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La fonction de production est dite homogène de degré r si en multipliant chacune des variables (les facteurs de production K et T) par un nombre entier positif

Quand Est-ce qu'une fonction est homogène ?
Définition : Une fonction f : (x,y) ? f(x,y) est dite homogène de degré k ssi : pour tout a?R tel que f soit définie en (ax,ay) et (x,y), f(ax,ay) = akf(x,y).
Comment calculer le degré d'homogénéité d'une fonction de production ?
Q = A K b L a dans laquelle a et b sont des paramètres positifs et a + b mesure le degré d'homogénéité de la fonction.
1deux fois plus de produits.2plus de deux fois plus de produits.3moins deux fois plus de produits.
Pour étudier l'existence d'une dérivée partielle par rapport à la première variable en (0,0) ( 0 , 0 ) , on étudie le taux d'accroissement f(t,0)?f(0,0)t=0?0. f ( t , 0 ) ? f ( 0 , 0 ) t = 0 ? 0. Donc ?f?x(0,0) ? f ? x ( 0 , 0 ) existe et vaut 0.

Chapitre 1

La théorie du comportement

du consommateur

1 1. L

A THÉORIE DU COMPORTEMENT DU CONSOMMATEUR

1.1 Présentation générale du problème du consommateur

Soit x = (x

1 , x 2 , ... , x l ) un complexe (vecteur) de l biens ; chaque composante x h du vecteur représente la consommation en bien h. "Le consommateur choisit le meilleur complexe x dans un ensemble de complexes qui sont à priori possibles pour lui 1 Il faut d"abord définir quels sont les complexes possibles et ensuite dire ce que signifie le meilleur complexe x. Le consommateur est soumis à une contrainte physique et à une contrainte économique.

Contrainte physique

Soit X l"ensemble des complexes possibles (ou l"ensemble des consommations possibles).

La contrainte s"écrit x ε X où X est donné à priori et représente les contraintes physiques

qui sont imposées au consommateur. X peut être défini de plusieurs façons, par exemple : X= R l+ x ε X implique que toutes les composantes de x sont non négatives (x i ≥ 0, i = 1,

2, ... , l). Dans ce cas, le consommateur n"offre rien.

1 Malinvaud, E., Leçons de théorie microéconomique, 4

ème

éd., Dunod, Paris, 1982, (p. 12).

2 X ? R

+l certains vecteurs sont exclus de l"ensemble, par exemple pour représenter le fait qu"on assure les besoins élémentaires (minimum vital).X ? R² on peut admettre certaines composantes négatives représentant le travail, par exemple.

Contrainte économique

(ou contrainte institutionnelle) Le consommateur dispose du revenu R et fait face au vecteur de prix p (p = (p 1 , p 2 , ... , p l ) et p h > 0, (h = 1, ... , l)

La contrainte s"écrit :

px p x R hh h 1l , où R et p sont des données exogènes.

Meilleur complexe

Le choix du meilleur complexe dépend des préférences de l"individu. Ses préférences sont

représentées par une fonction d"utilité ()ux ux x x( ) , ,...,= 12l qu"il cherche à maximiser.

Soit x

1 et x 2 deux complexes de biens. u(x 1 ) > u(x 2 ) signifie que le consommateur préfère x 1 x 2

Équilibre du consommateur

Un équilibre du consommateur est un vecteur x

0 qui maximise l"utilité u(x) sous les contraintes physiques et économiques.

Données exogènes : u, X, R, p

3 Var. endogènes :

()xh h =1,...,l

Le vecteur x

0 dépend de u, X, p et R. Si x 0 est unique, on peut écrire :()xpR 0 c"est-à-dire : ()xpppR 1112
l ()xpppR 2212
l M ()xpppR hh 12 l où h est la fonction de demande du consommateur pour le bien h, laquelle fonction dépend des prix et de son revenu.

1.2 La représentation des préférences

Parmi l"ensemble X des consommations possibles, le consommateur choisit des complexes de biens selon ses préférences. On peut représenter ces préférences de deux façons : soit par un préordre de préférences (relation de préférence) ;

soit par une fonction d"utilité (u(x)).

Nous verrons que sous certaines hypothèses, il est équivalent de travailler avec l"une ou l"autre

de ces représentations.

La théorie des préférences

Définition : Soit "

f» la relation qui est définie entre les x de X. 1) x 1 ≥ x 2 signifie que x 1 est préféré à x 2 . C"est la relation de préférence faible. Le consommateur pense que x 1 est au moins aussi bon que x 2 (en termes d"utilité : u(x 1 ) ≥ u(x 2 2) x 1 f x 2 signifie que x 1 est préféré à x 2 . C"est la relation de préférence forte ; x 1 f x 2 si x 1 x 2 mais non x 2 ≥ x 1 . (en termes d"utilité : u(x 1 ) > u(x 2 3) x 1 ~ x 2 signifie que le consommateur est indifférent entre x 1 et x 2 . C"est la relation d"indifférence ; x 1 ~ x 2 si x 1 f x 2 et x 2 f x 1 . (en termes d"utilité : u(x 1 ) = u(x 2 4 Si on veut que les x de l"ensemble X soient ordonnés par la relation " f», cette relation doit respecter certaines exigences.

1.2.1 Axiomes de la théorie des préférences

A.1 (Ordre total

) Pour tout couple x 1 , x 2 ? X, ou bien x 1 ≥ x 2 ou bien x 2 ≥ x 1 . Tous les complexes de biens peuvent être comparés entre eux.

A.2 (Réflexivité

) Pour tout x ? X, x ≥ x

A.3 (Transitivité

) Si x 1 ≥ x 2 et si x 2 ≥ x 3 alors x 1 ≥ x 3 . Cet axiome nous assure qu"il y a un meilleur élément dans l"ensemble, ce qui est nécessaire pour les problèmes de maximisation. Les axiomes A.1, A.2 et A.3 définissent un préordre sur X

1.2.2 Lien entre le préordre et u

A.4 Pour tout x

0 ? X ( x ? X | x 0 ≥ x) l"ensemble de tous les x qui ne sont pas préférés à x 0 et ( x ? X | x ≥ x 0 ) l"ensemble de tous les x auxquels x 0 n"est pas préféré ; sont fermés dans X L"axiome A.4 nous assure qu"il n"y ait pas de discontinuité dans les choix du consommateur : intuitivement, si x 1 est préféré à x 2 et que x 3 est "très près» de x 1 , alors x 3 est aussi préféré à x 2

Remarques

Imposer les hypothèses sur u est équivalent à imposer des axiomes sur "≥». 5

On peut tout aussi bien construire la théorie du consommateur à partir de u qu"à partir

de " ≥». En général, il est plus simple de la faire à partir de u.

Proposition

En autant que X satisfait à certaines conditions générales très peu restrictives, on peut représenter

tout préordre (c"est-à-dire une relation " ≥» qui satisfait à A.1, A.2 et A.3) qui satisfait à A.4, par une fonction d"utilité continue. Il n"est donc pas plus restrictif de travailler avec u que de travailler avec "

1.3 La théorie de l"utilité

La fonction d"utilité est la deuxième façon de représenter les préférences des consommateurs.

Elle aide à classer les différents complexes x suivant l"ordre dans lequel le consommateur les choisit.

Le mot "utilité» peut porter à confusion : la théorie de l"utilité ne représente pas une théorie

psychologique ou philosophique particulière. C"est une théorie logique qui s"applique quelles

que soient les motivations du consommateur. Par ailleurs, pour l"économiste, u est une donnée et

on ne s"intéresse pas à sa provenance.

La "valeur numérique» donnée par u au complexe x n"a aucun sens en soi. Elle n"est utile que

dans la mesure où elle permet d"évaluer les préférences du consommateur par rapport aux différents complexes de biens. Supposons, par exemple, que l"utilité d"un consommateur soit u(x 1 , x 2 ) = x 1 x 2 . Si x 1 = x 2 = 2, alors u(x 1 , x 2 ) = 4. Nous savons alors que la valeur accordée par ce consommateur au complexe de bien (2, 2) est de 4, ce qui ne signifie rien en soi. Cependant, si xx 12 3 ==, alors ()ux x 12 9 ,=, ce qui nous permet de dire que le consommateur préfère le complexe (3, 3) au complexe (2, 2) puisque u(3, 3) = 9 > u (2, 2) = 4. 6

La surface d"indifférence associée à x

0 est l"ensemble de tous les complexes x tels que u(x) = u(x 0

Exemple

Soit u(x

1 , x 2 ) = x 1 x 2 . Posons x 0 = (3, 3). La courbe d"indifférence associée à x 0 est alors l"ensemble de tous les couples (x 1 , x 2 ) pour lesquels u(x 1 , x 2 ) = x 1 x 2 = 9.

Soit la fonction

$,ux x x x 12 12 1212
=. En fait, û(x)=φ(u(x)), où φ(u)=u . De plus,

φ"(u)=½ u

>0. Donc, û(x) est une transformation croissante de u(x). Les fonctions û(x) et u(x) ont les mêmes courbes d"indifférence. Pour x 0 =(3, 3), û(x)=9 = 3 et la courbe d"indifférence associée à x 0 telle que û(x) = 3 est la même que la courbe d"indifférence associée à x 0 telle que u(x) = 9. Ce qui diffère, c"est le niveau d"utilité associé à la courbe

d"indifférence. Cependant, les préférences du consommateur seront reflétées de la même façon

que l"on utilise l"une ou l"autre des fonctions û(x) et u(x). (voir graphique 1-01)

1 2 3 4 5 6 7 8 91

23 4 5 6 789

1- 01 u(x 1 ,x 2 )=16 ; û(x 1 ,x 2 )= 4 u(x 1 ,x 2 )=9 ; û(x 1 ,x 2 )= 3 x 1quotesdbs_dbs35.pdfusesText_40

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Quand Est-ce qu'une fonction est homogène ?

Comment calculer le degré d'homogénéité d'une fonction de production ?

Q = A K b L a dans laquelle a et b sont des paramètres positifs et a + b mesure le degré d'homogénéité de la fonction.