;x0;;x(n1)) (E) est appeleeequation dierentielle scalaire d'ordrenassociee af. On dit que la fonction' denie sur un sous-intervalleJdeIet a valeurs dansKnest solution de l'equation dierentielle scalaire associee afsi elle estnfois derivable surJet verie

8t2J;('(t);'0(t);;'n1(t))2Aet'(n)(t) =ft;'(t);'0(t);;'(n1)(t):

Remarque.Toute equation dierentielle scalaire d'ordrenpeut ^etre interpretee comme un systeme denequations dierentielles. En eet, en posantX0=x,X1=x0;etc, on constate que resoudre (E) est equivalent a resoudre 0 B BB@X 0... X n2 X n11 C CCA0 =0 B BB@X 1... X n1 f(t;X0;X1;;Xn1)1 C CCA: Voici une liste de problemes importants lies a l'etude d'une EDO et que l'on souhaite aborder dans ce cours introductif. { Trouver des solutions explicites (mais ce n'est pas toujours possible) et, plus generalement, demontrer l'existence de solutions. {Etudier leprobleme de Cauchy: est-il possible de trouver une solution prenant une valeur prescriteX0au tempst0? Y-a-t-il unicite d'une telle solution? Quel est le plus grand intervalleJIou une telle solution existe? La solution correspondante est appelee solution maximale. {Etudier le comportement des solutions maximales aux bornes deJet trouver des condi- tions necessaires et susantes pour queI=J: {Etudier la stabilite des solutions : si on perturbe un peut0; X0ouF;la solution obtenue est-elle tres dierente de la solution initiale? { Trouver des algorithmes permettant de calculer des solutions approchees d'une EDO. Cela est particulierement interessant si l'EDO consideree n'admet pas de solution explicite.

Chapitre 1

Equations dierentielles lineaires

1.1 Generalites

Denition.On dit que le systeme dierentiel (S) estlineairesi pour toutt2Ila fonction X7!F(t;X) est ane : il existe un vecteurB(t) deKnet une matriceA(t) deMn(K) tels que

8(t;X)2IKn; F(t;X) =B(t) +A(t)X:

Dans la suite, on demandera aux fonctionst7!A(t) ett7!B(t) d'^etre continues. Un systeme lineaire est dithomogenesi la fonctionBest identiquement nulle. Le systeme (S0)X0=A(t)X est appele systeme homogene associe a (S)X0=A(t)X+B(t): Denition.On dit qu'une equation dierentielle scalaire d'ordrenestlineaires'il existen+1 fonctionsb; a1;;andeC(I;K) telles que

8(t;x1;;xn)2IKn; f(t;x1;;xn) =b(t) +a1(t)x1++an(t)xn:

On dit que ce systeme lineaire esthomogenesi la fonctionbest identiquement nulle, et l'on

denit comme precedemment l'equation dierentielle homogene associee en remplacantbpar 0:Proposition.Soit(S)un systeme dierentiel lineaire, et(S0)le systeme homogene as-

socie. Soit0une solution de(S). Alorsest solution de(S)si et seulement si0 est solution de(S0).Preuve :Siet0verient (S), il est clair que la dierence0verie (S0). Reciproquement, si0verie (0)0=A(t)(0) et0verie00=A(t)0+B(t),

on a bien0=A(t)+B(t).Remarque :Autrement dit, la solution generale d'un systeme lineaire (S) s'ecrit comme somme

des solutions generales du systeme homogene associe et d'une solution particuliere. 7

8CHAPITRE 1.EQUATIONS DIFFERENTIELLES LINEAIRES

1.2

Equations dierentielles scalaires lineaires du premier ordreTheoreme.Soitaune fonction numerique continue sur un intervalleIdeR, et soit

t

02I. L'ensemble des solutions de l'equation dierentielle scalaire homogene

(E0)x0=a(t)x est le sous-espace vectoriel de dimension1deC(I;R)engendre par la fonction t7!eR t t0a()d:Preuve :Soit'une fonction derivable surI. Posons (t)def='(t)eRt t0a()d:

Un calcul immediat donne 0(t) =eRt

t0a()d('0(t)a(t)'(t)):Donc'est solution de (E0) si et seulement si 0est la fonction nulle, c'est-a-dire constante, ce qui donne le

resultat voulu.Remarque :On observe que si'solution de (E0) n'est pas la fonction nulle, alors elle ne

s'annule jamais. De ce fait, elle est solution dex0=x=a(t), qui peut s'integrer \a vue" puisque x

0=xest la derivee de logjxj.

Exercice :Resoudrex0+ax= 0 aveca2R:

Theoreme.Soitaetbdeux fonctions numeriques continues sur un intervalle ouvertIdeR, t

02Ietx02R. Alors l'equation dierentielle scalaire d'ordre1

(E)x0=a(t)x+b(t) admet une unique solution prenant la valeurx0ent0. Il s'agit de la fonction ':8 :I!R t7!eR t t0a()d x 0+Z t t 0eR t0a(0)d0b()d Preuve :Soit'une fonction derivable surI. Observons que ddt '(t)eRt t0a()d =eRt t0a()d '0(t)a(t)'(t)

Donc'est solution de (E) si et seulement si

ddt '(t)eRt t0a()d =eRt t0a()db(t):

Cette egalite s'integre en

'(t)eRt t0a()d=K+Z t t 0eR t0a(0)d0b()d:

La condition'(t0) =x0est donc veriee si et seulement siK=x0.Exercice :Transformee de Fourier de la Gaussienne : pourx2R;on pose

f(x) =Z R eitxet22 dt: Verier quefestC1et solution d'une equation dierentielle scalaire du premier ordre que l'on determinera, puis calculerf:

1.3. LE TH

EOREME DE CAUCHY-LIPSCHITZ LINEAIRE ET CONSEQUENCES9 Lemme(de Gronwall).Soitaet'deux fonctions continues et positives sur l'intervalleIde

R,t02Ietx02R+. Supposons que

(1.1)8t2I; '(t)x0+Z t t

0a()'()d:

Alors on a

8t2I; '(t)x0ejRt

t0a()dj: Preuve :On considere juste le castt0;le cast < t0etant laisse en exercice. On pose alors (t) =x0+Z t t

0a()'()d:

On a 0(t) =a(t)'(t)a(t) (t). Soit

(t) =eRt t0a()d (t):

D'apres l'inegalite ci-dessus, on a

00;donc la fonction est decroissante. Donc, pour

tt0;on a (t)(t0) =x0; d'ou apres multiplication pareR t t0a()d, (t) (t)x0eR t t0a()d: C'es bien le resultat souhaite.1.3 Le theoreme de Cauchy-Lipschitz lineaire et consequences Dans toute cette section, on considere un systeme dierentiel lineaire (S)X0=A(t)X+B(t) avecA2 C(I;Mn(K)) etB2 C(I;Kn): Theoreme(de Cauchy-Lipschitz lineaire).Pour toutt02IetX02Kn;le systeme dierentiel (S)admet une unique solutionde classeC1surIet telle que(t0) =X0. Preuve :MunissonsKnd'une normek ket denissons surMn(K) la norme suivante : jkAjkdef= sup fX2Kn;kXk=1gkAXk: (i)Unicite.Considerons deux solutionset de (S). Alorsdef= est solution du systeme homogene associe a (S), et(t0) = 0. De ce fait, on a (t) =Z t t

0A()()d;

donca(t)def=k(t)kverie a(t)Z t t

0jkA()jka()d:

Le lemme de Gronwall assure donc quea0 surI, c'est-a-dire .

10CHAPITRE 1.EQUATIONS DIFFERENTIELLES LINEAIRES

(ii)Existence.On va montrer l'existence d'une fonctioncontinue surItelle que (1.2)8t2I; (t) =X0+Z t t 0

A()() +B()

d: Il est alors clair queest de classeC1(car le second membre l'est), verie (S) et (t0) =X0. Pour resoudre (1.2), on va construire par recurrence une suite (n)n2Nde solutions approchees. On choisit0(t) =X0+Rt t

0B()d, puis une foisnconstruite, on pose

(1.3)8t2I; n+1(t) =X0+Z t t 0

A()n() +B()

d: On obtient ainsi une suite de fonctions continues surI. Pour montrer la convergence de cette suite, on borne la dierence entre deux termes consecutifs. On a pour tout n2N?,

8t2I;(n+1n)(t) =Z

t t 0A() n()n1() d: Donc kn+1(t)n(t)k Z t t

0jkA()jkkn()n1()kd:

Placons-nous sur un intervalle ferme borne [;]Iarbitraire. Il existe alors un M0 tel quejkA()jk Mpour tout2[;]. En consequence, l'inegalite ci-dessus entra^ne

8t2[;];kn+1(t)n(t)k MZ

t t

0kn()n1()kd:

SoitK= supt2[;]k1(t)0(t)k. Une recurrence facile permet d'etablir que

8t2[;];kn+1(t)n(t)k K(Mjtt0j)nn!

On en deduit que la suite (n)n2Nverie le critere de Cauchy uniforme sur [;]. Elle converge donc vers une fonctioncontinue sur [;]. Comme [;] etait un intervalle arbitraire inclus dansI, on conclut que (n)n2Nconverge simplement vers une fonctioncontinue surItout entier.

En faisant tendrenvers l'inni dans (1.3), on constate queverie (1.2).Remarque.Le theoreme ci-dessus etablit l'existence et unicite d'une solution au probleme de

Cauchy pour lesequations dierentielles lineaires. On verra dans le chapitre 3 un resultat simi- laire pour des equations dierentielles beaucoup plus generales. Etudions plus precisement la structure de l'ensemble des solutions de (S) dans le cas homogene. Corollaire 1.Dans le casB= 0;l'ensembleEdes solutions de(S)est un s.e.v. de dimension ndeC1(I;Kn):Plus precisement, si(X1;;Xn)est une famille libre deKn; t02Ietila solution de(S)valantXient0alors(1;;n)est une base deE:

Ce resultat repose sur le lemme suivant :

Lemme.Soit(1;;n)une famille de solutions du systeme dierentiel(S)avecB= 0:quotesdbs_dbs35.pdfusesText_40

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