[PDF] Equations différentielles ordinaires Etudes qualitatives

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Equations dierentielles ordinaires

Etudes qualitatives

CoursM304 { L3 MFAD. Hulin

Universite Paris-Sud Octobre 2020

Table des matieres

1 Introduction 6

A Equations dierentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 B Probleme de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 C Unicite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 D Equations autonomes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 E Equations d'ordre superieur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2 Equations lineaires autonomes 15

A Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 B Resolution en dimension 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 C Exponentielle de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 D Resolution en dimension quelconque . . . . . . . . . . . . . . 18 E Equations non homogenes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 E.1 Resolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 E.2 Methode de variation de la constante a l'ordre 1 . . . 21
E.3 Variation de la constante pour une equation lineaire d'ordre superieur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
F Portraits de phase pour les equations lineaires en dimension quelconque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
G Portraits de phase lineaires en dimension 2 . . . . . . . . . . 26
G.1 Quelques rappels d'algebre lineaire . . . . . . . . . . . 26
G.2 Les portraits de phase dans le plan . . . . . . . . . . . 27

3 Le theoreme de Cauchy-Lipschitz 31

A Enonce du theoreme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
B Un exemple sans unicite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
C Cylindre de securite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
D Le theoreme de Cauchy-Lipschitz . . . . . . . . . . . . . . . . 35

E Appendice :

equations dierentielles et coordonnees polaires . . . . . . . . 40
E.1 Relevement de l'argument . . . . . . . . . . . . . . . . 40
E.2 Passer en polaires dans une equation dierentielle . . 41
2 3

4 Temps de vie, solutions maximales 43

A Uniformite du temps de vie des solutions . . . . . . . . . . . . 43
B Le lemme des bouts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
C Point limite pour une equation autonome . . . . . . . . . . . 46

5 Estimation et comparaison de solutions 48

A Lemme de Gronwall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
B Temps de vie des solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
C Dependance des solutions en fonction des conditions initiales 51
D Dependance par rapport au parametre . . . . . . . . . . . . . 54

6 Etudes qualitatives en dimension 1 56

A Regionnement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
B Sur-solutions et sous-solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
C Comparaison avec des sur/sous-solutions larges . . . . . . . . 62
D Entonnoirs, anti-entonnoirs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

7 Champs de vecteurs autonomes 68

A Flot d'un champ de vecteurs autonome . . . . . . . . . . . . . 68
B Orbites et portrait de phase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
C Les dierents types d'orbites . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

8 Etude qualitative des champs autonomes 74

A En dimension 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
B Integrales premieres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
C Zones piege . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
D Reconna^tre une orbite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
E Orbites periodiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

9 Points reguliers, points singuliers 84

A Au voisinage d'un point regulier . . . . . . . . . . . . . . . . 84
B Au voisinage d'un point singulier : linearisation . . . . . . . . 86
C Etude des cols en dimension 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

10 Le theoreme de Lyapunov 94

A Ensembles limites futurs et passes . . . . . . . . . . . . . . . 94
B Stabilite d'un point singulier . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
B.1 Stabilite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
B.2 Stabilite pour un champ lineaire . . . . . . . . . . . . 97
C Fonctions de Lyapunov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
D Puits et sources . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
E Bassin d'attraction d'un point singulier . . . . . . . . . . . . 103

4D. H. M304

11 La methode d'Euler 105

A Solution approchee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
B Deuxieme preuve de Cauchy-Lipschitz (local) . . . . . . . . . 107
C Le theoreme de Cauchy-Peano-Arzela . . . . . . . . . . . . . 108

12 Equations lineaires non autonomes 110

A Existence, unicite et temps de vie . . . . . . . . . . . . . . . . 110
B Methode de variation de la constante . . . . . . . . . . . . . . 111
B.1 Resolution (ou pas) de l'equation homogene . . . . . . 111
B.2 Variation de la constante . . . . . . . . . . . . . . . . 111
B.3 Equations lineaires d'ordre superieur . . . . . . . . . . 112
C Resolvante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
C.1 Denitions et proprietes de la resolvante . . . . . . . . 114
C.2 La variation de la constante avec la resolvante . . . . 115
D Le Wronskien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
5

Bibliographiesuccinte

Hirsch, Smale, DevaneyDierential Equations, Dynamical Systems, and an Introduction to Chaos DemaillyAnalyse numerique et equations dierentielles Gonnord, ToselCalcul dierentiel : themes d'analyse pour l'agregation

1.Introduction

L'objet de ce cours est l'etude qualitative d'une equation dierentielle : que peut-on dire de ses solutions lorsqu'on ne sait pas la resoudre explicite- ment (ce qui est la regle plut^ot que l'exception)? Les questions que l'on se posera concernent l'existence et l'unicite des so- lutions, l'etude de leur domaine de denition, le comportement des solutions au bornes du domaine, la stabilite des solutions par perturbations... Tout ceci constitue un premier pas vers un champ mathematique plus large : la theorie des systemes dynamiques. Dans ce chapitre introductif nous posons les premieres denitions, et formulons plus precisement les premieres questions a aborder. A

Equations di erentielles

On se donneJRun intervalle ouvert,URnun ouvert etf:J U!Rnune application continue. Une solution de l'equation dierentielle x

0(t) =f(t;x(t)), que l'on se permettra egalement de noter de facon abregee

x

0=f(t;x);(f)

est une applicationx:IJ!Ude classeC1, ouIJest un intervalle ouvert, et telle que pour toutt2Ion ait l'egalitex0(t) =f(t;x(t)). Exercice 1.1.Si la donneefest de classeCk(k1), toute solution de l'equation dierentielle (f) est de classeCk+1sur son intervalle de denition.

Interpretation geometrique :

Une applicationf:JU!Rnest aussi appelee champ de vecteurs.

Penser que

{ la premiere variablet2Jcorrespond au temps { la seconde variablex2Ucorrespond a la position. En chaque instantt2J, et en chaque pointx2URn, on dispose d'un vecteurf(t;x)2Rn. On peut s'imaginer que le vecteurf(t;x) indique le vent (vitesse et direction) a l'instanttet au pointx. Resoudre l'equation dierentielle (f), c'est determiner le comportementt!x(t) d'une particule 6

Equations dierentielles7

portee par le vent, et dont le vecteur vitesse en chaque instanttest donc x

0(t) =f(t;x(t)).

La trajectoire de cette particule estf(x(t)jt2I)g U, avecx:I!U solution de (f).x y zx y zx y zune photo deUau tempst...... puis au tempst0x(t)x(t0) une trajectoire Interessons nous maintenant au graphef(t;x(t))jt2Ig JUd'une solution. L'applicationf:JU!Rnnous donne, en chaque point (t;x)2JU, un \element de contact" : c'est la droite ane deRRnpassant par (t;x) et de vecteur directeur (1;f(t;x))2RRn. Une applicationx:IJ!URnde classeC1est solution de (f) si et seulement si son graphef(t;x(t)jt2I)gadmet pour tangente, en chaque point (t;x(t)) (t2I), l'element de contact en ce point. Voyons un exemple. Exemple 1.2.Le cas de la dimension 1 (equation dierentielle scalaire) est le plus propice aux dessins. Interessons-nous pour xer les idees a l'equation dierentielle scalaire x

0=x(xt) =f(t;x):

Nous dessinons ci-contre l'isocline

I

0=f(t;x)jf(t;x) = 0g

(voir le paragraphe 6.A : ici, il s'agit de la reunion de la diagonale et de l'axe des abscisses), et nous indi- quons les elements de contact.

Avec un peu d'imagination, on voit

se dessiner les graphes des solutions!

8D. H. M304

L'etude qualitative des equations dierentielles scalaires, pour lesquelles on dispose d'outils speciques (theoremes de comparaison), fera l'objet du chapitre 6. B

Probl emede Cauc hy

Dans ce cours nous interesserons essentiellement au probleme de Cauchy.

Denition 1.3.Probleme de Cauchy

Soitf:JU!Rnune application continue. Resoudre l'equation dierentielle x

0=f(t;x) (f)avec condition initiale (ou condition de Cauchy)

(t0;x0)2JU c'est chercher toutes les solutionsx:IJ!Ude(f)telles quet02Iet x(t0) =x0, ouIJest un sous-intervalle ouvert inconnu. La plupart du temps, on ne saura pas resoudre explicitement l'equation dierentielle (f). On cherchera alors a en mener l'etude qualitative, c'est- a-dire a obtenir le plus de renseignements possible sur les solutions de (f). On commencera bien s^ur par se poser la question de l'existence, puis de l'unicite des solutions au probleme de Cauchy. Pour toute donnee continuef, tout probleme de Cauchy admet une solution.

Theoreme.

(de Cauc hy-Peano-Arzela11.11) Soitf:JU!Rncontinue. Pour toute condition initiale(t0;x0)2JU, le probleme de Cauchy correspondant pour(f)possede des solutions. C

Unicit e

Nous nous interesserons pour l'essentiel aux equations dierentiellesx0= f(t;x) ou l'application continuefest susament reguliere, par exemple de classeC1. Dans ce cas, nous verrons qu'il y a non seulement existence, mais egalement unicite au probleme de Cauchy. C'est ce qu'arme le theoreme de Cauchy-Lipschitz. Nous commencons par denir l'unicite au probleme de Cauchy, puis nous donnons un premier enonce de ce theoreme fondamental. La restriction a un sous-intervalle ouvert contenantt0d'une solution au probleme de Cauchy de condition initiale (t0;x0) est encore une solution au m^eme probleme de Cauchy. Pour autant, nous ne souhaitons pas considerer ces deux solutions comme dierentes! Cette constatation nous amene a formuler la denition suivante.

Unicite9

Denition 1.4.Unicite au probleme de Cauchy

Soitf:JURRn!Rnune application continue. On dit qu'il y a unicite au probleme de Cauchy pour(f)lorsque deux solutions de l'equation dierentiellex0=f(t;x), de m^eme condition initiale(t0;x0)2JU, concident sur leur domaine commun de denition. En d'autres termes, on a unicite au probleme de Cauchy lorsque pour deux solutions x

1:I1J!Uetx2:I2J!U

de (f) denies sur des intervalles ouvertsI1etI2contenantt0et telles que x

1(t0) =x2(t0), alors les restrictions

x

1jI1\I2=x2jI1\I2

de ces solutions a l'intersectionI1\I2sont egales. On a dit que, pourfcontinue, tout probleme de Cauchy admet des solutions. Sifest plus reguliere, par exemple sifest de classeC1(cette hypothese nous sura pour traiter la plupart des exemples interessants), on aura de plus unicite au probleme de Cauchy. C'est ce qu'arme le theoreme de Cauchy- Lipschitz, que nous citons un peu plus bas. On refere a 3.6 pour l'enonce du theoreme de Cauchy-Lipschitz sous une hypothese de regularite moindre que Cquotesdbs_dbs35.pdfusesText_40

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