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LESANALYSES DE VARIANCE (ANOVA)

COMPARAISON DE PLUSIEURS MOYENNES OBSERVÉES

Benchikh Tawfik

Faculté de Médecine, UDL, SBA

1

èreannée Médecine

23 Mars 2022

BENCHIKHTAWFIKBIOSTATISTIQUE

PLAN DU COURS1ANALYSE DE VARIANCE À UN FACTEUR2EXERCICE

BENCHIKHTAWFIKBIOSTATISTIQUE

OBJECTIF DE LAANOVALa problématique de l"ANOVAconsiste à utiliser les moyennes observées sur les échantillons pour conclure à des différences

significatives sur les moyennes dans les sous-populations.Il s"agit d"un test statistique permettant de comparer les moyennes

de plusieurs variables aléatoiresindépendantes gaussiennes de même variance. OBJECTIF DE L"ANOVAL"objectif deANOVA:étudier l"effet des variables qualitatives sur

une variable quantitative.On applique l"ANOVA (des modèles factoriels) quand on dispose:d"une variable quantitative à expliquer,

d"une ou de plusieurs variables qualitatives explicatives, appelées facteurs. EXEMPLE21 candidats, 3 examinateurs (resp. 6,8 et 7 étudiants)

ExaminateurABC

Moyenne121314

Quelles est l""effet d"examinateur" sur les notes des étudiants ? TERMINOLOGIE1facteur(variable qualitative): prend un nombre fini de modalités (une classe). Il est totalement contrôlé( fixées par l"expérimentateur).Exemple: facteur "examinateur".

2niveau: les différentes valeurs prises par un facteur (les modalités).Exemple: niveaux A, B, C.

3test de l"effet d"un facteur: tester si les moyennes des populations

sont égales.4La variable étudiée:Y, à valeurs numériques. Nous l"appelons la réponse (response). Dans l"exemple:Y=(Note). NOTATIONS ET LESDONNÉES1Pour les observations nous utilisons deux indices: le premier indice indique le numéro du groupe dans la population (exemple: "Examinateur"),le second indice indique le numéro de l"observation dans

l"échantillon.2Pour le premier indice, nous utilisonsi(ou encorei0,i00,i1,i2).3Pour le second indice, nous utilisonsj(ou encorej0,j00,j1,j2).

NOTATIONS ET LES DONNÉES1Ainsi les observations sont en général notées par: y

ij;i=1;:::;ketj=1;:::;nioùiest l"indice du groupe (où de l"échantillon) définie par le facteur

explicatif (niveau), etI=fi=1;:::;kg(le nombre d"échantillons),n

ile nombre d"expériences dans le groupei(taille des échantillons).2Définition:Lorsque les échantillons sont de même taille, nous

disons que l"expérience est équilibrée.3Si les tailles des échantillons sont différentes, alors elles sont

notées comme précedemment par:ni,oùi=1;:::;k.

NOTATIONS ET LESDONNÉES:RÉSUMÉ1Un seul facteurF2kniveaux3kéchantillons de tailles respectivesn1,...,nk.4Effectif totaln=kX

i=1n i.5A chaque expérience, on mesure la valeur de la variableY.

DONNÉES1Données sous forme d"un tableau:

Niveau (Population)Nombre d"observation (Effectif)Valeurs de Y 1n 1y

11;y12;:::;y1n12n

2y

21;y22;:::;y2n2.

kn ky k1;yk2;:::;yknk LESDONNÉES1Moyennes empiriques (moyenne dans chaque classe):

Pour niveauxi:Y

i:=n iX j=1Y ijn i.2Moyenne globale Y ::=kX i=1n iX j=1Y ij.Y ::=1n k X i=1n iX j=1Y ij.

CONDITIONS DE TEST1leskéchantillons sont indépendants.2Lesyijsont des réalisations de la v.a.Yij N(mi;2).3Y

ijetYtsindépendantes pouri6=tetj6=s.4L"écart-type (théorique) est le même pour tous les niveaux.

5La moyenne (théorique) peut varier avec le niveau.

6On veut savoir si les moyennesmisont toutes égales ou non.

ESTIMATION DES PARAMÈTRESSous l"hypothèse de normalité et d"indépendance des échantillons,

1Y i:est un estimateur sans biais demiet mi=Y i: N(mi;2n i):2L"estimateur de2est: S

02n=1nkk

X i=1n iX j=1(YijY i:)2: TEST DE COMPARAISON DES MOYENNESL"ANOVA consiste à construire le test d"hypothèse suivant: 8< :H

0:toutes les moyennes sont identiques

H

1:au moins une des moyennes est différente des autres.

8 :H

0:m1=m2=:::=mk=m

H

1:9i;j2 f1;:::;kgtels quemi6=mj:

TEST DE COMPARAISON DES MOYENNESLa variabilité totale est: kX i=1n iX j=1(YijY ::)2:On peut écrire:YijY ::= (YijY i:) + (Y i:Y ::):et on obtient: k X i=1n iX j=1(YijY ::)2=kX i=1n iX j=1(YijY i:)2+kX i=1n i(Y i:Y ::)2Variabilité totale = variabilité résiduelle + variabilité due au modèle:SST=SSR+SSL:SSL est la somme des carrés inter-groupes et SSR est la somme des carrés intra-groupes. TEST DE COMPARAISON DES MOYENNES: CALCULSOn obtient:

SSL=SCR=kX

i=1n i(Y i:)2n(Y ::)2;

SSR=SCF=kX

i=1n iX j=1(Yij)2kX i=1n i(Y j:)2; TEST DE COMPARAISON DES MOYENNESPour tester l"hypothèseH0on utilise la statistique:

Z=SSL=(k1)SSR=(nk)F(k1;nk) (sousH0)

est une réalisation d"une variable aléatoire F qui suit une loi de Fisher à(n1)degrés de liberté au numérateur et(nk)degrés de liberté au dénominateur.Pour un risquefixé,la zone d"acceptation est:[0;f(k1;nk;1)].

TABLEAU D"ANALYSE DE VARIANCE: LOGICIELLe tableau de variation donne un résumé des calculs effectués pour

l"analyse de variance.SourceDégresSommeCarrésFpvaluede variationde libertédes carrésmoyens

Expliqué (facteur)k1SLL(SCF)SLL=(k1) =CMFF=CMF=CMRRésidusnkSSR(SCR)SSR=(nk) =CMRTotaln1SST(SCT)

TEST DE COMPARAISON DES MOYENNES: EXEMPLEY

0:pas d"effet examinateur sur la notation.H

0:m1=m2=m3=mcontreH1:9i6=jtel quemi6=mj.On obtientSSL=12:95etSSR=98.Doncz=SSL=(31)SSR=(213)=1:19.La zone d"acceptation est[0;f(k1;nk;1)] = [0;3:55].DoncH0est accepter: les examinateurs ont le même système de

notation.

TEST DE COMPARAISON DES MOYENNES: REMARQUELe rejet de l"hypothèse d"égalité des moyennes ne signifie pas que

tous lesmisont différents entre eux.On cherche souvent à tester l"égalité entre deux moyennes:

H

0:mh=mjcontreH1:mh6=mj:On utilise la statistique de test:

T=jY h:Y j:jq SSR nkq1 n h+1n j (tnk: loi de Student ànkdegrés de liberté.)La zone d"acceptation[tnk;1=2;tnk;1=2]. ANOVA: EXERCICEOn veut étudier l"effet de deux médicaments sur le taux de

lymphocytes d"animaux de laboratoires.On construit un plan factoriel dans lequel il y a trois groupes

d"animaux d"effctifs 10 animaux par groupe.On garde un des groupes comme témoin et l"on administre les

médicaments A et B aux deux autres groupes.Groupe témoin272;193;432259;386;349;320;247;260;478Groupe traité par A468;383;375;398;534;451;474;278;255;528Groupe traité par B368;290;325;298;314;350;378;321;275;401

EXERCICELes données correspondent au modèle d"ANOVA: une variable de groupe, une variable continue dont on veut comparer les moyennes.Indications numériques : P jx1;j=3196,P jx2;j=4094, P jx3;j=3320(somme de chaque ligne). EXERCICELa taille globale des 3 échantillon est: (A)10(B)20(C)30(D)40(E)60.La moyenne globale est : (A)256:67(B)353:34(C)415:33(D)435:96(E)563:75.la variabilité expliqué SSL est:

EXERCICEQuelle sont les degrés de liberté:

(A) (2;30) (B) (2;27) (C) (3;27) (D)(3;30) (E) (29;2).Quelle est la valeurs de la statistique calculée F sachant que

SSR=176130:(A)3:63(B)2:42(C)4:003(D)2:689(E)6:84la valeurs de la statistique théorique F:(niveau de confiance=95%)

(A)2:96(B)2:922(C)3:354(D)4:61(E)12:59A quoi correspond le risque alpha ? (A.) à la probabilité de conclure

à une différence significative. (B.) à la probabilité de conclure à tort à une absence de différence significative. (C.) à la probabilité de ne pas conclure H1 alors que H1 est vraie. (D.) à la probabilité d"accepter H0 alors que H0 est vraie.(E.) à la probabilité de rejeter H0 alors que H0 est vraie.quotesdbs_dbs16.pdfusesText_22

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