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Chapitre 8 ANOVA `a deux facteurs fixes
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LIGNES DIRECTRICES SUR LA BIOÉQUIVALENCE DES
Les paramètres pharmacocinétiques considérés (par exemple AUC Cmax
Analyse de la variance ANOVA
Ex : niveaux A B
Une introduction au langage R
TEST ANOVA ET REGRESSION LINEAIRE AVEC R Anova à 1 facteur ... R dispose d'une aide en ligne très complète et qui vous sera très utile car la plupart ...
TP no 8 : ANOVA à 2 facteurs
L'effet du facteur citernes est-il le même quelque soit la modalité du facteur lignes. i.e. il n'y a pas d'interaction ? Pour ce faire
Exemples dAnalyses de Variance avec R
Aug 25 2002 usuelles (t-tests
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Ainsi le test ELISA (Enzyme-Linked Immunosorbent Assay) est un principe de homogénéiser les variances avant de réaliser l'ANOVA ou de conduire une ...
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puissance d'une ANOVA à 1 facteur : Contraste» à la page 12 (test de contraste et différences la ligne pour indiquer la taille d'effet globale estimée.
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Chapitre3
ANOVA a un facteur
Ce chapitre introduit le contexte, la notation et les propri´et´es probalistes d'une analyse de
la variance `a un facteur.3.1 Introduction et notation
Consid´eronsIpopulations ind´ependantes. Pouri= 1;2;···;I, on dispose d'un ´echantillon
{Yi1;Yi2;···;Yini}de tailleniissu d'une loi N(i;2). Notons que2ne varie pas d'un´echantillon `a l'autre. On fait une hypoth`ese d'´egalit´e de variance . SoitN=n1+n2+···+nI
la taille totale de l'ensemble des ´echantillons. `A partir de ces ´echantillons, on voudrait tester les hypoth`eses: H0:1=2=···=I
H1: il existei̸=i′tels quei̸=i′
Pouri= 1;2;···;I, posons la moyenne ´echantillonale Yi:=1 n in i∑ j=1Y ijOn a alors
¯Yi:∼N(i;2=ni).
1La moyenne totale est d´efinie par
Y::=1 N I i=1n i∑ j=1Y ij=1 N I i=1n i¯Yi:On a alors
¯Y::∼N(;2=N) o`uest la moyenne de{1;2;···;I}pond´er´ee par{n1;n2;···;nI}.
=1 N I i=1n iiSousH0,est la valeur commune desi.
3.2 Decomposition des carres
Consid´erons la somme suivante
SST = I i=1n i∑ j=1(Yij-¯Y::)2 C'est la somme des carr´es des ´ecarts des observationsYijpar rapport `a la moyenne globaleY::. Elle mesure la variabilit´e totale des observations. Son nomSSTfait r´ef´erence `aSum of
Squares Total.
La d´ecomposition des carr´es est une technique tr`es importante en ANOVA. Elle consiste `a d´ecomposerSSTen deux termes ind´ependantsSSWouSum of Squares Within (samples) etSSBouSum of Squares Between (samples).LaSSWest d´efinie par:
SSW=I∑
i=1n i∑ j=1(Yij-¯Yi:)2=I∑ i=1(ni-1)S2i; o`u S 2i=1 n i-1n i∑ j=1(Yij-¯Yi:)2 est la variance ´echantillonale du traitementi. Le termeSSWest ainsi une somme de termesqui mesurent chacun la variabilit´e `a l'int´erieur d'un ´echantillon. Or une hypoth´ese cruciale
2du mod`ele d'ANOVA est l'homog´en´eit´e des variances. Ce terme est li´e alors `a la mesure de
cette variabilit´e commune. Ceci sera confirm´e par les calculs plus tard.LaSSBest d´efinie par:
SSB=I∑
i=1n i(¯Yi:-¯Y::)2Elle mesure l'´ecart entre la moyenne ´echantillonale et la moyenne globale. Si ces ´ecarts sont
consid´erable, on a tendance `a favoriser l'hypoth`ese alternative, c'est-`a-dire que les moyennes
des traitements sont diff´erents.Proposition3.1
La decomposition suivante est toujours vraie,
SST=SSB+SSW
En effet, on a:
SST=I∑
i=1n i∑ j=1(Yij-¯Y::)2I∑
i=1n i∑ j=1((Yij-¯Yi:) + (¯Yi:-¯Y::))2I∑
i=1n i∑ j=1(Yij-¯Yi:)2+I∑ i=1n i∑ j=1(¯Yi:-¯Y::)2+ 2I∑ i=1n i∑ j=1(Yij-¯Yi:)(¯Yi:-¯Y::) Or,I∑
i=1n i∑ i=1{(¯Yi:-¯Y::)n i∑ j=1(Yij-¯Yi:)}= 0 car ∑nij=1(Yij-¯Yi:) = 0 pouri= 1;2;···;I. doncSST=I∑
i=1n i∑ j=1(Yij-¯Yi:)2+I∑ i=1n i∑ j=1(¯Yi:-¯Y::)2I∑
i=1n i∑ j=1(Yij-¯Yi:)2+I∑ i=1n i(¯Yi:-¯Y::)2 =SSB+SSW 3Cette d´ecomposition est semblable `a celle obtenue en r´egression o`u la somme de carr´es totale
est d´ecompos´e par une somme de carr´es expliqu´ee par la r´egression plus une somme de carr´es
r´esiduelle.Proposition3.2
Sous les hypotheses de normalite et d'egalite des variances, on a SSB2∼2I-1()
ou=∑Ii=1ni(i-)2 n i¯Yi:pouri= 1;2;···;I.On a alors
Z n ii;2) et¯Y::=1 N I n iZiOn en d´eduit que
SSB=I∑
i=1Z2i-(1 N I n iZi)2 I i=1(1-ni N )Z2i-2∑ n n j N ZiZj SSBs'exprime alors comme une forme quadratique enZ= (Z1;Z2;···;ZI)T. La matriceAassoci´ee `a cette forme quadratique s'exprime sous la formeA=II-1 N To`u n n n I)T.CalculonsA2. On a:
A2= (II-1
NT)×(II-1
N T) =II-1 N T-1 N T+1 N 2TT n n i=N. Donc les deux derniers termes de la partie droite de la derni`ere ´equation s'annulent et on aA2=A.quotesdbs_dbs4.pdfusesText_8[PDF] somme des carrés des écarts formule
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