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Sujet 5: Dualité --- faible et forte
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1 La dualité Par définition de la fonction d'utilité indirecte v(p R) = U(x(p R)) Par définition de la demande hicksienne : x? = h(p0
Qu'est-ce que la dualité en recherche opérationnelle ?
La dualité, c'est la théorie qui nous permet de trouver avec confiance une solution optimale d'un programme linéaire. Si on a une solution réalisable qui n'est pas optimale, la dualité nous donne la capacité de savoir pourquoi cela n'est pas optimale.Comment calculer la dualité ?
Le dual est max z = bty, Aty ? c, y ? 0. min z = ctx, (At)tx ? b, x ? 0. ?? min z = ctx, Ax ? b, x ? 0. Donc, le dual du dual est le primal.C'est quoi un programme dual ?
Par définition, le programme dual est un programme linéaire consistant à minimiser une fonction économique dans un domaine défini par des contraintes sous forme d'inéquations de type inférieures ou égales (?).- Le primal a une solution optimale est le dual a aussi une solution optimale. Le primal est non-borné est le dual est irréalisable. Le dual est irréalisable est le primal est non-borné. Tous les deux probl`emes sont irréalisables.
Dualite faibleEcarts complementaires
Sujet 5: Dualite | faible et forte
MHT 423 :
Modeles et methodes d'optimisation
Andrew J. Miller
Derniere mise a jour: March 24, 2010
Dualite faibleEcarts complementaires
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Rappel : un exemple
max 1:9x1+ 2:6x2 s.a. 2x1+x24000 x1+ 2x25000
x 1;x20La solution optimale est (1000, 2000).
Une solution realisable pour le dual esty= (0;1:9) ... mais cela n'est pas optimale. Une solution optimale pour le dual esty= (0:4;1:1). Cette solution a la m^eme valeur objective que la solution optimale primale.Dualite faibleEcarts complementaires
Denition
Theoreme
Soit xune solution realisable d'un programme lineaire de maximisation, et yune solution realisable de son dual.AlorscTxbTyest toujours vrai.Preuve:
cTx(ATy)Tx
= (yTA)x = yT(Ax) yTb bTy:Alors, n'importe quelle solution realisable pour le probleme primal denit une borne sur la valeur la fonction objective duale, et vice versa.A noter :cTxbTyest toujours
vrai si les solutions xet ysont optimales.Dualite faibleEcarts complementaires
Une consequence : problemes non-bornes et irrealisables Si le primal est non-borne, alors le dual est irrealisable.Exemple :
maxx1+x2 s.ax12x21 x 1;x20Dualite faibleEcarts complementaires
Une consequence : problemes non-bornes et irrealisables Evidemment, on peut aussi dire le suivant : Si le dual est non-borne, alors le primal est irrealisable.Exemple :
maxx1+x2 s.ax1 2 x2 1 x1+ 2x23
x 1;x20Dualite faibleEcarts complementaires
Une autre consequence : problemes realisables
Si tous les deux problemes ont une solution realisable, alors chaque probleme a (au moins) une solution optimale.Pourquoi?
Dualite faibleEcarts complementaires
Une autre possibilite
Il est possible que tous les deux problemes (primal et dual) soient irrealisables.Exemple :
maxx1+x2 s.ax12x21 x 1 1 x 1;x20Dualite faibleEcarts complementaires
Les quatre possibilites pour un pair primal-dual
1Le primal a une solution optimale est le dual a aussi une
solution optimale.2Le primal est non-borne est le dual est irrealisable.3Le dual est irrealisable est le primal est non-borne.
4Tous les deux problemes sont irrealisables.
Dans le cas 1, une solution optimale primale aura la m^eme valeur objective qu'une solution optimale duale. Pour prouver qu'il existe seulement ces quatre possibilites, ainsi que la declaration precedente concernante le premier cas est vraie, il faut considerer la dualite forte et le theoreme des ecarts complementaires.Dualite faibleEcarts complementaires
1Dualite faible
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Theoreme des ecarts complementaires
Theoreme
Soitx une solution realisable pour le probleme primal. La solution x est optimale si et seulement si il existe une solution realisabley pour le probleme dual telle que(biPn j=1aijxj)yi= 0;i= 1;:::;m(cjPm i=1aijyi)xj= 0;j= 1;:::;nDualite faibleEcarts complementaires
Corollaire
C'est evident que si une telle solution duale yexiste, yest forcement une solution optimale.Corollaire Soit xune solution optimale pour le probleme primal, et yune solution optimale pour le probleme dual. Alors(biPn j=1aijxj)yi= 0;i= 1;:::;m(cjPm i=1aijyi)xj= 0;j= 1;:::;nDualite faibleEcarts complementaires
Corollaire : dualite forte
En considerant la preuve de la dualite faible, on voit l'inegalite cTx(ATy)Tx=)(cATy)Tx0:
Mais si xet ysont optimales, la theoreme des ecarts complementaires nous dit qu'il faut que (cATy)Tx= 0 =)cTx= (ATy)Tx Alors, on a montre le suivant.Corollaire : dualite forte Soit xune solution optimale pour le probleme primal, et yune solution optimale pour le probleme dual. AlorscTx=bTy.Dualite faibleEcarts complementaires
Corollaire : les quatre possibilites...
Corollaire
Etant donne un programme lineaire primal et son dual, une de s quatredeclarations suivantes et vraie pour ce pair de problemes :1Le primal a une solution optimale est le dual a aussi une solution
optimale.2Le primal est non-borne est le dual est irrealisable.3Le dual est irrealisable est le primal est non-borne.
4Tous les deux problemes sont irrealisables.
Dualite faibleEcarts complementaires
Consequences
La dualite forte
Criteres d'optimalite
Dualite faibleEcarts complementaires
1Dualite faible
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L'utilisation du theoreme dans la methode du simplexeDualite faibleEcarts complementaires
Exemples
Si on considere un point extreme qui n'est pas
pas optimale , on peut denir une solution duale qui verient les conditions d'ecarts complementaires.Mais cette solution ne sera
pas r ealisable p ourle p roblemedual.Par contre, pour
une solution optimale , la solution duale ainsi generee sera r ealisable et optimaleDualite faibleEcarts complementaires
Exemple 1 : Monet dans deux dimensions
Solution optimale: (1000, 2000)
Solution non-optimale: (0, 2500)
Dualite faibleEcarts complementaires
Exemple 2 : Dietetique
Solution optimale:
(6 23;94999 ;623 ;5599
Solution non-optimale:
(10;93999 ;0;6699Dualite faibleEcarts complementaires
A souvenir
Theorem D'ecarts Complementaires
A quoi sert le probleme dual :
Son importance pour denir lescriteres d'optimalite; cetteimportance depend sur le Theorem D'ecarts Complementairesson utilisation dans l'algorithme de simplexe
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