[PDF] [PDF] Fonction de deux variables

View - Download [PDF] Fonction de deux variables

Previous PDF

Next PDF

Faculté des Sciences Économiques et Sociales - Université de Lille

Licence 2 / Économie - Gestion

Techniques Mathématiques de l"Économiste - Analyse

Fonction de deux variables

M. Pelini, V. Ledda

22 juin 2018

Table des matières1 Fonctions réelles de deux variables réelles1 Fonctions réelles de deux variables réelles3

1.1 Introduction1.1 Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3

1.2 Définitions1.2 Définitions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5

1.3 Quelques fonctions usuelles1.3 Quelques fonctions usuelles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6

1.4 Représentation graphique - Courbes de niveau1.4 Représentation graphique - Courbes de niveau. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6

2 Notion de limite - continuité2 Notion de limite - continuité7

2.1 Introduction2.1 Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7

2.2 Un peu de topologie2.2 Un peu de topologie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8

2.3 Limite defen X02.3 Limite defen X0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12

2.4 Continuité defen X02.4 Continuité defen X0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .13

3 Dérivées partielles3 Dérivées partielles14

3.1 Définitions3.1 Définitions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .14

3.2 Élasticités partielles3.2 Élasticités partielles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .16

3.3 Fonctions homogènes3.3 Fonctions homogènes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .16

3.4 Dérivées partielles d"ordre 23.4 Dérivées partielles d"ordre 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .17

4 Fonctions différentiables et continûment différentiables4 Fonctions différentiables et continûment différentiables20

4.1 Différentielle d"une fonction de 2 variables4.1 Différentielle d"une fonction de 2 variables. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .20

4.2 Fonctions continûment différentiables4.2 Fonctions continûment différentiables. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .21

4.3 Valeur approchée d"une fonction4.3 Valeur approchée d"une fonction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .23

4.4 Dérivation en chaîne4.4 Dérivation en chaîne. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .23

5 Optimisation d"une fonction de plusieurs variables5 Optimisation d"une fonction de plusieurs variables24

5.1 Définitions5.1 Définitions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .24

5.2 Optimisation : conditions nécessaires du premier ordre5.2 Optimisation : conditions nécessaires du premier ordre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .25

5.3 Optimisation libre d"une fonction de 2 variables réelles5.3 Optimisation libre d"une fonction de 2 variables réelles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .26

5.4 Optimisation d"une fonction de deux variables sous contrainte d"égalité5.4 Optimisation d"une fonction de deux variables sous contrainte d"égalité. . . . . . . . . . . . . . . . . .28

6 Extrema globaux6 Extrema globaux30

6.1 Le théorème de Weirstrass6.1 Le théorème de Weirstrass. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .30

6.2 Cas des fonctions convexes6.2 Cas des fonctions convexes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .30

7 Primitive d"une fonction réelle7 Primitive d"une fonction réelle32

7.1 Définitions7.1 Définitions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .32

7.2 Condition suffisante d"existence de primitive7.2 Condition suffisante d"existence de primitive. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .32

7.3 Propriétés7.3 Propriétés. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .32

7.4 Primitives usuelles7.4 Primitives usuelles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .33

8 Intégrale d"une fonction continue sur un intervalle fermé borné8 Intégrale d"une fonction continue sur un intervalle fermé borné34

8.1 Définition8.1 Définition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .34

8.2 Interprétation graphique8.2 Interprétation graphique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .35

8.3 Propriétés fondamentales8.3 Propriétés fondamentales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .38

8.4 Intégrale fonction de la borne supérieure8.4 Intégrale fonction de la borne supérieure. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .39

Fonction de deux variablesAnalyse 29 Méthodes de calcul intégral9 Méthodes de calcul intégral39

9.1 Intégration par parties9.1 Intégration par parties. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .39

9.2 Intégration par changement de variable9.2 Intégration par changement de variable. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .40

10 Exemples d"intégrales généralisées10 Exemples d"intégrales généralisées42

10.1 Exemples10.1 Exemples. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .42

10.2 Remarques10.2 Remarques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .43

11 Applications de l"intégration11 Applications de l"intégration44

11.1 Indice de Gini11.1 Indice de Gini. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .44

11.2 Capitalisation continue11.2 Capitalisation continue. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .45

11.3 Excédent consommateur11.3 Excédent consommateur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .46

11.4 Coût marginal11.4 Coût marginal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .47

12 Compléments12 Compléments47

12.1 Formule de Taylor avec reste intégral12.1 Formule de Taylor avec reste intégral. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .47

2 M. Pelini, V. Ledda

Fonction de deux variablesAnalyse 21 Fonctions réelles de deux variables réelles

1.1 Introduction

1.1.1 Point de vue économiqueLa macroéconomie et la microéconomie utilisent de nombreuses fonctions de plusieurs variables pour modéliser

l"économie.

Exemple 1.

Considérons la fonction de consommation macro-économique. Si on schématise, on peut dire que celle-ci

associe au revenu disponible des ménages Ydle niveau de consommation agrégée dans l"économie C.

C : Y d7!CYd

On peut vouloir toutefois adopter une modélisation plus précise en supposant que la consommation dépend également

du patrimoine financier des ménages (notéB). La nouvelle fonction de consommation sera alors une fonction de2

variables

C :Yd;B7!CYd;B

Exemple 2.

[Fonction d"utilité] On s"intéresse à une économie où deux biens distincts sont disponibles. Notonsxety

les quantités respectives de ces deux biens. On noteU(x;y)la fonction d"utilité du consommateur donnant un indice

de satisfaction associé au panier de consommation (x;y). On suppose que (toute chose étant égale par ailleurs) : l orsquela quan titéd"un bien a ugmented"une unité, l"utilité a ugmente;

l"augmentation d"utilité procurée par une unité est plus petite que l"augmentation procurée par l"unité précé-

dente. Figure1 - Fonction d"utilité et courbes d"indifférence

Si l"on notep >0 le prix du premier bien,q >0 le prix du second bien et R le revenu d"un consommateur alors on a :

px+qy6R De plus si C6R représente la consommation on a : px+qy= C,y=pq x+Cq (1)

Pour une dépense(C), le consommateur cherche à maximiser son indice d"utilité en choisissant le panier de biens qui

lui offre la plus grande utilité. Cela revient à chercher un maximum sous la contrainte d"égalité(11). Ce principe est

illustré sur la figure22.

Voir (11) page 793.

3 M. Pelini, V. Ledda

Fonction de deux variablesAnalyse 2

Figure2 - Utilité et consommation

1.1.2 Point de vue géométrique

Exemple 3.[Équation de plan] L"équation d"un plan deR3est donnée par : (P) :ax+by+cz=d où (a;b;c),(0;0;0). Supposons quecsoit non nul, on peut alors écrire : z=ac x+bc y+d et considérer la fonction deR2dansRdéfinie par : f:R2!R (x;y)7!ac x+bc y+d

La représentation graphique de cette fonction est le planP.Exemple 4.[Paraboloïde de révolution]

Intéressons nous à la surface définie parz=x2+y2.

4 M. Pelini, V. Ledda

Fonction de deux variablesAnalyse 2xyz1.2 Définitions

Définition 1.R2est l"ensemble des couples(x;y)avecxetydes nombres réels.Il est possible d"ajouter deux couples ou de multiplier un couple par un nombre réel :

((x;y)+(x0;y0) = (x+x0;y+y0)

(x;y) = (x;y), où2RDéfinition 2.On appellefonction réelle de2variables réellestoute application définie sur un sous-ensembleDde

R2, à valeur dansR.

f:(D 7!R x;y)7!f(x;y)

On appelleensemble de définitionde la fonctionfl"ensemble des couples deR2qui ont une image parf. On le note

souventDf.Exemple 5.Soitfla fonction définie parf(x;y) =x2y+3y. On aDf=R2. L"image parfdu couple (2;1) estf(2;1) = 22:1+3:1 = 7. Exemple 6.Soitfla fonction définie parf(x;y) = ln(x+y1). fest une fonction réelle de deux variables réelles. Elle est définie pour les couples (x;y) tels quex+y1>0 soitDf=n(x;y)2R2tel quey >1xo. D

fest le demi-plan supérieur délimité par la droite d"équationy= 1x(privé de cette droite).5 M. Pelini, V. Ledda

Fonction de deux variablesAnalyse 201234123450123412345Figure3 -Dfest le demi-plan supérieur délimité par la droite d"équationy= 1x

Exercice 1

Soitfla fonction définie parf(x;y) =px

22y
1. Déterminer et représen terle domaine de définition de f. 2.

C alculer,quand c" estpossible, l"imag epar fdes couples suivants :(2;1), (1;4), (3;0), (2t;t2) et (ab;2b2).

1.3 Quelques fonctions usuelles

Les f onctionslinéaires définies sur R2parf(x;y) =ax+by(avecaetbréels). Les f onctionsa ffines définies surR2parf(x;y) =ax+by+c(aveca,betcréels).

-Les fonctions polynomiales définies surR2en faisant la somme de fonctions du typeaxnym(avecaréel,netm

entiers naturels). Par exemple, P(x;y) =x2y42x3y+3xy3+x2y+x1 est une fonction polynomiale de degré 6.

Les fractions rationnelles sont obtenues en faisant le quotient de deux fonctions polynomiales. Elles sont définies

pour tout couple deR2pour lequel le dénominateur ne s"annule pas.

Par exemple, la fonctionf(x;y) =xyxyest une fraction rationnelle définie surR2privé de la droited"équation

y=x.

La fonctiong(x;y) =x2y2x

2+y2est une fraction rationnelle définie surR2f(0;0)g.

1.4 Représentation graphique - Courbes de niveau

SoitDun sous-ensemble deR2etfune fonction deDdansR.Définition 3.

Le graphe defest l"ensemble des éléments deR3(on parle alors de triplets) de la forme(x;y;f(x;y))avec

(x;y)2 D. C"est une surface.

Soitk2R, l"ensembleCk=n(x;y;z)2R3jf(x;y) =koù(x;y)2 Doest appelécourbe de niveaukde la fonctionf.

La courbe de niveaukdefest obtenue en faisant l"intersection de la surface représentative defet du plan d"équation

z=k, comme si on faisait "des tranches horizontales"...

Remarque 1.

En théorie du producteur, on considère une entreprise n"ayant recours qu"à deux facteurs de production

et ayantFcomme fonction de production, les courbes de niveau deFs"appellent alorsles isoquantesoucourbes

d"isoproductionde la firme.6 M. Pelini, V. Ledda

Fonction de deux variablesAnalyse 2xyz0121201212k= 2k= 4Figure4 -f(x;y) =x2+y2et courbes de niveaux 2 et 4En théorie du consommateur, on considère une économie possédant deux biens de consommation : soitUla fonction

d"utilité associée, les courbes de niveau de U s"appellent lescourbes d"indifférence.0123401234U= 3U= 1U= 2Figure5 - Carte d"indifférence associée à la fonction d"utilité U(x;y) =xy

2 Notion de limite - continuité

2.1 Introduction

Nous noterons X = (x;y) un couple deR2.

Approche intuitive de la notion de limite :

Intuitivement, on a envie de dire la chose suivante :

"f(X)tend vers`quandXtend versX0". Cela signifie que "la valeur def(X)est proche de`quandXs"approche de

X0". Le problème est de savoir ce que l"on entend par "X s"approche de X 0". DansR, c"est facile : on peut s"approcher d"un point par la gauche ou par la droite.

Nous avons vu que, la limite en un point existe si et seulement si la limite à gauche existe, la limite à droite existe et7 M. Pelini, V. Ledda

Fonction de deux variablesAnalyse 2les deux sont égales.DansR2, on peut approcher un point le long d"une infinité de chemins. C"est ce qui va rendre rendre la notion de

limite plus difficile à définir (et à comprendre...)Figure6 - Comment s"approcher d"un point dansRet dansR2

Exemple 7.Soitfla fonction définie surD=R2f(0;0)gpar :f(x;y) =xyx 2+y2.

Soient X2 Det O = (0;0).

Notre objectif est de déterminer "la limite defquand X tend vers O". Pour cela nous allons nous approcher de O suivant deux directions distinctes. i)C onsidéronsla droite D1d"équationy= 2x:

Si X2 D1, alors X = (x;2x) etf(X) =x(2x)x

2+(2x)2=2x25x2=25

donc limX!O

X2D1f(X) =25

ii)C onsidéronsla droite D2d"équationy= 3x:

Si X2 D2, alors X = (x;3x) etf(X) =x(3x)x

2+(3x)2=3x210x2=310

donc limX!O

X2D2f(X) =310

iii)C onclusion: En approchant O suivant deux droites distinctes, nous avons obtenu deux limites différentes... Cela signifie que la fonctionfn"admet pas de limite en O = (0;0). "Séance n o2

L"exemple précédent nous montre que la notion de limite d"une fonction de plusieurs variables est un peu plus compli-

quée qu"en une variable. Ceci motive la partie suivante où l"on va définir les notions nécessaires pour appréhender

correctement cette notion de limite. On en profitera pour donner quelques définitions utiles pour la suite.

2.2 Un peu de topologie

2.2.1 Distance et norme surR2

Avant d"aborder la notion de limite, il nous faut d"abord formaliser la notion de proximité et donc de distance.Définition 4.SoientX = (x;y)etX0= (x0;y0)deux éléments deR2.

On appelledistance(euclidienne) deXàX0, on note d(X;X0), le réel (positif...) d(X;X0) =q(xx0)2+(yy0)28 M. Pelini, V. Ledda

Fonction de deux variablesAnalyse 2x

Ax By Ay BABFigure7 - AB=p(xBxA)2+(yByA)2Définition 5.SoitX = (x;y)un élément deR2. On appellenorme(euclidienne) deX, on notekXk, le réel (positif...) kXk=qx

2+y2Remarque 2.On constate que :

d( X;X0) =jjXX0jjetjXj= d(X;O). d( X;X0) = d(X0;X), d( X;X0)>0 et d(X;X0) = 0 si et seulement si X = X0.Proposition 1.(Inégalité triangulaire)

SoientXetYdansR2,8A2R2, on ad(X;Y)6d(X;A)+d(Y;A).d(X;A)d(Y;A)d(X;Y)XAYFigure8 - Inégalité triangulaireProposition 2.(Cauchy-Schwarz)

SoientXetYdansR2, on ajXYj6jjXjjjjYjj.2.2.2 Boule ouverte DansR, on appelle voisinage du pointx0un intervalle ouvert du type I =]x0h;x0+h[.

Autrement dit,x2I, jxx0j< h.9 M. Pelini, V. Ledda

Fonction de deux variablesAnalyse 2Nous allons définir de la même manière la notion de voisinage dansR2. Nous allons considérer un ensemble qui

contientX0et dans lequel on puisse "bouger», tout au moins légèrement et dans toutes les directions, sans sortir de

cet ensemble. Pour cela, nous prenons l"ensemble B des éléments deR2vérifiantkXX0k0. B= nX = (x;y)2R2tel quekXX0kL"ensembleBest laboule ouvertede centreX0et de rayonR(c"est un disque, sans le bord). On la noteB(X0;R). C"est

un voisinage élémentaire du point X0.0123401234X

0RFigure9 - B(X0;R)Définition 6.SoitDun sous-ensemble deR2etX0un point deD.

X

0estintérieuràDsi on peut construire une boule ouverte centrée enX0et incluse dansD.Définition 7.Un ensemble deR2est borné s"il est contenu dans une boule ouverte.Exercice 2

1. Donner l" équationde la boule ouv ertede cen treA (3;1) est de rayon 2. 2.

Déterminer la na turede l" ensemblesuiv ant:

x

2+y2+2x4y>20

2.2.3 Ouverts et fermés deR2

On cherche à étendre la notion d"intervalle ouvert et d"intervalle fermé.Un ouvert deR2peut être un ensemble "compliqué» une définition précise est nécessaire.Attention

Définition 8.

Un ensembleOdeR2est un ouvert deR2si en tout pointAdeOil existe une boule ouverte centrée enA contenue dansO.10 M. Pelini, V. Ledda Fonction de deux variablesAnalyse 2DansRDansR2Fermé

Ouvert

Ni ouvert, ni fermé

Figure10 - Comparaison entreRetR2

Ensemble ouvertEnsemble qui n"est pas un ouvert

Figure11 - Ensemble ouvertDéfinition 9.Un sous-ensemble deR2est fermé dansR2si son complémentaire dansR2est un ouvert deR2.Remarque 3.L"ensemble vide etR2sont à la fois des ouverts et des fermés deR2Définition 10.Les sous-ensembles fermés et bornés deR2sont appelés ensembles compacts deR2.2.2.4 Convexité

Définition 11.Un sous-ensembleDdeR2est dit convexe lorsque :

8(x;y)2D2;8t2[0;1]; tx+(1t)y2DAutrement dit : un sous-ensemble D est convexe si tout segment reliant deux points est inclus dans D.

Définition 12.SoitDun sous-ensemble convexe deR2, une fonctionfest dite convexe surDlorsque :

8(x;y)2D2;8t2[0;1]; f(tx+(1t)y)6tf(x)+(1t)f(y)11 M. Pelini, V. Ledda

Fonction de deux variablesAnalyse 2Figure12 - Ensemble convexeDéfinition 13.SoitDun sous-ensemble convexe deR2, une fonctionfest dite concave surDlorsquefest convexe.Les fonctions convexes et concave sont souvent utilisées en économie.

Exemple 8.Considérons la fonction de production de Cobb-Douglas suivante : f(x;y) = Axayb oùx >0 ety >0 sont les "inputs».

Supposonsa+b <1 (rendements d"échelle décroissants). Dans ce cas la fonctionfest concave.Figure13 - Fonction de Cobb-Webb (rendements d"échelle décroissants)

La surface se situe au dessus de toute corde.

Remarque 4.Démontrer qu"une fonction est convexe à l"aide de la définition est en général difficile, on donnera un

critère plus simple à utiliser dans la suite.

Exercice 3

Représenter chacun des ensembles suivants, puis dire s"il s"agit d"un ouvert, d"un fermé, d"un compact, d"un convexe,

etc. 1.

A = f(x;y)2R2jx+y >1g

2.

B =f(x;y)2R2jx2+y261g

3.

C = f(x;y)2R2jx2+y61g

4.

D = f(x;y)2R2jx+y >1 et 2xy>0g

2.3 Limite defenX012 M. Pelini, V. Ledda

Fonction de deux variablesAnalyse 2Définition 14.Soitfune fonction réelle de2variables réelles définie sur l"ensembleDetX0un point deR2.

On dit queftend vers`lorsqueXtend versX0, (Xrestant dansD) si : lim d(X;X0)!0

X2Djf(X)`j= 0oulimkXX0k!0

X2Djf(X)`j= 0

Cela signifie quef(X)est "proche de`" quandXest "suffisamment proche deX0".On notera dans ce cas : lim

X!X0

X2Df(X) =`.

SiD=R2, on notera simplement limX!X0f(X) cette limite.

Remarque 5.X0n"est pas nécessairement un point deDmais on doit pouvoir l"approcher par des points deD. En

termes topologiques, on dit que X0est un point adhérent àD

Exemple 9.

Considérons la fonctionfdéfinie surD=R2f(0;0)gpar :f(x;y) =xypx 2+y2

Le point O = (0;0) n"est pas dansDcependant, on peut l"approcher par des points deD. Déterminons limX!O

X2Df(X) :

Remarquons tout d"abord que8X = (x;y)2R2, on a :

jxj6kXk( carx26x2+y2). De mêmejyj6kXk.

Doncjf(X)j6jxjjyjpx

2+y26kXk2kXk,

on obtientjf(X)j6kXk. On en déduit que, quandkXk !0,f(X)!0. C"est à dire limX!O

X2Df(X) = 0.

Remarque 6.

D"un point de vue pratique, il est assez difficile de calculer des limites "à la main" pour des fonctions de

deux variables. Cependant, il est important de comprendre le principe car c"est sur le concept de limite que s"appuie

les autres concepts (continuité, dérivabilité, différentiabilité...) "Séance n

o3Les propriétés algébriques des limites sont les mêmes que pour les fonctions d"une variable réelle.

2.4 Continuité defenX0Définition 15.Soitfune fonction définie sur un sous-ensembleDdeR2etX02 D.

On dit quefest continue enX0sif(X)tend versf(X0)quandXtend versX0(suivant n"importe quel chemin dansD),

soit encorelimX!X0

X2Df(X) =f(X0).

On dit quefestcontinue surDsifest continue en tout point deD.Exemple 10.Soit X2R2, X = (x;y), on pose :f(X) =x.

(fest appelée lapremière projectionou encoreprojection sur la première coordonnée).

Soit donc X

0= (x0;y0).

On ajxx0j6p(xx0)2+(yy0)2, jf(X)f(X0)j6d(X;X0).

lim d(X;X0)!0jf(X)f(X0)j= 0,limX!X0f(X) =f(X0). Par conséquent, la fonctionfest continue en tout point X0deR2. Remarque 7.De même, la deuxième projection est également continue en tout point deR2. Ces exemples élémentaires nous seront très utiles par la suite.13 M. Pelini, V. Ledda

Fonction de deux variablesAnalyse 2Théorème 1.Soientfetgdeux fonctions réelles définies sur un sous-ensembleDdeR2etX0un point deD.

Sifetgsont continues enX0, alors :

i)quotesdbs_dbs35.pdfusesText_40

[PDF] fonction homogène de degré 0

[PDF] degré d'homogénéité des fonctions de production

[PDF] exercices corrigés d élasticité pdf

[PDF] servuction exemple

[PDF] eldorado laurent gaudé livre pdf

[PDF] lecture analytique eldorado laurent gaudé chapitre 5

[PDF] eldorado le cimetière de lampedusa commentaire

[PDF] lecture analytique eldorado laurent gaudé chapitre 10

[PDF] eldorado analyse

[PDF] lecture analytique eldorado chapitre 1

[PDF] eldorado laurent gaudé texte intégral

[PDF] lecture analytique eldorado laurent gaudé chapitre 13

[PDF] lecture analytique eldorado laurent gaudé chapitre 2

[PDF] lecture analytique eldorado laurent gaudé chapitre 12

[PDF] eldorado laurent gaudé chapitre 1