ENSEMBLES DE NOMBRES
Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr. 4. Nombres rationnels. Un nombre rationnel peut s'écrire sous la forme d'un quotient.
Écrire un nombre rationnel sous plusieurs formes. • Connaître l
1) Puissance d'un nombre rationnel a) Définition b) Propriétés. 2) Les puissances de dix a) Propriétés : b) Ecriture décimale d'une puissance de 10 :.
Nombres rationnels et irrationnels
Écriture décimale des nombres. • Définition d'un nombre rationnel (rappel) : On appelle nombre rationnel un nombre qui peut s'écrire comme quotient de deux
NOMBRES RÉELS (Partie 1)
Définition : Un nombre rationnel est une fraction (*). L'ensemble des nombres rationnels est noté ?. (*) Une fraction s'écrit sous la forme d'un quotient avec
Les nombres entiers et rationnels (cours)
On remarque que 37 est aussi un nombre rationnel car 37 peut s'écrire sous la a) Définition : Deux nombres sont inverses l'un de l'autre si leur produit ...
Chapitre 1 : Les nombres rationnels 1. Les différentes sortes de
Définition : Un nombre est rationnel s'il peut s'écrire sous la forme a Propriété : Pour tout nombre rationnel il existe une fraction plus simple que ...
Chapitre 11 : Nombres entiers et rationnels. PGCD
3/ Les nombres rationnels. Définition a et b sont deux nombres entiers ; b étant différent de 0 . Un nombre rationnel est un nombre qui peut s'écrire sous
Les nombres rationnels : les fractions
Définition: on appelle nombre rationnel tout nombre qui peut s'écrire sous la forme d'une fraction. Une fraction c'est un quotient.
Nombres rationnels
Définition: On désigne par a et b deux nombres avec b différent de zéro. quotient est noté a : b ou avec la fraction il s'agit d'un nombre rationnel.
LES NOMBRES RÉELS
Les nombres irrationnels. Définition : Un nombre réel qui n'est pas rationnel est dit irrationnel. Exemples : ?2 ?3 ou encore sont des nombres
Les nombres entiers et rationnels (cours) - ac-versaillesfr
Un nombre rationnel est le quotient d’un nombre entier relatif par un nombre entier relatifs non nul Un nombre irrationnel est un nombre qui n’est pas rationnel II Fractions : 1) Somme et différence : a) Règle n°1: si a et b sont deux nombres relatifs quelconques et si k ? 0 alors : a k + b k = a+b k et a k ? b k =
I Les nombres rationnels : óª ß © ªË÷ I Définition : un
Définition : un nombre rationnel est le rapport de deux nombres décimaux Tout nombre décimal est rationnel mais la réciproque n ¶est pas toujours vraie óª © ªË òë ôß ß © ªË÷ à ã 123 17 0 ; 23123 ; 3 7 ; 78 0 Exemples : les nombres suivants sont rationnels : II
I Nombres entiers rationnels et irrationnels Algèbre I - 1
Un nombre irrationnel est un nombre dont la partie décimale est illimitée non périodique I 2 Intervalles fermés et ouverts Certains sous-ensembles des nombres réels sont très souvent utilisés ce sont les intervalles
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CHAPITRE 1 : NOMBRES RATIONNELS 4 4 2 RETROUVER LE RATIONNEL À partir de l’ériture déimale périodique d’un nomre on peut retrouver son écriture sous forme de fraction Exemple Nous appelons N la fraction alors N=2 N= 2 Alors 5 NOMBRES RATIONNELS
Comment écrire un nombre rationnel ?
On peut ainsi écrire les nombres rationnels sous forme de fractions notées où , le numérateur, est un entier relatif et , le dénominateur, est un entier relatif non nul. Un nombre entier est un nombre rationnel : il peut s'exprimer sous la forme .
Quelle est la différence entre un nombre rationnel et un nombre irrationnel ?
Cela est vrai dans n'importe quelle base. Réciproquement, si un nombre possède un développement décimal périodique dans au moins une base, alors c'est un nombre rationnel. Un nombre réel qui n'est pas rationnel est dit irrationnel.
Quels sont les nombres entiers et rationnels ?
NOMBRES ENTIERS ET RATIONNELS I Nature des nombres : 1) Activité : En maternelle, on a appris à compter des objets, et on utilisait les nombres 1 , 2 , 3 ….ces nombres sont les premiers qui sont utilisés « naturellement » , on les nomme les nombres entiers naturels.
Comment évaluer la rationalité d'un nombre ?
Le développement décimal illimité d'un nombre rationnel est périodique et, réciproquement, un nombre à développement décimal périodique est toujours rationnel. Ce critère est néanmoins malcommode pour évaluer la rationalité d'un nombre. Un deuxième critère est donnée par l’utilisation de fractions continues.
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Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.frLES NOMBRES RÉELS
PARTIE A : NOTION DE NOMBRE RÉEL
I. Nombres décimaux, nombres rationnels
Vidéo https://youtu.be/pKxTaiqnyHg
1. Nombres décimaux
Un nombre décimal est un nombre de la forme
, avec a entier et p entier naturel. Un nombre décimal peut s'écrire avec un nombre fini de chiffres après la virgule. L'ensemble des nombres décimaux est noté ⅅ.Exemples :
0,56 ∈ ⅅ
3 ∈ ⅅ
∉ ⅅmais2. Nombres rationnels
Un nombre rationnel est un nombre sous la forme d'un quotient avec a un entier et b un entier non nul.Exemples :
Démonstration :
Vidéo https://youtu.be/SHRo1ISyIXI
Démontrons que le nombre rationnel
n'est pas décimal : On va effectuer une démonstration par l'absurde en supposant que est décimal. Si notre démonstration aboutit à une absurdité, cela prouvera que notre hypothèse de départ est fausse.2 sur 7
Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.frSupposons donc que
est décimal.Alors il s'écrit sous la forme
avec a entier et p entier naturel.Donc 10
5 =3 et donc 10 5 est divisible par 3. Un nombre est divisible par 3 lorsque la somme de ses chiffres est divisible par 3. Or, ceci est impossible car la somme des chiffres de 10 5 est 1, et 1 n'est pas divisible par 3. Donc l'hypothèse posée au départ est fausse et donc n'est pas décimalII. Nombres réels
1. Définition
Un nombre est réel s'il est l'abscisse d'un point d'une droite graduée appelée la droite numérique. L'ensemble des nombres réels est noté ℝ. C'est l'ensemble de tous les nombres que nous utiliserons en classe de seconde.Exemples :
2, 0, -5, 0.67,
3 ou appartiennent à ℝ.
2. Classification des nombres
Tous les nombres de l'ensemble des entiers naturels ℕ appartiennent à l'ensemble desOn a également les inclusions suivantes :
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Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.frLa classification des nombres :
Vidéo https://youtu.be/kL-eMNZiARM
3. Les nombres irrationnels
Définition : Un nombre réel qui n'est pas rationnel est dit irrationnel.Exemples :
2,3 ou encore sont des nombres irrationnels. Ils ne peuvent pas s'écrire
sous la forme avec a et b deux entiers relatifs, b non nul. Comme pour un nombre rationnel, il n'est pas possible d'écrire un nombre irrationnel sousforme décimale. En effet, le nombre de décimales qui le constitue est infini mais de surcroît
ces décimales se suivent sans suite logique.Démonstration : Irrationalité de
2 On va effectuer une démonstration par l'absurde en supposant que 2 est rationnel. Si notre démonstration aboutit à une absurdité, cela prouvera que notre hypothèse de départ est fausse.Supposons donc que
2 est un rationnel.Il s'écrit alors
2 = avec a et b entiers naturels premiers entre eux, b non nul.Ainsi :
= 2 soit =2On en déduit que a
2 est pair, ce qui entraîne que a est pair.En effet, si a était impair, alors a
2 serait impair (voir Chapitre " Notion de multiple, diviseur et nombre premier »). Puisque a est pair, il existe un entier naturel k tel que a = 2k.Comme,
=2On a :
2
=24 sur 7
Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.frSoit : 4
=2Soit encore
=2On en déduit que b
2 est pair, ce qui entraîne que b est pair. Or, a et b sont premiers entre eux, donc ils ne peuvent être pairs simultanément. On aboutit à une absurdité. Donc,2 n'est pas un rationnel.
Et donc,
2 est un irrationnel.
Déterminer un arrondi d'un nombre :
Vidéo https://youtu.be/53VOST9yJfg
Méthode : Donner un encadrement d'un nombre réelVidéo https://youtu.be/sJIXJT3fdcU
A l'aide de la calculatrice donner un encadrement à 10 -3 de2 et de
3. La calculatrice affiche des valeurs approchées :On a alors les encadrements à 10
-3 : 1,414<2<1,415 et 1,732<
3<1,733.
PARTIE B : INTERVALLES
I. Notations
droite graduée. Cet ensemble est appelé un intervalle et se note : [2 ; 4]Exemple :
2 4 0 1
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Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.frOn a par exemple :
4 ∈ [-2 ; 7]
-1 ∈ [-2 ; 7]8 ∉ [-2 ; 7]
Vidéo https://youtu.be/9MtAK7Xzrls
Nombres réels x Notation Représentation
[2 ; 4]2 < x < 4
]2 ; 4[ x ≥ 2 [2 ; +∞[ ∞ désigne l'infini x > -1 ]-1 ; +∞[ ]-∞ ; 3] x < 2 ]-∞ ; 2[Remarque : L'ensemble des nombres réels ℝ est un intervalle qui peut se noter ]-∞ ; +∞[.
0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1
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Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.frII. Intervalle ouvert et intervalle fermé
Définitions :
On dit qu'un intervalle est fermé si ses extrémités appartiennent à l'intervalle.On dit qu'il est ouvert dans le cas contraire.
Exemples :
Vidéo https://youtu.be/Il_nVCMHIu8
- L'intervalle [-2 ; 5] est un intervalle fermé.On a : -2 ∈ [-2 ; 5] et 5 ∈ [-2 ; 5]
- L'intervalle ]2 ; 6[ est un intervalle ouvert.On a : 2 ∉ ]2 ; 6[ et 6 ∉ ]2 ; 6[
- L'intervalle6;+∞
est également un intervalle ouvert.III. Intersections et réunions d'intervalles
Définitions :
- L'intersection de deux ensembles A et B est l'ensemble des éléments qui appartiennent à A et à B et se note A∩B. - La réunion de deux ensembles A et B est l'ensemble des éléments qui appartiennent à A ou à B et se note A∪B. Méthode : Déterminer l'intersection et la réunion d'intervallesVidéo https://youtu.be/8WJG_QHQs1Y
Vidéo https://youtu.be/hzINDVy0dgg
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Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.fr Dans les cas suivants, déterminer l'intersection et la réunion des intervalles I et J :1) I = [-1 ; 3] et J = ]0 ; 4[ 2) I = ] -∞ ; -1] et J = [1 ; 4]
1) Pour visualiser les ensembles solutions, on peut représenter les intervalles I et J sur un
même axe gradué. Les nombres de l'intersection des deux ensembles sont les nombres qui appartiennent à la fois aux deux ensembles. Il s'agit donc de la zone de l'axe gradué où les deux ensembles se superposent. Ainsi I ∩ J = ]0 ; 3]. Les nombres de la réunion des deux ensembles sont les nombres qui appartiennent au moins à l'un des deux ensembles. Il s'agit donc de la zone de l'axe gradué marquée soit par l'intervalle I soit par l'intervalle J. Ainsi I ∪ J = [-1 ; 4[. 2) Ici, les ensembles I et J n'ont pas de zone en commun. L'intersection des deux intervalles est vide. Un ensemble qui ne contient aucun élément s'appelle l'ensemble vide et se note ∅.On a alors : I ∩ J = ∅
I ∪ J = ] -∞ ; -1] ∪ [1 ; 4]
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