[PDF] Traitement des Signaux 7 nov. 2011 Évaluer les

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Prof. Freddy Mudry

Haute Ecole d'Ingénierie

et de Gestion du

Canton de Vaud

UdM - novembre 2011

Traitement

des

Signaux

"La science, son goût est amer au début mais à la fin, plus doux que le miel" (Plat à décor épigraphique

XI-XIIème siècle, Iran ou Transoxiane

Le Louvre - Arts de l'Islam)i

Informations concernant

le cours de

Traitements des Signaux

Prof. F. Mudry { UdM / FST { novembre 2011

Objectifs

A l'issue de ce cours, l'etudiant sera en mesure de : 1. Ma ^triser les series de Fourier : representations spectrales et calcul de la puissance.

2. Analyser et mettre en pratique les relations temps-fr

equence dans le cadre de l'analyse spectrale. 3. D ecrire di erents types de signaux et expliquer leurs fonctions de corr elation ainsi que leurs densit es spectrales de puissance. 4.

Evaluer les eets de l'

echantillonnage et de la quantication. 5.

Evaluer et calculer le comportement d'un syst

eme num erique dans les domaines temporel et fr equentiel..

A l'issue des quatre s

eances de travaux pratiques en laboratoire, l' etudiant sera en outre capable de : 1. Ma ^triser un outil de programmation tel que Matlab.

2. Synth

etiser et analyser des signaux.

3. Visualiser, d

ecrire et analyser le spectre d'un signal quelconque.

4. Programmer un ltre num

erique et illustrer son comportement. 5. Ecrire \en ligne" un rapport succint mais complet de son travail.

Remarques

1. Le temps accord

e pour les exposes et exercices du cours TdS est de 46 periodes reparties sur cinq semaines. Il est bien clair que le programme propos e ci-apres constitue une ligne directrice et que le rythme du cours peut etre l eg erement modi e selon les circonstances.

2. Dans la mesure du possible, les cours et exercices sont donn

es en alternance durant deux p eriodes.

3. Les corrig

es d'exercices sont donn es dans un fascicule a part. An d'apprendre a r esoudre les exercices propos es de mani ere personnelle et ind ependante, celui-ci ne devrait pas ^etre consult e pendant les s eances d'exercices.

4. Les tests

ecrits sont constitu es de probl emes similaires a ceux propos es comme exercices. Le seul document autoris e pour les TE est le formulaire TdS remis en annexe du polycopi e.

5. L'examen de n d'unit

e TdS se fera sous forme ecrite et durera deux heures. 3

Projet de programme

a raison de 30hCM, 12hTD, 4hTE et 16hTPSemDatesCoursSujetsNHCMTDE

131 octCMS

eries de Fourier22 CMS eries de Fourier24

CMTransformation de Fourier26

TD33

27 novCMAnalyse spectrale28

CMAnalyse spectrale210

CMSignaux et corr

elation212 TD36

TP1Synth

ese et analyse des SP4

314 novCMSignaux et corr

elation214 CM

Echantillonnage216

CM

Echantillonnage218

TD39

TE1211

TP2Num

erisation des signaux4 45 d
ecCMSignaux num eriques220

CMSignaux num

eriques222 CMR eponses temporelles224 TD314 TP3R ealisation de ltres numeriques4 512 d
ecCMR eponses frequentielles226

CMFiltres num

eriques228

CMTD230

TE2216

TP4Phonocardiogramme4

Examen4

4

Bibliographie g

enerale

Traitement des signaux

1. B.P. Lathi :Signal Processing and Linear Systems, Berkeley-Cambridge Press,

1998

2. B.P. Lathi :Linear Systems and Signals, Berkeley-Cambridge Press, 1992

3. F. de Coulon :Theorie et traitement des signaux, PPR, 1984

4. A. Spataru :Fondements de la theorie de la transmission de l'information,

PPR, 1987

5. A.V. Oppenheim, A.S. Willsky :Signals and Systems, Prentice-Hall, 1983

Traitement num

erique des signaux

1. B. Porat :A Course in Digital Signal Processing, J. Wiley, 1997

2. J.H. McClellan, R.W. Schafer, M.A. Yoder :DSP First,Prentice Hall, 1999

3. J.G. Proakis, D.G. Manolakis :Digital Signal Processing,MacMillan, 2eme

edition, 1992

4. C.S. Burrus et al. :Computer-Based Exercises for Signal Processing, Prentice-

Hall, 1994

5. V.K. Ingle, J.G. Proakis :Digital Signal Processing Using MatLab,PWS, 1997

6. E.C. Ifeachor, B.W. Jervis :Digital Signal Processing, Addison-Wesley, 1993

Filtres analogiques et num

eriques

1. M. Labarr

ere et al. :Le ltrage et ses applications, Cepadues Editions, 1982

2. R. Bo

^te, H. Leich :Les ltres numeriques, Masson, 1980

3. R. Miquel :Le ltrage numerique par microprocesseurs, Editests, 1985

4. H. Lam :Analog and Digital Filters, Prentice Hall, 1979

5. T.W. Parks, C.S. Burrus :Digital Filter Design, J. Wiley, 1987

6. Ch.S. Williams :Designing Digital Filters, Prentice-Hall, 1986

Analyse spectrale num

erique

1. Hewlett-Packard :The Fundamentals of Signal Analysis, Application Note

243, 1981

2. R.B. Randall :Frequency Analysis, Bruel-Kjaer, 1987

3. C.S. Burrus, T.W. Parks :DFT / FFT and convolution algorithms, J. Wiley,

1985

4. R.W. Ramirez :The FFT Fundamentals and Concepts, Prentice-Hall, 1985

iv

Traitement de la parole

1. R. Boite et all :Traitement de la parole, PPUR, 2000

2. Deller, Proakis, Hansen :Discrete Time Processing of Speech Signals, Mac-

millan, 1993

3. S. Saito, K. Nakata :Fundamentals of Speech Signal Processing, Academic

Press, 1985

4. L.R. Rabiner, R.W. Schafer :Digital Signal Processing of Speech, Prentice-

Hall, 1978

Pour le plaisir des yeux et de l'esprit

1. Warusfel Andr

e :Les nombres et leurs mysteres, Seuil 1961

2. Stewart Ian :Does God Play Dice? the new mathematics of chaos, Penguin,

1989

3. Stewart Ian :Dieu joue-t-il aux des? les nouvelles mathematiques du chaos,

Flammarion, 1993

4. Dunham William :Euler, the master of us all, The Mathematical Association

of America, 1999

5. Maor Eli :To Innity and Beyond : a cultural history of the innity, Birkhau-

ser, 1986

6. Klein Etienne :Iletait sept fois la revolution - Albert Einstein et les autres,

Flammarion, 2005

7. Klein Etienne :La physique quantique,Dominos Flammarion, 1996

8. Hawking Stephen :Une breve histoire du temps, Flammarion, 1988

9. Reeves Hubert :Malicorne : re

exions d'un observateur de la nature, Seuil, 1990

10. ThuanTrinh Xuan :Le chaos et l'harmonie : la fabrication du reel, folio essais,

Gallimard, 1998

11. Davis Ph.J, Hersh R. :L'univers mathematique, Bordas 1985

12. Ekeland Ivan :Le Calcul, l'Imprevu : les gures du temps de Keplera Thom,

Seuil, 1984

13. Conway John :The Book of Numbers, Copernicus, 1996

14. Fivaz Roland :L'ordre et la volupte,PPR 1989

15. Lesieur Marcel :La turbulence, Grenoble PUG 1994

Quelques adresses Internet

D emonstrations interactives

1. http ://www.jhu.edu/~signals/

2. http ://image-1.rose-hulman.edu/~yoder/bookcd/visible/contents/cover.htm

3. http ://www.engin.umich.edu/group/ctm/home.text.htm

v

Livre et divers

1. http ://www.dspguide.com/pdfbook.htm

2. http ://www.redcedar.com/learndsp.htm

3. http ://www.dspguru.com/info/tutor/other.htm

Logiciels gratuits

1. http ://www.sysquake.com

2. http ://www.dspguru.com/sw/opendsp/mathclo.htm

3. http ://www-rocq.inria.fr/scilab/scilab.htm

vi vii

Table des mati

eres I.

Etude des signaux analogiques 1

1. Analyse des signaux p

eriodiques 3

1.1. Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2. Deux repr

esentations pour un seul signal . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.3. S

eries de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.3.1. D

enition de la serie de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.3.2. S

erie de Fourier en cosinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.3.3. S

erie de Fourier complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.3.4. Relations entre les trois repr

esentations de Fourier . . . . . . 9

1.4. Th

eoreme de la puissance ou de Parseval . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.5. Spectres d'amplitudes et de phases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.5.1. Spectres unilat

eraux et bilateraux . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.5.2. Coecients spectraux et sym

etries des signaux . . . . . . . . 13

1.5.3. Exemple de repr

esentations spectrales d'un signal . . . . . . 13

1.6. Suite d'impulsions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.6.1. Suite d'impulsions rectangulaires . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.6.2. Suite d'impulsions triangulaires . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.6.3. Suite d'exponentielles d

ecroissantes . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.7. Reconstruction des signaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.7.1. Synth

ese d'un signal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.7.2. Ph

enomene de Gibbs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.7.3. Importance de la phase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.8. Quelques th

eoremes utiles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

1.8.1. D

ecalage temporel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

1.8.2. Modulation d'amplitude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

1.8.3. Rotation autour de l'ordonn

ee . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

1.9. Calcul de quelques spectres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

1.9.1. Suite d'impulsions composites . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

1.9.2. SIR d

ecalee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

1.10. R

eponse d'un systeme lineaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

1.10.1. Analyse de la r

eponse d'un ltre passe-bas . . . . . . . . . . . 31

1.11. R

eponse d'un systeme non-lineaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

1.11.1. Distorsion due

a une diode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

1.12. Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

ix

Table des mati

eres

2. Analyse des signaux non p

eriodiques 49

2.1. Transformation de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

2.1.1. Passage de la s

eriea la transformation de Fourier . . . . . . . 49

2.1.2. TF directe et inverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

2.1.3.

Energie d'un signal non permanent . . . . . . . . . . . . . . . 52

2.1.4. Propri

etes de la transformation de Fourier . . . . . . . . . . . 52

2.2. Exemples de spectres continus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

2.2.1. Spectre d'une impulsion rectangulaire . . . . . . . . . . . . . 52

2.2.2. Spectres d'un sinus amorti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

2.2.3. Spectres de deux impulsions rectangulaires . . . . . . . . . . 57

2.3. Calcul de quelques transform

ees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

2.3.1. Exponentielle d

ecroissante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

2.3.2. Exponentielle d

ecroissante symetrique . . . . . . . . . . . . . 59

2.3.3. Signal constant unit

e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

2.3.4. Saut unit

e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

2.3.5. Phaseur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

2.3.6. Signal sinuso

dal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

2.3.7. Impulsion sinuso

dale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

2.4. Quelques conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

2.4.1. TF des signaux p

eriodiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

2.4.2. Relations avec la transformation de Laplace . . . . . . . . . . 64

2.5. Extension de la transformation de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . 65

2.6. Table illustr

ee de quelques transformees de Fourier [2] . . . . . . . . . 70

2.7. Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

3.

Elements d'analyse spectrale numerique 83

3.1. Passage de la TF

a la TFD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

3.1.1. Signaux continus non-p

eriodiques ()TF) . . . . . . . . . . . 84

3.1.2. Signaux discrets de dur

ee innie ()TFi) . . . . . . . . . . . . 84

3.1.3. Signaux discrets de dur

ee nie ()TFf) . . . . . . . . . . . . . 86

3.1.4. Discr

etisation de la frequence ()TFD) . . . . . . . . . . . . . 87

3.2. Relations temps-fr

equence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

3.2.1. Analyse spectrale avec Matlab . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

3.2.2. Pulsation normalis

ee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

3.3. Transformation de Fourier discr

ete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

3.3.1. D

enition de la TFD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

3.3.2. TFD d'un signal p

eriodique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

3.3.3. TFD et FFT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

3.4. Relations entre les domaines analogique et num

erique . . . . . . . . . 93

3.4.1. Calcul et analyse d'une TFD . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

3.5. Spectre d'une sinuso

de . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

3.5.1. Le nombre de p

eriodes enregistrees est un entier . . . . . . . . 97

3.5.2. Le nombre de p

eriodes enregistrees n'est pas un entier . . . . 97

3.6. Fen

^etres d'observation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

3.6.1. Quatre fen

^etres usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

3.6.2. Eet d'une fen

^etre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 x

Table des mati

eres

3.6.3. Choix d'une fen

^etre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

3.6.4. Fen

^etrage et traitement d'images . . . . . . . . . . . . . . . . 102

3.7. Exemple 1 : analyse spectrale

elementaire . . . . . . . . . . . . . . . 103

3.8. Exemple 2 : reconstruction d'un signal . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

3.9. Exemple 3 : analyse spectrale d

etaillee . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

3.9.1. Donn

ees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

3.9.2. Signal temporel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

3.9.3. Param

etres d'acquisition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

3.9.4. Analyse spectrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

3.9.5. Estimation des amplitudes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

3.9.6. D

etail du calcul des signaux et des spectres . . . . . . . . . . 114

3.10. Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

4. Description et comparaison des signaux 125

4.1. Classication des signaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

4.1.1. Classication ph

enomenologique . . . . . . . . . . . . . . . . 125

4.1.2.

Energie et puissance des signaux . . . . . . . . . . . . . . . . 126

4.1.3. Signaux num

erises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

4.2. Quatre signaux types . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

4.2.1. Signaux d

eterministes temporaires . . . . . . . . . . . . . . . 130

4.2.2. Signaux permanents p

eriodiques . . . . . . . . . . . . . . . . 131

4.2.3. Signaux permanents al

eatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

4.2.4. Signaux permanents quasi-p

eriodiques . . . . . . . . . . . . . 132

4.3. Comparaison des signaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

4.3.1. Corr

elation de signauxaenergie nie . . . . . . . . . . . . . . 133

4.3.2. Corr

elation de signauxa puissance nie . . . . . . . . . . . . 135

4.4. Propri

etes et calcul numerique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

4.4.1. Propri

etes de l'autocorrelation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

4.4.2. Exemples d'autocorr

elation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

4.4.3. Propri

etes de l'intercorrelation . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

4.4.4. Calcul num

erique de la correlation . . . . . . . . . . . . . . . 141

4.5. Rapport signal sur bruit (SNR) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

4.6. Trois applications de la corr

elation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

4.6.1. Le radar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

4.6.2. La mesure d'un d

ebit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

4.6.3. La mesure du rythme cardiaque . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

4.7. Description des signaux al

eatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

4.7.1. Tension

equivalente de bruit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

4.8. Syst

emes lineaires et densites spectrales . . . . . . . . . . . . . . . . 153

4.8.1. Signaux

aenergie nie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

4.8.2. Signaux

a puissance nie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

4.9. Signaux, spectres et statistique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

4.10. Quelques exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

4.11. Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

xi

Table des mati

eres II.

Etude des signaux et systemes numeriques 169

5. Echantillonnage et reconstruction des signaux analogiques 171

5.1. Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

5.2. Analyse temporelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172

5.2.1. Types de signaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172

5.2.2. Quantication d'un signal : exemple . . . . . . . . . . . . . . 173

5.2.3.

Echantillonnage des signaux analogiques . . . . . . . . . . . . 174

5.3. Analyse fr

equentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

5.3.1. Spectre d'un peigne de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

5.3.2. Spectre d'un signal

echantillonne . . . . . . . . . . . . . . . . 177

5.4. Recouvrement spectral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

5.4.1. Quelques exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180

5.5. Th

eoreme de l'echantillonnage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187

5.5.1. Filtre antirecouvrement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188

5.5.2. Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188

5.6. Quantication d'un signal

echantillonne . . . . . . . . . . . . . . . . 190

5.6.1. Quantication uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190

5.6.2. Bruit de quantication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191

5.6.3. Rapport signal sur bruit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193

5.6.4. SNR de quelques signaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193

5.6.5. Non lin

earite du convertisseur . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195

5.6.6. Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196

5.7. Choix d'un ltre et de la fr

equence d'echantillonnage . . . . . . . . . 197

5.8. Reconstruction du signal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199

5.8.1. Convertisseur N{A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199

5.8.2. Interpolateur id

eal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200

5.8.3. R

eponses impulsionnelle et frequentielle d'un CNA . . . . . . 201

5.8.4. Filtre de reconstruction ou de lissage . . . . . . . . . . . . . . 203

5.9. Analyse qualitative d'une cha

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