Chapitre 1 : Les images numériques
On parle de sous-échantillonnage lorsque l'image est déja discrétisée et qu'on diminue le nombre de pixels. (1). (2). Figure 1.1 (1) Pavage (2) Echantillonnage.
Image Numérique Limagerie numérique
Formation de l'image. – Perception de la couleur. – Les systèmes de vision. 2. Représentation numérique de l'image. – Échantillonnage.
Présentation PowerPoint
image numérique. - acquisition d'images. - numérisation d'images : quantification et échantillonnage. - quelques outils pour le traitement d'images.
Notes de cours Traitement dimages numériques
Le numériseur forme une image numérique (échantillonnage et quantification). — distance focale : distance entre la lentille et le point focal.
Séance 4 Quantification et échantillonnage
Son numérique. Image numérique. Conclusion. De la photographie numérique. `a la photographie computationnelle. Séance 4. Quantification et échantillonnage.
Chapitre 1 : Introduction à limage numérique 1- Historique : 2
D- Echantillonnage et quantification : L'échantillonnage est limité par la capacité du capteur donc le nombre de pixels disponible. (ou autre limite imposée)
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Son numérique Image numérique Conclusion De la photographie numérique `a la photographie computationnelle Séance 4 Quantification et échantillonnage
Qu'est-ce que l'échantillonnage d'une image ?
L'échantillonnage est le procédé de discrétisation spatiale d'une image consis- tant à associer à chaque pixel une unique valeur : Figure 1.1(2). On parle de sous-échantillonnage lorsque l'image est déja discrétisée et qu'on diminue le nombre de pixels.Comment échantillonner une image ?
Le modèle de l'échantillonneur idéal est constitué par un simple produit de l'image initiale I(x,y) par un peigne de Dirac bidimensionnel. Il en résulte une image échantillonnée Ie(x,y) pour laquelle les valeurs correspondent aux luminances relevées sur une grille régulière de paramètres .Quelles sont les caractéristiques d'une image numérique ?
Une image a donc 3 caractéristiques : sa taille en nombre de pixel (définition), ses dimensions réelles (en centimètres ou pouces) et sa résolution (en pixel par pouce).- Une image numérique est une image acquise, traitée et stockée en bits. Une image numérique est un tableau de pixel : chaque pixel est codé par un nombre binaire pour un niveau de gris, ou par trois nombres binaires qui correspond à une nuance de rouge, de vert et de bleu (codage RVB).
De la photographie
num´erique `a la photographie computationnelleS´eance 4
F. Sur - ENSMN
Quantification
Th´eorie de
l"´echantillonnageSpectre d"un signal
´echantillonn´e
Th´eor`eme
d"´echantillonnage deShannonCas d"un nombre finid"´echantillons
Cons´equences
pratiquesSon num´erique
Image num´erique
ConclusionDe la photographie num´erique
`a la photographie computationnelleS´eance 4
Quantificationet ´echantillonnage
Fr´ed´ericSur
Ecole des Mines de Nancy
Loria1/26De la photographie
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d"´echantillonnage deShannonCas d"un nombre finid"´echantillons
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pratiquesSon num´erique
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ConclusionQuantification et ´echantillonnage
Signal physique(onde lumineuse, onde sonore) :
variation d"une grandeur physique (´eclairement, pression) en temps et/ou espace Contraintes de larepr´esentation informatique:le temps d"un processeur est discret; les mesures doivent ˆetre repr´esent´ees par un nombre fini de bits.Signal discret: une suite de 0-1.
Conversion Analogique→Num´erique=
´echantillonnage + quantification
Probl`eme inverse: conversion N/A (DAC)
Question: perte d"information?
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ConclusionExemple d"´echantillonnageDe la photographie num´erique `a la photographie computationnelleS´eance 4
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pratiquesSon num´erique
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ConclusionExemple de quantification
→exemple de quantification sur 2 bits :Source: en.wikipedia.orgSon qualit´e CD : 16 bits
Niveaux de gris dans une image : 8 bits
(mais "thirty shades of gray"...)4/26Remarque: la fr´equence d"´echantillonnage doit ˆetre adapt´ee
au signal `a num´eriser... Son qualit´e CD : 44.1 kHz (44100 ´echantillons par seconde)3/26De la photographie
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pratiquesSon num´erique
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ConclusionExemple de quantification
→exemple de quantification sur 2 bits :Source: en.wikipedia.orgSon qualit´e CD : 16 bits
Niveaux de gris dans une image : 8 bits
(mais "thirty shades of gray"...) 4/26De la photographie
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ConclusionS´eance 41Quantification
2Th´eorie de l"´echantillonnage
Spectre d"un signal ´echantillonn´e
Th´eor`eme d"´echantillonnage de Shannon
Cas d"un nombre fini d"´echantillons
3Cons´equences pratiques
Son num´erique
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4Conclusion
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ConclusionLa quantificationq
8 q 1q 2q 3q 4q 5q 6q7quantification uniformeq
8q7q6q5
q 4 q 3 q 2 q1quantification adapt´ee
→Intervalles dequantificationet niveaux dereconstruction.6/26De la photographie
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ConclusionS´eance 41Quantification
2Th´eorie de l"´echantillonnage
Spectre d"un signal ´echantillonn´e
Th´eor`eme d"´echantillonnage de Shannon
Cas d"un nombre fini d"´echantillons
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Conclusion´
Echantillonnage
Bon cadre?: espace des distributions temp´er´eesS?.´ Echantillonnage def(distrib. temp´er´ee "assez r´eguli`ere") toutes lesa"secondes" repr´esent´e par la distribution : ?fa=a? n?Zf(na)δna(=f·aΔa) cara? n?Zf(na)δnaS?→fsia→0?Question: Lien entreF(f) etF(?fa) =a?
n?Zf(na)e-2iπnay? (et la TFD si nombre fini d"´echantillons?)9/26De la photographie
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ConclusionSignaux `a bande limit´ee et formule de PoissonD´efinition - Signal `a bande limit´ee
Soitf? S?t.q.F(f) est `a support compact?[-λc,λc]. (fn"a pas de fr´equence sup´erieure `a une fr´equence limiteλc) On dit quefest `abande limit´ee.Proposition - Formule sommatoire de PoissonSoitf? S?`a bande limit´ee.
F(?fa)(y) =a?
n?Zf(na)e-2iπnay=? n?ZF(f)? y-na10/26De la photographie
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ConclusionCons´equence de la formule de Poisson Soitfsignal `a bande limit´ee, ´echantillonn´e au pas dea.Formule de Poisson :
F(?fa)(y) =?
n?ZF(f)? y-naCons´equences:
→Spectre de?fap´eriodique de p´eriode 1/a. →Spectre obtenu en faisant la somme des translat´es deF(f) au pasn/a.11/26De la photographie
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ConclusionIllustration
Source: C. Gasquet & P. Witomski,Analyse de Fourier et applications, Masson 1990.D´efinition - Fr´equence de Nyquist
2λcest lafr´equence de Nyquist.12/26
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ConclusionVers le th´eor`eme de Shannon
Soitfun signal `a bande limit´ee t.q. 1/a>2λc.Formule de Poisson :F(?fa)(λ) =a?
n?Zf(na)e-2iπnaλ=? n?ZF(f)?λ-na
Soitχal"indicatrice du segment [-1/2a,1/2a] :
F(f)(λ) =a?
n?Zf(na)χa(λ)e-2iπnaλ.13/26De la photographie
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ConclusionTh´eor`eme de ShannonTh´eor`eme d"´echantillonnage de Shannon (-Nyquist) f?L2(R), supp(F(f))?[-λc,λc], et1a ?2λc Alors f(x) =? n?Zf(na) sinc?x-naa(dansL2)Rappel: sinc(x) =sin(πx)πx(sinus cardinal)-10-50510-0.4-0.200.20.40.60.8114/26De la photographie
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ConclusionConsid´erations pratiques
Interpr´etation:
si on ´echantillonne un signal (`a bande limit´ee) `a une fr´equence sup´erieure au double de sa plus grande fr´equence,alors on peut le reconstruire de mani`ere exacte!Probl`eme pratique: pasr´ealisableQuestion: que se passe-t-il si le signal contient des
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ConclusionRecouvrement de spectre oualiasing
Remarque: reconstruction?multiplication parχadans le domaine de Fourier Si 1a <2λc...→Ph´enom`ene derecouvrement / repliement de spectre dans les hautes fr´equences, oualiasing(alias= `a un autre endroit), oualiasage.→Reconstruction tr`es perturb´ee (exemples en TP).Solution technologique: filtrage du signal analogique
avant´echantillonnage pour ´eliminer les fr´equences>1/2a.16/26De la photographie
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ConclusionRetour sur la Transform´ee de Fourier Discr`eteNombrefiniNd"´echantillons :
x n=f(na) (?fp´eriodique), (Xn) TFD de (xn) (a= intervalle d"´echantillonnage; p´eriode def:Na). On calcule (cons´equence de la formule de Poisson) : F ??fa? k?ZX kδk/(Na)17/26De la photographie
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ConclusionAliasing discret-
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