[PDF] Rappels Traitement du Signal 2.4.2 FILTRE REEL –

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Licence Professionnel Optronique Année 2004 - 2005

Rappels Traitement du Signal

Note de cours

T.Dumartin

1 GENERALITES 4

1.1 INTRODUCTION 4

1.2 DEFINITIONS 4

1.2.1 SIGNAL 4

1.2.2 BRUIT 4

1.2.3 RAPPORT SIGNAL SUR BRUIT 4

1.2.4 SYSTEME 4

1.3 CLASSIFICATION DES SIGNAUX 5

1.3.1 CLASSIFICATION PHENOMENOLOGIQUE 5

1.3.2 CLASSIFICATION ENERGETIQUE 5

1.3.3 CLASSIFICATION MORPHOLOGIQUE 5

1.4 SIGNAUX PARTICULIERS 6

1.4.1 FONCTION SIGNE 6

1.4.2 FONCTION ECHELON 6

1.4.3 FONCTION RAMPE 6

1.4.4 FONCTION RECTANGULAIRE 6

1.4.5 IMPULSION DE DIRAC 7

1.4.6 PEIGNE DE DIRAC 8

1.4.7 FONCTION SINUS CARDINAL 8

1.5 REPRESENTATION FREQUENTIELLE 8

2 TRAITEMENT DU SIGNAL ANALOGIQUE 9

2.1 SERIE DE FOURIER 9

2.1.1 DEFINITION 9

2.1.2 DEVELOPPEMENT EN TERMES COMPLEXES 10

2.1.3 PROPRIETES 10

2.2 TRANSFORMEE DE FOURIER 10

2.2.1 DEFINITION 10

2.2.2 PROPRIETES 11

2.2.3 EXEMPLE 12

2.3 CONVOLUTION 12

2.3.1 DEFINITION 12

2.3.2 TRANSFORMEE DE FOURIER 13

2.4 NOTION DE FILTRAGE 13

2.4.1 FONCTION DE TRANSFERT 13

2.4.2 FILTRE REEL - GABARIT 14

2.5 NOTION DE MODULATION 15

2.5.1 PRINCIPE 15

2.5.2 MODULATION D'AMPLITUDE 15

3 NUMERISATION 17

3.1 ECHANTILLONNAGE 17

3.1.1 DEFINITION 17

3.1.2 ECHANTILLONNAGE IDEAL 17

3.1.3 ECHANTILLONNAGE REEL 18

3.1.4 ECHANTILLONNAGE-BLOCAGE 19

3.2 QUANTIFICATION 20

3.2.1 DEFINITION 20

3.2.2 QUANTIFICATION UNIFORME 20

3.3 CODAGE 21

4 TRAITEMENT DU SIGNAL NUMERIQUE 22

4.1 TRANSFORMEE DE FOURIER D'UN SIGNAL DISCRET 22

4.1.1 DEFINITION 22

4.1.2 PROPRIETES 22

4.2 TRANSFORMEE DE FOURIER DISCRETE 23

4.2.1 FENETRAGE 23

4.2.2 ECHANTILLONNAGE EN FREQUENCE 24

4.3 NOTION DE TRANSFORMEE DE FOURIER RAPIDE 26

4.3.1 PRESENTATION A L'ALGORITHME DE COOLEY-TUCKEY 26

Annexe 1 : Transformée de Fourier d'un peigne de Dirac Annexe 2 : Transformée de Fourier de la fonction porte

1 Généralités

1.1 Introduction

Le traitement du signal est une discipline indispensable de nos jours. Il a pour objet l'élaboration

ou l'interprétation des signaux porteurs d'informations. Son but est donc de réussir à extraire un

maximum d'information utile sur un signal perturbé par du bruit en s'appuyant sur les ressources de

l'électronique et de l'informatique.

1.2 Définitions

1.2.1 Signal

Un signal est la représentation physique de l'information, qu'il convoie de sa source à son

destinataire. La description mathématique des signaux est l'objectif de la théorie du signal. Elle offre

les moyens d'analyser, de concevoir et de caractériser des systèmes de traitement de l'information.

1.2.2 Bruit

Un bruit correspond à tout phénomène perturbateur gênant la transmission ou l'interprétation

d'un signal.

Remarque :

Les notions de signal et bruit sont très relatives. Pour un technicien des télécommunications qui

écoute un émetteur lointain relayé par un satellite, le signal provenant d'une source astrophysique

(soleil, quasar) placée malencontreusement dans la même direction est un bruit. Mais pour

l'astronome qui s'intéresse à la source astrophysique, c'est le signal du satellite qui est un bruit.

1.2.3 Rapport signal sur bruit

Le rapport signal sur bruit mesure la quantité de bruit contenue dans le signal. Il s'exprime par le rapport des puissances du signal (P S ) et du bruit (P N ). Il est souvent donné en décibels (dB).

1.2.4 Système

Un système est un dispositif représenté par un modèle mathématique de type Entrée/Sortie

qui apporte une déformation au signal (Ex: modulateur, filtre, etc...).

Chapitre

1 S dB N

SP=10logNP

Système

Entrée Sortie

1.3 Classification des signaux

On peut envisager plusieurs modes de classification pour les signaux suivant leurs propriétés.

1.3.1 Classification phénoménologique

On considère la nature de l'évolution du signal en fonction du temps. Il apparaît deux types de

signaux :

Les signaux déterministes :

ou signaux certains, leur évolution en fonction du temps peut

être parfaitement modéliser par une fonction mathématique. On retrouve dans cette classe les

signaux périodiques, les signaux transitoires, les signaux pseudo-aléatoires, etc...

Les signaux aléatoires :

leur comportement temporel est imprévisible. Il faut faire appel à

leurs propriétés statistiques pour les décrire. Si leurs propriétés statistiques sont invariantes

dans le temps, on dit qu'ils sont stationnaires.

1.3.2 Classification énergétique

On considère l'énergie des signaux. On distingue :

Les signaux à énergie finie :

il possède une puissance moyenne nulle et une énergie finie.

Les signaux à puissance moyenne finie :

il possède une énergie infinie et sont donc physiquement irréalisable.

Rappels :

Energie d'un signal x(t)

+2 x

W = x(t) dt

Puissance d'un signal x(t)

T/22 x -T/2

1P = lim x(t) dtT

T

1.3.3 Classification morphologique

On distingue les signaux à variable continue des signaux à variable discrète ainsi que ceux dont l'amplitude est discrète ou continue.

Amplitude

Continue Discrète

Continu

Temps

Discret

x(t) t x[n] n x[n] n x(t) t quantification

échantillonna

g e

On obtient donc 4 classes de signaux :

Les signaux analogiques

dont l'amplitude et le temps sont continus

Les signaux quantifiés

dont l'amplitude est discrète et le temps continu

Les signaux échantillonnés

dont l'amplitude est continue et le temps discret

Les signaux numériques

dont l'amplitude et le temps sont discrets

1.4 Signaux particuliers

Afin de simplifier les opérations ainsi que les formules obtenues, certains signaux fréquemment

rencontrés en traitement du signal dispose d'une modélisation propre.

1.4.1 Fonction signe

-1 pour t<0sgn(t)=+1 pour t>0 Par convention, on admet pour valeur à l'origine : sgn (t) =0 pour t=0.

1.4.2 Fonction échelon

0 pour t<0u(t)=1 pour t>0

Par convention, on admet pour valeur à l'origine: u (t) = ½ pour t=0. Dans certains, il sera préférable de lui donner la valeur 1.

1.4.3 Fonction rampe

t r(t) = t . u(t) = uIJdIJ

1.4.4 Fonction rectangulaire

t11 pour T2

On l'appelle aussi fonction porte.

Elle sert de fonction de fenêtrage élémentaire. sgn(t) t -11 u(t) t 1 r(t) t 11 rec(t/T) t

T/21 -T/2

1.4.5 Impulsion de Dirac

L'impulsion de Dirac correspond à une fonction porte dont la largeur T tendrait vers 0 et dont l'aire est égale à 1. pour t = 0į(t)=0 pour t 0 (t) ne peut être représentée graphiquement. On la schématise par le symbole

Attention:

le 1 marqué sur la flèche pleine représente l'aire de cette impulsion (et non la hauteur de l'impulsion).

On peut encore considérer

(t) comme la dérivée de la fonction échelon : du(t)į(t) =dt

Propriétés :

Intégrale

į(t)dt =1

x(t).į(t)dt = x(0) 00 x(t).į(t t )dt = x(t )

Produit

x(t).į(t) = x(0).į(t) x(0) 00 00 x(t).į(t t ) = x(t ).į(t t) x(t)

Identité

x(t)į(t) = x(t)

Translation

00 x(t)į(t t)=x(t t) 10 10 x(t t )į(t t ) = x(t t t )

Changement de variable

1

į(a.t) = aį(t)

avec en particulier

1į(Ȧ)=į(t)2ʌf

Remarque :

Un signal physique y(t) correspondant au passage d'un état (1) vers un état (2) pourra être considéré

comme un impulsion chaque fois que son temps de montée t m sera négligeable devant les autres temps mis en jeu dans le circuit. Il en est de même pour un échelon. (t) t 1 1

1.4.6 Peigne de Dirac

On appelle peigne de Dirac une succession périodique d'impulsions de Dirac. T k-

į(t)=į(t-kT)

T est la période du peigne.

Cette suite est parfois appelée train d'impulsions ou fonction d'échantillonnage. Ce type de signal est principalement utilisé en échantillonnage .

1.4.7 Fonction sinus cardinal

sin ʌtsinc(t) = ʌt Cette fonction joue un rôle très important en traitement du signal.

Propriétés :

sinc(t)dt =1 2 sinc (t)dt =1

1.5 Représentation fréquentielle

On a pour habitude de décrire les signaux en fonction de la variable temporelle t car notre

perception des phénomènes physiques nous y incite. En électronique, la connaissance des propriétés

spectrales d'un signal est primordiale. Ainsi, on utilise souvent une représentation en fonction de la

fréquence pour caractériser un signal ou un système. Les outils de traitement des signaux nous aident

dans cette tâche.

Exemple :

le support de transmission du téléphone à une bande passante de 3kHz alors que la bande

passante des signaux audibles est de 20kHz. Ceci explique pourquoi un signal audio de haute qualité

transmis par voie téléphonique sera perçu comme de mauvaise qualité par le récepteur. T (t) t

T 2T KT-2T -T -KT

sinc(t) t 1

1 2 3 -3 -2 -1

2 Traitement du signal analogique

2.1 Série de Fourier

2.1.1 Définition

La décomposition en série de Fourier permet de décomposer un signal en somme de

sinusoïdes. On utilise principalement les séries de Fourier dans le cas des signaux périodiques. Elles

permettent ainsi de passer facilement du domaine temporel au domaine fréquentiel. Pour pouvoir être

décomposable, un signal doit être à variations bornées (Dirichlet).

Pour tout signal s(t) réel où s(t) = s(t+T

0 ), on peut écrire : 0 0

2ʌȦ=T

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