[PDF] Fonctions homog`enes concaves et convexes

ces outils est récurrent dans le domaine des sciences économiques Propriété 2 : Si f est une fonction homogène de degré k les fonctions moyennes

Les fonctions de production dans la littérature économique - Érudit

Le rapport des prix des facteurs étant constant on peut prouver que — 35 — Page 10 L'ACTUALITÉ ÉCONOMIQUE pour toute fonction de production homogène le

[PDF] La fonction de production

L'entreprise est définie comme l'agent économique qui a pour fonction de La fonction de production est dite homogène de degré r si en multipliant

[PDF] Chapitre 2 : les fonctions à plusieurs variables

autres variables économiques et non d'une seul Définition : Si f est une fonction homogène de degré ? admettant des dérivée partielles premières

[PDF] Microéconomie du producteur - Eloge des SES

est un problème économique (fonction des prix relatifs des inputs ainsi que du prix de l'output) : • Prise en compte les coûts de production

[PDF] Chapitre 1 La théorie du comportement du consommateur

Contrainte économique (ou contrainte institutionnelle) où ?h est la fonction de demande du consommateur pour le bien h alors f est homogène de

[PDF] Chapitre II La théorie de la production et des coûts

Lien avec les fonctions homogènes : Si g est une fonction homogène de degré k g est caractérisée par des rendements à l'échelle : croissants:

[PDF] Fonction de deux variables

22 jui 2018 · [Fonction d'utilité] On s'intéresse à une économie où deux biens distincts sont Soit f une fonction homogène de degré ? sur D

[PDF] Fonctions homog`enes concaves et convexes - LaBRI

4 sept 2016 · Fonctions homog`enes en ´economie Définition Si f est une fonction de production de n variables : f(x1··· xn) n inputs pour 1 output

[PDF] Leçon 02 – Cours : Fonctions à plusieurs variables

Propriété 1: Si une fonction homogène est de degré k ses dérivées partielles si elles existent sont homogènes de degré k-1 Démonstration: soit f : (xy) ?

[PDF] Chapitre 2 : les fonctions à plusieurs variables

Chapitre 2 : les fonctions à plusieurs variables ? Faculté de l'Economie et de Gestion de Béni Mellal Sciences Economique Gestion (S1)

[PDF] Fonction de deux variables

22 jui 2018 · [Fonction d'utilité] On s'intéresse à une économie où deux biens distincts sont disponibles Notons x et y les quantités respectives de ces deux

[PDF] Fonctions homog`enes concaves et convexes - LaBRI

4 sept 2016 · Fonctions homog`enes en ´economie Définition Si f est une fonction de production de n variables : f(x1··· xn) n inputs pour 1 output

Les fonctions de production dans la littérature économique - Érudit

Dans ce cas la fonction est homogène si tous les termes contenant les variables indépen' dantes sont du même degré Le degré d'homogénéité est égal au degré

[PDF] Dossier 8 : Fonctions de deux variables réelles

Université-Paris 1 Mathématiques L1 Economie 2015-2016 Dossier 8 : Fonctions de deux Toute fonction homogène de degré k vérifie l'identité d'Euler :

Fonction homogène - Wikipédia

En mathématiques une fonction homogène est une fonction qui a un comportement d'échelle multiplicatif par rapport à son ou ses arguments : si l'argument

[PDF] Sur quelques formules des fonctions homogènes et sur - Numdam

Sur quelques formules des fonctions homogènes et sur la démonstration d'un théorème qui s'y rattache Bulletin de la S M F tome 30 (1902) p 181-194

[PDF] Feuille dexercices 2 - Université de Rennes

Licence d'économie et gestion Exercice 4 Calculer les taux de croissance instantanés des fonctions suivantes 3) La fonction F est-elle homogène ?

[PDF] La fonction de production

La fonction de production est dite homogène de degré r si en multipliant chacune des variables (les facteurs de production K et T) par un nombre entier positif

Quand Est-ce qu'une fonction est homogène ?
Définition : Une fonction f : (x,y) ? f(x,y) est dite homogène de degré k ssi : pour tout a?R tel que f soit définie en (ax,ay) et (x,y), f(ax,ay) = akf(x,y).
Comment calculer le degré d'homogénéité d'une fonction de production ?
Q = A K b L a dans laquelle a et b sont des paramètres positifs et a + b mesure le degré d'homogénéité de la fonction.
1deux fois plus de produits.2plus de deux fois plus de produits.3moins deux fois plus de produits.
Pour étudier l'existence d'une dérivée partielle par rapport à la première variable en (0,0) ( 0 , 0 ) , on étudie le taux d'accroissement f(t,0)?f(0,0)t=0?0. f ( t , 0 ) ? f ( 0 , 0 ) t = 0 ? 0. Donc ?f?x(0,0) ? f ? x ( 0 , 0 ) existe et vaut 0.

Fonctions homog`enes, concaves et convexes

Herv´e Hocquard

Universit

´e de Bordeaux, France

4 septembre 2016

Fonctions homog`enes

D´efinition

Soitf: (R?+)n→R. Soitr?R.

On dit quefest homog`ene de degr´ersi :

?t?R?+,f(tX) =trf(X),pour toutX?(R?+)n

Fonctions homog`enes

D´efinition

Soitf: (R?+)n→R. Soitr?R.

On dit quefest homog`ene de degr´ersi :

?t?R?+,f(tX) =trf(X),pour toutX?(R?+)n

Exemple

f(x,y,z) =kxαyβzγ(Cobb-Douglas`a 3 variables) f(x,y,z) =ax2+by2+cz2+dxy+exz+fyz(quadratique)

Fonctions homog`enes

D´efinition

Soitf: (R?+)n→R. Soitr?R.

On dit quefest homog`ene de degr´ersi :

?t?R?+,f(tX) =trf(X),pour toutX?(R?+)n

Exemple

f(x,y,z) =kxαyβzγ(Cobb-Douglas`a 3 variables) f(x,y,z) =ax2+by2+cz2+dxy+exz+fyz(quadratique)

Attention

f(x,y) =?25-x2-y2 fn"est pas homog`ene.

Fonctions homog`enes en´economie

D´efinition

Sifest une fonction de production denvariables :f(x1,···,xn) ninputs pour 1 output

Fonctions homog`enes en´economie

D´efinition

Sifest une fonction de production denvariables :f(x1,···,xn) ninputs pour 1 output

1Sifest homog`ene de degr´e 1 alors

f(tx1,···,txn) =tf(x1,···,xn). Si on double tous les inputs alors la production double.

On dit qu"une telle fonction est

`a rendements d"´echelle constants.

Fonctions homog`enes en´economie

D´efinition

Sifest une fonction de production denvariables :f(x1,···,xn) ninputs pour 1 output

1Sifest homog`ene de degr´e 1 alors

f(tx1,···,txn) =tf(x1,···,xn). Si on double tous les inputs alors la production double.

On dit qu"une telle fonction est

`a rendements d"´echelle constants.

2Sifest homog`ene de degr´eravec 0 dite `a rendements d"´echelle d´ecroissants.
Fonctions homog`enes en´economie

D´efinition
Sifest une fonction de production denvariables :f(x1,···,xn) ninputs pour 1 output
1Sifest homog`ene de degr´e 1 alors
f(tx1,···,txn) =tf(x1,···,xn). Si on double tous les inputs alors la production double.
On dit qu"une telle fonction est
`a rendements d"´echelle constants.
2Sifest homog`ene de degr´eravec 0 dite `a rendements d"´echelle d´ecroissants.
3Sifest homog`ene de degr´eravecr>1 alorsfest dite`a
rendements d"
´echelle croissants.

Fonctions homog`enes

Propri´et´e
Une fonction de Cobb-Douglasf(x1,···,xn) =kxα11···xαnn est homog `ene de degr´e
α1+···+αn.

Fonctions homog`enes

Propri´et´e
Une fonction de Cobb-Douglasf(x1,···,xn) =kxα11···xαnn est homog `ene de degr´e
α1+···+αn.

Th´eor`eme
Sifest de classeC1et sifest homog`ene de degr´er, alors ses d ´eriv´ees partielles sont homog`enes de degr´er-1.
Fonctions homog`enes

Propri´et´e
Une fonction de Cobb-Douglasf(x1,···,xn) =kxα11···xαnn est homog `ene de degr´e
α1+···+αn.

Th´eor`eme
Sifest de classeC1et sifest homog`ene de degr´er, alors ses d ´eriv´ees partielles sont homog`enes de degr´er-1.
Exercice
Preuves de la propri´et´e et du th´eor`eme...
Fonctions homog`enes

Th´eor`eme d"Euler
Soitfune fonction de classeC1sur(R?+)net homog`ene de degr
´er.

Alors, pour toutX?(R?+)n:
x 1 ∂f ∂x1(X)+···+xn ∂f ∂xn(X) =r×f(X) =X·?f(X)
Ce qui s"

´ecrit :
n∑ i=1
εf/xi(X) =r.

Fonctions homog`enes

Th´eor`eme d"Euler
Soitfune fonction de classeC1sur(R?+)net homog`ene de degr
´er.

Alors, pour toutX?(R?+)n:
x 1 ∂f ∂x1(X)+···+xn ∂f ∂xn(X) =r×f(X) =X·?f(X)
Ce qui s"

´ecrit :
n∑ i=1
εf/xi(X) =r.

Exercice

Preuve du th´eor`eme...

Fonctions homog`enes

Exercice
Soitfla fonction de production d´efinie surD?=?R?+? 2par f(x,y) =x1/3⎷ y
1Montrer quefest homog`ene et d´eterminer son degr´e
d"homog
´en´eit´e.

2Si on double les quantit´esxety, comment varie la
production def?
3Montrer quefv´erifie l"´egalit´e d"Euler.

Fonctions homog`enes

R´eciproque du Th´eor`eme d"Euler

Sifest une fonction de classeC1sur(R?+)net si
n∑ i=1x i ∂f ∂xi(X) =r×f(X) pour toutX?(R?+)n. Alors,fest homog`ene de degr´er.
Fonctions d"une variable : Rappels

D´efinition

La fonctionfest dite convexe si
?(x,y)?I2,?
Elle est dite concave si-fest convexe.

Fonctions d"une variable : Rappels

D´efinition

La fonctionfest dite convexe si
?(x,y)?I2,?
Elle est dite concave si-fest convexe.

D´efinition bis
On dit quefest convexe (resp. concave) sur un intervalleIsi pour tous pointsAetBde la courbe repr´esentantf, l"arc de courbe est situ
´e au-dessous (au-dessus) du segment[AB].

Fonctions d"une variable : Rappels

D´efinition

La fonctionfest dite convexe si
?(x,y)?I2,?
Elle est dite concave si-fest convexe.

D´efinition bis
On dit quefest convexe (resp. concave) sur un intervalleIsi pour tous pointsAetBde la courbe repr´esentantf, l"arc de courbe est situ
´e au-dessous (au-dessus) du segment[AB].

Exemples
Les fonctionsx?-→x2,x?-→ |x|sont convexes.
Fonctions d"une variable : Rappels
xx |yyA B f(x) f(y)
λf(x)+(1-λ)f(y)
f?λx+(1-λ)y?
λx+(1-λ)y
Cf
Fonctions d"une variable : Rappels

Th´eor`eme

Soitfune fonction de classeC1sur un intervalleI.
Alorsfest convexe (resp. concave) surIsi et seulement si : f(y)-f(x)≥f?(x)(y-x),?(x,y)?I2
Fonctions d"une variable : Rappels

Th´eor`eme
Soitfune fonction de classeC2sur un intervalleI. Alors : fest convexe surI??f??(x)≥0 pour toutx?I
Fonctions d"une variable : Rappels

Th´eor`eme
Soitfune fonction de classeC2sur un intervalleI. Alors : fest convexe surI??f??(x)≥0 pour toutx?I
In´egalit´es de convexit´e
Sifest d´erivable et convexe surIalors sa courbe repr ´esentative est au-dessus de chacune de ses tangentes : ?a,x?I,f(x)≥f?(a)(x-a)+f(a)
Pour les fonctions concaves l"in

´egalit´e est invers´ee.

Fonctions d"une variable : Rappels
L"int´erˆet des fonctions convexes ou concaves dans les probl `emes d"optimisation s"explique par le r´esultat suivant :
Fonctions d"une variable : Rappels
L"int´erˆet des fonctions convexes ou concaves dans les probl `emes d"optimisation s"explique par le r´esultat suivant :
Th´eor`eme
Soitfune fonction concave (resp. convexe) sur intervalle ouvert I. Six0est un point critique pourf, alorsfpr´esente enx0un maximum (resp. minimum) global surI.
Passage`a la dimensionn

D´efinition
Soitf:Rn→Rd´efinie sur un ensemble convexeU.
On dit quefest concave (resp. convexe) surUsi :

λ?[0,1],?X,Y?U
f resp.f?
λX+(1-λ)Y??λf(X)+(1-λ)f(Y)?

Passage`a la dimensionn

Th´eor`eme

Soitfde classeC1d´efinie sur un convexeU.
Alorsfest concave (resp. convexe) surUsi et seulement : ?X,Y?U i=1 ∂f ∂xi(yi-xi) i=1 ∂f ∂xi(yi-xi)?
Formes quadratiques et matrices sym´etriques

D´efinition : Rappels
Une forme quadratique d´efinie surRnest une fonction`a valeurs r
´eelles qui peut s"´ecrire sous la forme :
q(x1,···,xn) =n∑ i=1a iix2i+2∑iCette fonction est une forme quadratique.

Formes quadratiques et matrices sym´etriques

Exercice
D´eterminer les formes quadratiques associ´ees aux matrices suivantes :
A=?1-2
-2 3? ,B=((1-1 2 -1 2-3
2-3 4))

Formes quadratiques et matrices sym´etriques

D´efinition

SoitAune matrice sym´etrique d"ordren.

AlorsAest dite :

Formes quadratiques et matrices sym´etriques

D´efinition

SoitAune matrice sym´etrique d"ordren.

AlorsAest dite :

1d´efinie positive (resp. semi-d´efinie positive) si
q(x1,···,xn) =X AtX>0 pour toutX?RnetX?=ORn (resp.q(x1,···,xn) =X AtX≥0)
Formes quadratiques et matrices sym´etriques

D´efinition

SoitAune matrice sym´etrique d"ordren.

AlorsAest dite :

1d´efinie positive (resp. semi-d´efinie positive) si
q(x1,···,xn) =X AtX>0 pour toutX?RnetX?=ORn (resp.q(x1,···,xn) =X AtX≥0)
2d´efinie n´egative (resp. semi-d´efinie n´egative) si
q(x1,···,xn) =X AtX<0 pour toutX?RnetX?=ORn
Formes quadratiques et matrices sym´etriques

D´efinition

SoitAune matrice sym´etrique d"ordren.

AlorsAest dite :

1d´efinie positive (resp. semi-d´efinie positive) si
q(x1,···,xn) =X AtX>0 pour toutX?RnetX?=ORn (resp.q(x1,···,xn) =X AtX≥0)
2d´efinie n´egative (resp. semi-d´efinie n´egative) si
q(x1,···,xn) =X AtX<0 pour toutX?RnetX?=ORn
3ind´efinie s"il existe des vecteursXdeRntel queX AtX>0
et d"autres tel queX AtX<0.
Hessienne : propri´et´e

Th´eor`eme
Toute matrice sym´etrique`a coefficients r´eels est diagonalisable.
Toute matrice hessienne
`a coefficients r´eels est diagonalisable.
Hessienne et fonctions concaves ou convexes

Th´eor`eme

Soitfde classeC2sur un sous-ensemble ouvertUdeRn.
Alors,fest une fonction concave surUsi et seulement si la matrice hessienne defest semi-d´efinie n´egative pour toutX deU. La fonctionfest convexe surUsi et seulement la matrice hessienne defest semi-d´efinie positive pour toutXdeU.
Hessienne et fonctions concaves ou convexes

Th´eor`eme

Soitfde classeC2sur un sous-ensemble ouvertUdeRn.
Alors,fest une fonction concave surUsi et seulement si la matrice hessienne defa toutes ses valeurs propres n´egatives ou nulles. La fonctionfest convexe surUsi et seulement la matrice hessienne defa toutes ses valeurs propres positives ou nulles.
Hessienne et fonctions concaves ou convexes

Remarque
DansR2, on utilisera une propri´et´e pratique...car d´ecomposer des formes quadratiques en somme de carr
´es...ce n"est pas
gagn ´e
Hessienne et fonctions concaves ou convexes

Th´eor`eme

Soitfde classeC2sur un sous-ensemble ouvertUdeR2.

Alors :

Hessienne et fonctions concaves ou convexes

Th´eor`eme

Soitfde classeC2sur un sous-ensemble ouvertUdeR2.

Alors :

1fest concave surUsi et seulement si?(x,y)?U,
tr(Hf(x,y))<0 etdet(Hf(x,y))≥0.
Hessienne et fonctions concaves ou convexes

Th´eor`eme

Soitfde classeC2sur un sous-ensemble ouvertUdeR2.

Alors :

1fest concave surUsi et seulement si?(x,y)?U,
tr(Hf(x,y))<0 etdet(Hf(x,y))≥0.
2fest convexe surUsi et seulement si?(x,y)?U,
tr(Hf(x,y))>0 etdet(Hf(x,y))≥0.
Hessienne et fonctions concaves ou convexes

Th´eor`eme

Soitfde classeC2sur un sous-ensemble ouvertUdeR2.

Alors :

1fest concave surUsi et seulement si?(x,y)?U,
tr(Hf(x,y))<0 etdet(Hf(x,y))≥0.
2fest convexe surUsi et seulement si?(x,y)?U,
tr(Hf(x,y))>0 etdet(Hf(x,y))≥0.
3sinon, on ne peut rien dire···

Hessienne et fonctions concaves ou convexes

Exercice
Les fonctionsfetgsuivantes sont-elles convexes ou concaves surR2? f(x,y) =x4+x2y2+y4-3x-8y,g(x,y) =xy
Hessienne et fonctions concaves ou convexes

Exercice
On consid`ere une fonction de Cobb-Douglas de deux variablesquotesdbs_dbs35.pdfusesText_40

[PDF] [PDF] Fonctions homog`enes concaves et convexes - LaBRI

Quand Est-ce qu'une fonction est homogène ?

Comment calculer le degré d'homogénéité d'une fonction de production ?

Q = A K b L a dans laquelle a et b sont des paramètres positifs et a + b mesure le degré d'homogénéité de la fonction.

Fonctions homog`enes, concaves et convexes

Herv´e Hocquard

Universit

´e de Bordeaux, France

4 septembre 2016

Fonctions homog`enes

D´efinition

Soitf: (R?+)n→R. Soitr?R.

On dit quefest homog`ene de degr´ersi :

Fonctions homog`enes

D´efinition

Soitf: (R?+)n→R. Soitr?R.

On dit quefest homog`ene de degr´ersi :

Exemple

Fonctions homog`enes

D´efinition

Soitf: (R?+)n→R. Soitr?R.

On dit quefest homog`ene de degr´ersi :

Exemple

Attention

Fonctions homog`enes en´economie

D´efinition

Fonctions homog`enes en´economie

D´efinition

1Sifest homog`ene de degr´e 1 alors

On dit qu"une telle fonction est

Fonctions homog`enes en´economie

D´efinition

1Sifest homog`ene de degr´e 1 alors

On dit qu"une telle fonction est

Fonctions homog`enes en´economie

D´efinition

1Sifest homog`ene de degr´e 1 alors

On dit qu"une telle fonction est

3Sifest homog`ene de degr´eravecr>1 alorsfest dite`a

´echelle croissants.

Fonctions homog`enes

Propri´et´e

α1+···+αn.

Fonctions homog`enes

Propri´et´e

α1+···+αn.

Th´eor`eme

Fonctions homog`enes

Propri´et´e

α1+···+αn.

Th´eor`eme

Exercice

Fonctions homog`enes

Th´eor`eme d"Euler

´er.

Alors, pour toutX?(R?+)n:

Ce qui s"

´ecrit :

εf/xi(X) =r.

Fonctions homog`enes

Th´eor`eme d"Euler

´er.

Alors, pour toutX?(R?+)n:

Ce qui s"

´ecrit :

εf/xi(X) =r.

Exercice

Preuve du th´eor`eme...

Fonctions homog`enes

Exercice

1Montrer quefest homog`ene et d´eterminer son degr´e

´en´eit´e.

2Si on double les quantit´esxety, comment varie la

3Montrer quefv´erifie l"´egalit´e d"Euler.

Fonctions homog`enes

R´eciproque du Th´eor`eme d"Euler

Sifest une fonction de classeC1sur(R?+)net si

Fonctions d"une variable : Rappels

D´efinition

La fonctionfest dite convexe si