[PDF] Notes et exercices du cours dÉquations Différentielles

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Quelques notions du cours L3, Équations Différentielles

Notes et exercices du cours d'Équa

Notes et exercices du cours d"Équations

Différentielles Licence 3 mathématiques

Ce manuscrit rassemble d"une manière simplifiée quelques notions de bases du module d"équations différentielles enseigné en 3ème année licence mathé- matiques. Il se partage équitablement en deux entrainements : Un entrainement basé sur les notions abstraites qui aide le lecteur à utiliser les théorèmes fondamentaux des équations différentielles. Le deuxième entrainement rentre dans le cadre de la théorie quantitative qui aide le lecteur à pouvoir résoudre explicitement et d"une manière arith-

métique quelques équations différentielles intégrables en présentant avant la méthode

de résolution.

Table des matières

Introduction3

1 Généralités

4

1.1 Équations différentielles scalaires du 1

erordre. . . . . . . . . . . . . . . 4

1.1.1 Problème de Cauchy - Cas scalaire

6

1.1.1.1 Théorèmes de Cauchy-Lipschitz cas scalaire

8

1.1.2 Sous et sur-solution

9

1.1.3 Lemme de Gronwall

11

1.1.4 Résolution explicite d"une équation différentielle linéaire scalaire

11

1.1.5 Résolution de quelques équations

12

1.1.5.1 Équation à variables séparables

13

1.1.5.2 Équation de Riccati à coefficients constants

14

1.1.5.2.a Cas où>0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .14

1.1.5.2.b Cas où = 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .15

1.1.5.2.c Cas où<0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .15

1.1.5.3 Équation de Bernoulli

16

2 Équations différentielles du 1

erordre18

2.1 Théorème de Cauchy-Lipschitz

19

2.2 Existence locale et unicité

24

2.3 Solution maximale

25

2.4 Dépendance par rapport aux conditions initiales

26
1 Quelques notions du cours L3, Équations différentielles

2.5 Dépendance par rapport aux paramètres

28

2.6 Équations différentielles d"ordre supérieur

29

3 Systèmes linéaires

32

3.1 Exponentiel d"une matrice

32

3.2 Systèmes linéaires homogènes à coefficients constants

35

3.3 Systèmes linéaires non-homogènes

38

3.4 Résolution de quelques systèmes

38

3.4.1 Résolution d"un système linéaire homogène à coefficients constants

38

3.4.2 Résolution d"un système linéaire non homogène

41

3.4.3 Résolution d"équations linéaires scalaires d"ordre supérieur

42

4 Flot, champ de vecteurs et espace de phases

45

4.1 Flot d"un système dynamique

45

4.2 Champ de vecteurs et origine

46

4.3 Espace de phases

47

5 Stabilité des systèmes linèaires

49

5.1 Stabilité et stabilité exponentielle- Cas générale

49

5.1.1 Étude de stabilité du cas linéaire scalaire

50

5.2 Stabilité des systèmes linéaire

53

5.2.1 Méthode de résolution

54

5.2.2 Exemple d"application

56

5.2.3 Sous-espace stable et instable

57

6 Exercices

59
2

Introduction

Lorsqu"on connait la vitesse d"une voiture sur une route droite on peut connaitre sa position à un instant donné une fois que l"on connait sa position initiale. En effet, si la vitesse est constante et égale àvalors en posantpla position de la voiture ettle temps on obtient la formule suivante dpdt =v;(1) qui est une équation différentielle. Si à un instantt0la voiture est dans la positionp(t0)(condition initiale) alors la positionp(T)de la voiture à un instantT > t0est donnée par p(T) =v(Tt0) +p(t0): On a donc "intégré" l"équation différentielle ( 1 ), soit Z T t 0dpdt dt=Z T t

0vdt()p(T)p(t0) =v(Tt0);

cela vient du fait que la fonctionpest la primitive dedpdt et du fait quevest supposée constante. Les équations différentielles permettent l"étude des systèmes physiques, biologiques, économiques,...,etc. Dans ce qui suit la notation ddt xou_xdésigne la dérivéx0par rapport

à la variablet.

3

Chapitre 1

Généralités

1.1 Équations différentielles scalaires du 1

erordre On appelle équation différentielle scalaire du 1 erordre toute équation de la forme ddt x=f(t;x);(1.1) avect2IoùIest un intervalle de?.f:??!?est une fonction où?est l"ensemble ?ou l"ensemble?. La fonctionx(t)est la fonction inconnue à déterminer. Cette dernière équation est dite "scalaire" car l"image de la fonctionfest dans?. Rappelons à ce titre qu"en algèbre l"espace vectoriel défini par le produit cartésien?p avecp2?est un?espace vectoriel; ses éléments sont appelés "vecteurs" et les élé- ments de?sont appelés "scalaires". On renvoie donc au cours d"algèbre pour la termi- nologie du mot "scalaire". On va se réduire dans la suite à l"ensemble des scalaires réels, c"est à dire :?=?. Définition 1.On dit que la fonctionx(t)définie sur un intervalleIde?et à valeurs dans?est solution de l"équation différentielle (1.1) surIsi elle est dérivable surIet si elle vérifie

8t2I:ddt

x=f(t;x): 4 Quelques notions du cours L3, Équations différentielles

L"équation différentielle (

1.1 ) est dite du premier ordre car on dérive une fois par rapport à la variablet;(ddt x(t)).

Exemple 2.L"équation suivante

_x= sin(t+x) est une équation différentielle scalaire du premier ordre et dans ce cas f(t;x) = sin(t+x):

L"équation différentielle (

1.1 ) est diteautonomesi lorsque on remplacex(t)par la variablezdans la fonctionfalorsfne dépend plus de la variablet.

Exemple 3.L"équation suivante

_x= sin(t+x); est une équation différentielle scalaire du premier ordre non autonome, par contre l"équa- tion différentielle suivante _x= sin(x); est une équation différentielle scalaire du premier ordre autonome.

L"équation différentielle (

1.1 ) est ditelinéaire scalaire avec second membreou linéaire scalaire non-homogènesi elle s"écrit sous la forme _x=a(t)x+b(t); oùa:?!?etb:?!?son deux fonctions. L"équation différentielle (1.1) est donc ditelinéaire scalaire sans second membreoulinéaire scalaire homogènesi elle s"écrit sous la forme _x=a(t)x: Une équation différentielle linéaire scalaire autonome avec ou sans second membre s"appelle en généraléquation différentielle linéaire à coefficients constants. 5 Quelques notions du cours L3, Équations différentielles La résolution des équations différentielles n"est pas toujours triviale. Pour cette rai- son on s"intéresse à des résultats d"existence et d"unicité.

1.1.1 Problème de Cauchy - Cas scalaire

On appelle problème de Cauchy la donnée d"une équation différentielle et d"une condition initiale (P:C)8 :ddt x=f(t;x); x(t0) =x0; oùx02?est la condition initiale de la solutionx(t)au tempst0. Problème: SoitIun intervalle de?contenantt0. Est ce que le problème de Cauchy (P.C) admet une solution définie surI. Contre exemple 4.On considère le problème de Cauchy suivant (R)8 :ddt x=x2; x(0) = 1: On cherche a savoir si ce problème admet une solution sur l"intervalle[0;1]. L"équation

différentielle qui définit le problème de Cauchy précédent est une équation autonome.

La solution constante nulle de l"équation différentielle ddt x=x2n"est pas une solution

au problème de Cauchy (R) précédent car elle ne vérifie pas l"hypothèse de la condition

initiale. Pour résoudre le problème, on intègre comme suit _x(t)x

2(t)= 1()Z

s

0_x(t)x

2(t)dt=Z

s 0 1dt: Sachant que la condition initiale est donnée parx(0) = 1alors [1x(t)]s0=s() 1x(s)+ 1 =s()x(s) =11s: La fonctionX(s)est définie pour touts2?=f1g, elle est continue et dérivable en 6 Quelques notions du cours L3, Équations différentielles particulier sur[0;1[. Commes!<1on ax(s)!+1cela implique quex(s)n"est pas définie en1. Donc la fonctionxest définie uniquement sur[0;1[(Voir figure4.1 ) et le

problème de Cauchy (R) précédent n"admet pas de solution sur[0;1]tout entier.FIGURE1.1 - On voit dans cette figure le graphe de la solutionx(t)du problème de

Cauchy (R), la solution est tracée sur[0;z]avecz1. Dans le contre exemple précédent on a vu un exemple de problème de Cauchy qui n"admet pas de solution. On va voir dans ce qui suit des théorèmes et des propositions qui assurent l"existence de solutions sous certaines conditions. Pour cela on définit dans la définition suivante la notion de fonction lipschitzienne. Définition 5 (Fonction lipschitzienne- Cas scalaire).SoitIun intervalle de?. Une fonctionf:I?!?est dite lipschitzienne par rapport à la deuxième variable uniformément surIs"il existe une constante >0tel que jf(t;x)f(t;y)j jxyj;8t2I;8(x;y)2??: SoientIetDdeux intervalles de?, on note dans ce qui suitC(ID;?)l"ensemble des fonctions continues deIDdans?. 7 Quelques notions du cours L3, Équations différentielles

1.1.1.1 Théorèmes de Cauchy-Lipschitz cas scalaire

Le théorème suivant est démontré dans le cas général dans la section 2.1 Théorèm 6.[Théorème de Cauchy-Lipschitz cas scalaire] Soitf2C(I?;?). On consi- dère le problème de Cauchy (P:C)8 :ddt x=f(t;x); x(t0) =x0: avect02I. Supposons quefest lipschitzienne par rapport à la deuxième variable unifor- mément surI. Alors pour toutx0dans?et pour toutt0dansIle problème de Cauchy (P.C) admet une unique solution définie surI. Le théorème de Cauchy-Lipschitz précédent affirme que lorsque la fonctionfest lipschitzienne par rapport à la deuxième variable uniformément surIalors le problème de Cauchy admet forcément une solution définie surItout entier. Revenant au contre exemple 4 , on déduit que la fonctionf(z) =z2n"est pas lipschitzienne par rapport à

la deuxième variable uniformément sur[0;1]. Car si elle y était alors pa le théorème de

Cauchy-Lipschitz le problème (R) admettra une solution surI= [0;1]tout entier ce qui n"est pas le cas. Proposition 7 (Régularité).Sifest de classeCkaveck2?sur un intervalleIalors la solutionx(t)si elle existe est de classeCk+1surI. Démonstration.Par l"absurde, supposons quefest de classeCksurIet quexn"est pas de classeCk. Donc il existel < ktel quexest de classeClmais pas de classeCl+1. La fonctionf(t;x)est une composée des deux fonctionsfetxet donc est de classeCl; en effetf2ClcarCkCl. La focntiondldt lf(t;x)est donc continue. Or, d l+1dt l+1x(t) =dldt lf(t;x)car_x=f(t;x). On déduit quexest de classeCl+1. Contradiction avec l"hypoth `se du départ. Doncxest de classeCk+1.8 Quelques notions du cours L3, Équations différentielles

Théorèm 8.[Théorème de Cauchy-Lipschitz cas linéaire scalaire] Soit l"équation différen-

tielle linéaire scalaire avec second membre ddt x=a(t)x+b(t): Supposons quea(t)etb(t)sont des fonctions continues d"un intervalleI?dans?alors pour toutx0dans?et pour toutt0dansIle problème de Cauchy 8< :ddt x=a(t)x+b(t); x(t0) =x0: admet une solution surI.

La section

1.1.4 donne une preuve du théorème précèdent.

1.1.2 Sous et sur-solution

Soitf:??!?une fonction de classeC1sur un intervalle[a;b]?. On considère l"équation différentielle scalaire et non-autonome suivante : _x=f(t;x)(1.2)

Par le théorème de Cauchy-Lipschitz (

6 ), la différentiabilité defimplique que pour chaque condition initialexa2?, il existe une unique solutionx(t)vérifiantx(a) =xa définit et continue sur[a;b], on définie donc dans la suite la notion de sur et sous- solution : Définition 9 (Sous et sur-solution).Une fonction de classeC1sur[a;b]est dite une sous-solutionde l"équation (1.2) sur[a;b]si _ (t)< f(t; (t));8t2[a;b]: 9 Quelques notions du cours L3, Équations différentielles elle est dite unesur-solutionde l"équation (1.2) sur[a;b]si _ (t)> f(t; (t));8t2[a;b]: Théorèm 10 (Sur-solution).Soitxune solution de l"équation(1.2)sur[a;b]de condition initialex(a) =xa2?. Supposons qu"il existe une sous-solution de l"équation(1.2)de classeC1sur[a;b]vérifiant (a)< xa, Alors : (t)< x(t);8t2[a;b]: Démonstration.Supposons que est une sous-solution de l"équation (1.2) sur[a;b], et que (a)< xa. Par continuité il existe > atel que (t)< x(t);8t2[a;a+]:

Posons

T = sup tafast; (s)< x(s)g: Pour montrer le théorème on doit montrer queTb. Par l"absurde supposons que T < balors _ (t)< f(t; (t));8t2[a;T[:

Par définitionTvérifie (T) =x(T). On a

_ (T)< f(T; (T)) =f(T;x(T)) = _x(T): Donc il existea < s < Tavecsassez proche deTtel que (s)> x(s). Contradiction

avec la définition deT. DoncTb.De même on a la théorème suivant concernant les sur-solutions

Théorèm 11 (Sous-solution).Soitxune solution de l"équation(1.2)de l"équation(1.2) sur[a;b]de condition initialex(a) =xa2?. Supposons qu"il existe une sur-solution de 10 Quelques notions du cours L3, Équations différentielles classeC1sur[a;b]vérifiant (a)> xa, Alors : (t)> x(t);8t2[a;b]: Démonstration.Même méthode de démonstration utilisée dans la preuve du théorème 10 .1.1.3 Lemme de Gronwall Le lemme de Gronwall suivant permet d"avoir une estimation du compretement d"une solution du problème de Cauchy qui satisfait une certaine condition. Lemme 12.Soitf:I?!?une fonction lipschitzienne par rapport à la deuxième variable uniformément surI. Supposons qu"il existea >0etb >0tels que jf(z;y)j< ajyj+b;8(z;y)2??:

Alors toute solutionx:I!?du problème de Cauchy

8

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