[PDF] FICHE METHODE sur les FONCTION INVERSE I) A quoi sert la

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FICHE METHODE sur les FONCTION INVERSE

a) Exemples : ?. On partage équitablement 1 million d "euros entre x personnes ! Combien chacun aura t-il en fonction de x ? f(x) = 1 x ?. Il doit parcourir 100 km ! Combien de temps mettra t-il s"il va à la vitesse de x km.h -1 ? f(x) = 100 x .

?. Il y a une réserve de 100 litres d "eau, et actuellement 10 personnes, mais il arrive 2 personnes

par heure ! Quelle sera la part d "eau par personne dans t heures ? f(t) = 100

10 + 2t

?. Un rectangle a une aire de 100m² et une longueur de x mètres Que vaut sa largeur en fonction de sa longueur ? : f(x) = 100 x ?. Il y a 8 filles et 2 garçons et il arrive un couple ( garçon, fille) par minute ! Quel sera le pourcentage de fille dans x minutes ? f(x) = 8 + x

10 +2x

´ 100 = 100x + 800

2x +10 .

b) Remarques :

Le monde est en perpétuelle évolution et les fonctions numériques servent à rendre compte de

ces évolutions. Les évolutions que l"on constate dans la réalité ne sont pas toutes de même nature

( la vitesse de croissance d"un arbre, la position d"une pierre en chute libre,...), à une certaine

" façon » d"évoluer correspond un certain type de fonction, de la même façon que les fonctions

affines ou carrées permettent de décrire une " sorte » d"évolution, certains phénomène peuvent-

être décrits grâce à la fonction inverse, fonction dont il faut connaître les propriétés principales !

Définition 1 : ( fonction inverse )

La fonction inverse associe à tous nombre réel non nul x ÎIR-{0}, l"inverse 1 x de ce nombre

On note f : ???

IR-{0}

¾¾® IR

x

½¾¾® 1

x ou encore: f(x) = 1 x pour xÎ IR-{0} . 0 n"a pas d"inverse dans IR

Exemples : ? .L"inverse de 3 est : 1

3 » 0,33 à 10 -2 près ? .L"inverse de -2 est : 1 -2 = - 0,5. ?.L"inverse de 2 3 est : 3 2 = 1,5.

I) A quoi sert la fonction INVERSE ?

II) Qu"est ce que la fonction inverse ?

x y -10-8-6-4-20246810 -10 -5 0 5 10

La fonction inverse a des propriétés caractéristiques en rapport avec les phénomènes naturels

qu"elle permet de décrire. Définition 2 : GRAPHIQUE DE LA FONCTION INVERSE . La courbe représentative de la fonction inverse est une hyperbole d"équation y = 1 x . Voici un tableau de valeurs de la fonction inverse : On place dans un repère les points de coordonnées (x ; y = f(x) ) et on obtient le graphique partiel de la fonction inverse ci dessous. ( on joint les points par une courbe intuitive ) . Propriété 1 : IMPARITE DE LA FONCTION INVERSE La fonction inverse est telle que pour tout nombre réel x Î IR-{0} on a 1 -x = - 1 x

( l"inverse de l"opposé d"un nombre non nul est égal a l"opposé de l"inverse de ce nombre )

On dit alors que la fonction carrée est " impaire ». Une conséquence est que la courbe de la fonction carrée est symétrique par rapport à O .

Preuve : 1

-x = 1 -1´x = 1 -1 ´ 1 x = -1´1 x = - 1 x

C.Q.F.D.

VALEURS de f(x) = 1

x

VALEURS de x

III) Propriétés de la fonction inverse

x -100 -10 -8 -5 - 4 -2 -1 -0,5 -0,25 -0,125 - 0,1 0 1 x -0,01 -0,1 -0,125 -0,2 -0,25 -0,5 -1 -2 -4 -8 -10 x 0 0,1 0,125 0,25 0,5 1 2 4 5 8 10 100 1 x 10 8 4 2 1 0,5 0,25 0,2 0,125 0,1 0,01 " La courbe est une hyperbole ( en deux parties ) »

Exemples : ? 1

-3 = - 1 3 ? 1 -10 = - 1

10 ? 1

-2 = - 12 .

Propriété 2 :

SENS DE VARIATION DE LA FONCTION INVERSE .

Pour la fonction inverse, on a le tableau de variations suivant : Valeurs de x -¥¥¥¥ 0 + ¥¥¥¥

Variations de

x ½¾¾® 1 x La fonction inverse est décroissante sur ]- ¥¥¥¥ ; 0 ]. ( plus un nombre négatif est grand et plus son inverse est petit ) La fonction carrée est décroissante sur [ 0 ; + ¥¥¥¥ [. ( plus un nombre positif est grand et plus son inverse est petit )

Preuve :

Démontrons que : si a < b < 0 alors

1 a > 1 b ( ce qui montrera la décroissance sur ]-¥ ; 0 ] )

Supposons que a < b < 0

l"inégalité 1 a > 1 b est équivalente à 1 a - 1 b > 0 mais aussi à b - a ab > 0 ( même dénominateur ) or b - a est positif car a < b et ab est positif car a et b sont négatifs, donc par quotient, b - a ab est positif donc b - a ab> 0 donc 1 a > 1 b finalement : si a < b < 0 alors 1 a > 1 b .

On démontre la croissance sur [0 ; +

¥ [ de la même façon :

Supposons que a > b > 0

Donc b - a est négatif et ab est positif donc b - a ab > 0 donc 1 a > 1 b . finalement : si a > b > 0 alors 1 a > 1 b . C.Q.F.D Propriété 3 : INEGALITE ET FONCTION INVERSE .

la propriété suivante sert à démontrer que certaines fonctions en rapport avec la fonction

inverse sont croissantes ou décroissantes. (démontrée ci dessus )

Quels que soient les nombres réels a et b :

Pour a et b négatifs : si a < b alors 1

a > 1 b

Si on prend les inverses des membres d"une inégalité entre des nombres négatifs stricts alors

on obtient une inégalité de sens inverse.

Pour a et b positifs : si a < b alors 1

a > 1 b Si on prend les inverses des membres d"une inégalité entre des nombres positifs stricts alors on obtient une inégalité de sens inverse.

Exemples :

? -3 < -1 donc 1 -3 > 1 -1 . ? 2 < 5 donc 1

2 > 1

5

Les " doubles barres »

dans le tableau signifient que 0 n"a pas d"image. Propriété 4 : SIGNE DE LA FONCTION INVERSE. Valeurs de x -¥¥¥¥ 0 + ¥¥¥¥

Variations

de x ½¾¾® 1 x

Signe de 1

x Quel que soit le nombre réel non nul x Î IR-{0} , l"inverse 1 x de ce nombre est du signe de x .

Preuve : si x est négatif alors 1

x est négatif et si x > 0 alors 1 x > 0. ( signe d"un quotient )

Propriété 5 : EQUATION ET FONCTION INVERSE.

( la preuve est laissée au lecteur : " produit en croix )

Application :

? 1 x = 0 :aucune solution, S = AE. ? 1 x = 7 a une solution x = 1 7 donc S = { 1 7 Propriété 6 : INEQUATION ET FONCTION INVERSE . ( admis )

Application :

? 1 x < 7 donne S = ]-¥¥¥¥ , 0 [ ÈÈÈÈ] 1

7 ; + ¥¥¥¥ [ ? 1

x > 7 donne S = ] 0 ; 1 7

Exemples : ? 1

-2 est négatif ? 1

2 est positif

Soit l"inéquation 1

x = a où a est donné et x un réel cherché.

On distingue 2 cas selon les valeurs de " a ».

Pour a ¹¹¹¹ 0 : Si 1

x = a alors x = 1 a

Pour a = 0 : 1

x = 0 est une égalité fausse pour toute valeur de x ÎÎÎÎ IR

Soient les inéquations 1

x > a , 1 x < a où a est un nombre réel donné et x un réel cherché.

On distingue 3 cas selon les valeurs de " a ».

( Voir la courbe ci dessus pour une illustration )

Pour a > 0 : si 1

x > a alors 0 < x < 1 a c"est à dire : x Î ] 0 , 1 a [ . Si 1 x < a alors x < 0 ou x > 1 a c"est à dire : x Î ] -¥ , 0 [ È ] 1 a , + ¥ [

Pour a < 0 Si 1

x > a alors x < 1 a ou x > 0 c"est à dire x Î ] -¥ , 1 a [ È ] 0 , + ¥ [ Si 1 x < a alors 1 a < x < 0 c"est à dire x Î ] 1 a ; 0[

Si a = 0 : Si 1

x > 0 alors x > 0 x Î ] 0 ; + ¥ [ ; Si 1 x < 0 alors x < 0 x Î ]-¥ ; 0 [. y = a ( a > 0 ) x = 1 a

Pour x ÎÎÎÎ ] 0 , 1

a [ la courbe de x ½¾¾® 1 x est " au dessus » de la droite d"équation y = aquotesdbs_dbs35.pdfusesText_40

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