[PDF] Quelques compléments de dualité.

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Quelques complements de dualite.

Denition 0.1SoitEunK-espace vectoriel. On considere l'applicationEE!K (f;x)7!f(x). Cette application est bilineaire. On la note< f;x >, et on la nomme crochet de dualite. Remarque 1SiPest la matrice de changement de base d'une baseBvers une baseB0, alorsP1est la matrice de passage de leurs bases duales.

On peut aussi denir une orthogonalite dansE:

Denition 0.2Soit'2E. On denit l'orthogonal de', et on le note'par =fx2E= < ';x >= 0g:

SiAE, alors

A =fx2E=8'2A;< ';x >= 0g:

Proposition 0.1A(A?):

Proposition 0.2En dimension nie,dimF+dimF?=dimE, etdimG+dim(G)=dimE.

De plusG= (G)?.

2 Denition 0.3Soitx2E. On considere l'applicationE!K '7!< ';x >. Cette application est lineaire, et on la note(x). C'est une forme lineaire sur E : elle est donc dansE.

Theoreme 0.3SoitE!E

x7!(x). Cette application est lineaire, et est l'application cano- nique deEdansE.

C'est un isomorphisme en dimension nie.

Theoreme 0.4 (et Denition)Soitu2 L(E;F), et

tu:F!E '7!tu(') ='u.

Cette application est lineaire.

L'application

t:L(E;F)! L(F;E) u7!tus'appelle la transposition.

En dimension nie, c'est un isomorphisme.

Proposition 0.5t(vu) =tutv.

tIdE=IdE t(u1) = (tu)1

Kertu= (Imu)?

On considere

Eet Fles deux applications canoniques deEetFdans leurs biduaux,

8u2 L(E;F);t(tu)2 L(E;F) verie

t (tu)E= Fu: 3

Ce qui donne le schema de decomposition suivant :

u E!F E# "1 FE!F t(tu) On peut remarquer que siE=F, en dimension nie, on trouve, apres avoir identieEa son bidual que t(tu) =u. Il ne reste plus qu'a voir ce que personne n'a de probleme pour se rappeler : Theoreme 0.6SoitBune base deE,B0une base deF, etBetB0les deux bases duales, alors

Mat(tu;B0;B) =t(Mat(u;B;B0)):

ou la transposee de la matrice est l'operateur habituel. 4

Formes quadratiques

1 Formes quadratiques

1.1 Generalites

Denition 1.4Soit'une forme bilineaire symetrique. On introduit :E!K-x7!'(-x;-x) est appele la forme quadratique associee a', et'la forme polaire.

Proposition 1.7(-x) =2(-x)

'(-x;-y) =12((-x+-y)(-x)(-y)) (1)

14((-x+-y)(-x-y))

(-x+-y) =2(-x) + 2'(-x;-y) +2(-y) Denition 1.5SoitEunK-espace vectoriel. :E!Kest une forme quadratique si

1.(-x) =2(-x),

2.(-x+-y(-x)(-y))est une forme bilineaire symetrique.

C'est (1) qui assure l'equivalence des deux denitions. Exemple:f2E;'(x;y) =f(x):f(y)est une forme bilineaire symetrique. Remarque 2Il sut pour connaitre'oude connaitre'(ei;ej). SiM= (mij='(ei;ej)), et sixa pour coordonnees le vecteur colonneXdans la base, ety,

Yalors

'(x;y) =tXMY 5 On peut remarquer que cette matrice est symetrique ( tM=M). Si maintenant, on considere une autre baseB0etPla matrice de passage deBversB0: i.e X=PX0, si ennM0est la matrice de'dans la baseB0, alors M

0=tPMP

On peut donc remarquer qu'elles sont congruentes (c'est une relation d'equivalence) : cela veut dire qu'elles ont m^eme rang, et que leurs determinants sont lies par la relation suivante : detM

0=detM(detP)2:

Denition 1.6On appelle rang d'une forme quadratiquele rang commun de toutes les ma- trices qui determinent sa forme polaire. Denition 1.7SiMest la matrice dedans la baseB, on dit queDet(M)est le discreminant dedans cette base.

Remarque 3

1. L'ensemble des formes quadratiques est un espace vectoriel, mais pas une algebre.

2. On peut voir'comme un polyn^ome homogene de degre 2 a2ninconnues, symetrique au

sens ou le coecient dexiyjest le m^eme que le coecient dexjyi.

3. Il est plus simple de remarquer que pour, il y a un isomorphisme entre les formes

quadratiques et les polyn^omes homogenes de degre 2 aninconnues. Cet isomorphisme est bien evidemment a baseBxee.

1.2 Ensembles et Vecteurs particuliers

On ne se situe pas forcement en dimension nie.

Denition 1.8xest un vecteur isotropesi(x) = 0.

On appelle l'ensemble des vecteurs isotropes le c^one isotrope. 6 Denition 1.9est dite deniesi le c^one isotrope est reduit a 0.

Denition 1.10xetysont dit conjuguessi'(x;y) = 0. On emploiera le terme orthogonallorsqu'il s'agit d'un produit scalaire.

Remarque 4Cette denition de l'orthogonalite est coherente avec celle de la dualite, puisque le crochet de dualite est une forme bilineaire. En fait, l'orthogonalite apparait des le debut sur les formes bilineaires non necessairement symetriques, ce qui necessite de distinguer les orthogonalites par rapport aux deux variables. Theoreme 1.8 (et Denition)On appelleale sous-espace vectoriel des vecteurs qui sont conjugues aa. De m^eme, on denit le sous-espace conjugue a une partieAdeE, lequel est le m^eme que le sous-espace conjugue au sous-espace vectoriel engendre par cette partie. Denition 1.11On appelle noyau de'noteKer'le sous-espace conjugue deE On dit que'est non degenereesi ce noyau est reduit af0g.

Remarque 5

x2Ker'=)xisotrope. denie=)'non degeneree. ExempleSurR2, on considere la forme quadratiqueassociee au polyn^omeF(x;y) = 2xy dans la base canonique. Le noyau est reduit a 0, mais les deux vecteurs de base sont isotropes. 7

2 Classication

2.1 Etude d'une forme quadratique sur un espace vectoriel de dimen-

sion nie Theoreme 2.9Soitune forme quadratique sur un espce-vectorielEde dimension nien. Alors il existe une base deEcomposee de vecteurs deux-a-deux conjugues par Preuve du Theoreme 2.9:Cette preuve est a connaitre : le moteur en est le suivant : on considere une basee1;e2;:::;endont le premier vecteur n'est pas isotrope : une telle base existe (base incomplete) des que n'est pas la forme nulle. Dans le cas contraire, n'importe quelle base convient. Cherchonstel que'(e1;e2+e1) = 0. Un calcul montre qu'il faut prendre=(e1;e2)(e1). On procede de m^eme pour les autres vecteurs de la base,et on obtient une nouvelle base dont tous les vecteurs sont conjugues ae1, sauf lui-m^eme. Le sous-espace vectoriel engendre est conjugue ae1et de dimensionn1.

On procede par recurrence.Si maintenant on s'interesse a la matrice de dans cette base, on s'apercoit qu'elle est diagonale.

Theoreme 2.10Toute matrice symetrique est congruente a une matrice diagonale. Toujours gr^ace a l'existence d'une base conjuguee (orthogonale je vous rappelle), on a le theoreme suivant pour pas cher : Theoreme 2.11Toute forme quadratiquesur un espace vectoriel de dimension nie peut s'exprimer comme une combinaison lineaire, a coecients non nuls, des carres de formes lineaires independantes. Dans toute decomposition de ce type, le nombre de formes lineaires est exactement le rangrde. La methode pratique pour avoir cette decomposition est la methode de GAUSS : eectuons la premiere etape :

1. soit le termex1apparait de maniere quadratique dans le polyn^ome

P(x1;x2;:::;xn) =ax21+ 2x1B(x2;:::;xn) +C(x2;:::;xn); ouBest un polyn^ome lineaire (homogene de degre 1) etCun polyn^ome quadratique.

AlorsP(x1;:::;xn) =a

x 1+1aB

2+(C1aB2):Le deuxieme terme ne depend plus que

den1 variables. 8

2. si aucun desxin'apparait de maniere quadratique, supposons quex1etx2apparaissent

dans des doubles produits (termes rectangles)

P=ax1x2+x1B+x2C+D;

ouBetCsont des polyn^omes lineaires dex3;:::;xn, etDest un polyn^ome quadratique des m^emes indetermineees.

P=1a(ax1+C)(ax2+B) + (D1aBC):

Le produit de deux polyn^omes lineaires est un polyn^ome quadratique. On se place maintenant dans une base conjuguee dont lesrpremiers vecteurs sont non-isotropes (donc lesnrderniers le sont).

Proposition 2.12x2Ker'()x2V ectfer+1;er+2;:::;eng

Par consequent :

rg() =dimEdim(Ker'): Corollaire 2.13(est non degeneree) si et seulement si (rg() =dim(E)) si et seulement si (discr()6= 0).

2.2 Classication dansC

On a besoin d'un certain nombre de lemmes :

Lemme 2.14SoitEunC-espace vectoriel de dimensionn. La forme quadratiquesurE est le carre d'une forme lineaire non nulle si et seulement si le rang deest 1.

Preuve du Lemme 2.14:Cintervient dans le fait qu'il est algebriquement clos, et que donc tout complexe admet deux

racines. 9 Lemme 2.15SoitEun espace vectoriel complexe de dimensionn. La forme quadratique surEest le produit de deux formes lineaires independantes si et seulement si le rang deest 2. Theoreme 2.16Toute matrice symetrique complexe de rangrest congruente a la matrice Ir0 0 0 nr Le cardinal du quotient de l'espace des matrices symetriques par la relation congruence est donc n+1.

2.3 Classication dansR

Theoreme 2.17 (d'inertie de Sylvester)Quelle que soit la base formee de vecteurs conjugues deux a deux a laquelle

on rapporte l'espace vectoriel reelEde dimensionn, la matrice diagonale qui represente la forme quadratique comporte le m^eme nombre d'elements strictement positifs et le m^eme nombre d'elements strictement negatifs.

Le couple(p;rp)est appele la signature de.

Cela nous amene tout droit a

Denition 2.12est dite positivesi8x2E;(x)>0.

Elle est dite negativesi8x2E;(x)60.

Proposition 2.18Elle est positive sip=ret negative sip= 0. 10

Theoreme 2.19 (Cauchy-Schwartz)Soitune forme quadratique positive, de forme polaire'. Alors8(x;y)2E2,

('(x;y))26(x)(y):

On a bien dit positive, pas denie positive.

Remarque 6Il y a egalite si et seulement sixetysont lies. Theoreme 2.20 (Minkowski)Soitune forme positive sur l'espace vectoriel reelE. Pour tout(x;y)2E2, p(x+y)6p(x) +p(y): Remarque 7Il y a egalite si et seulement sixetysont lies positivement :9k >0;y=kx. Remarque 8Pour une forme positive ou negative, il y a egalite entre le noyau et le c^one isotrope. Voila enn le theoreme qui debouche sur les espaces euclidiens : Theoreme 2.21 (et Denition)Soitune forme denie, sur l'espace vectoriel reelE. le signe du reel(x) est xe et ne depend pas dex. Selon que ce signe est positif ou negatif on dira que la forme quadratiqueest denie positiveou denie negative. Et comme il sut de multiplier par -1 pour transformer l'une en l'autre ... Proposition 2.22est denie positive si et seulement sip=n, i.e sa signature est(n;0).quotesdbs_dbs35.pdfusesText_40

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