ENSEMBLES DE NOMBRES
Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr. 4. Nombres rationnels. Un nombre rationnel peut s'écrire sous la forme d'un quotient.
Écrire un nombre rationnel sous plusieurs formes. • Connaître l
1) Puissance d'un nombre rationnel a) Définition b) Propriétés. 2) Les puissances de dix a) Propriétés : b) Ecriture décimale d'une puissance de 10 :.
Nombres rationnels et irrationnels
Écriture décimale des nombres. • Définition d'un nombre rationnel (rappel) : On appelle nombre rationnel un nombre qui peut s'écrire comme quotient de deux
NOMBRES RÉELS (Partie 1)
Définition : Un nombre rationnel est une fraction (*). L'ensemble des nombres rationnels est noté ?. (*) Une fraction s'écrit sous la forme d'un quotient avec
Les nombres entiers et rationnels (cours)
On remarque que 37 est aussi un nombre rationnel car 37 peut s'écrire sous la a) Définition : Deux nombres sont inverses l'un de l'autre si leur produit ...
Chapitre 1 : Les nombres rationnels 1. Les différentes sortes de
Définition : Un nombre est rationnel s'il peut s'écrire sous la forme a Propriété : Pour tout nombre rationnel il existe une fraction plus simple que ...
Chapitre 11 : Nombres entiers et rationnels. PGCD
3/ Les nombres rationnels. Définition a et b sont deux nombres entiers ; b étant différent de 0 . Un nombre rationnel est un nombre qui peut s'écrire sous
Les nombres rationnels : les fractions
Définition: on appelle nombre rationnel tout nombre qui peut s'écrire sous la forme d'une fraction. Une fraction c'est un quotient.
Nombres rationnels
Définition: On désigne par a et b deux nombres avec b différent de zéro. quotient est noté a : b ou avec la fraction il s'agit d'un nombre rationnel.
LES NOMBRES RÉELS
Les nombres irrationnels. Définition : Un nombre réel qui n'est pas rationnel est dit irrationnel. Exemples : ?2 ?3 ou encore sont des nombres
Les nombres entiers et rationnels (cours) - ac-versaillesfr
Un nombre rationnel est le quotient d’un nombre entier relatif par un nombre entier relatifs non nul Un nombre irrationnel est un nombre qui n’est pas rationnel II Fractions : 1) Somme et différence : a) Règle n°1: si a et b sont deux nombres relatifs quelconques et si k ? 0 alors : a k + b k = a+b k et a k ? b k =
I Les nombres rationnels : óª ß © ªË÷ I Définition : un
Définition : un nombre rationnel est le rapport de deux nombres décimaux Tout nombre décimal est rationnel mais la réciproque n ¶est pas toujours vraie óª © ªË òë ôß ß © ªË÷ à ã 123 17 0 ; 23123 ; 3 7 ; 78 0 Exemples : les nombres suivants sont rationnels : II
I Nombres entiers rationnels et irrationnels Algèbre I - 1
Un nombre irrationnel est un nombre dont la partie décimale est illimitée non périodique I 2 Intervalles fermés et ouverts Certains sous-ensembles des nombres réels sont très souvent utilisés ce sont les intervalles
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CHAPITRE 1 : NOMBRES RATIONNELS 4 4 2 RETROUVER LE RATIONNEL À partir de l’ériture déimale périodique d’un nomre on peut retrouver son écriture sous forme de fraction Exemple Nous appelons N la fraction alors N=2 N= 2 Alors 5 NOMBRES RATIONNELS
Comment écrire un nombre rationnel ?
On peut ainsi écrire les nombres rationnels sous forme de fractions notées où , le numérateur, est un entier relatif et , le dénominateur, est un entier relatif non nul. Un nombre entier est un nombre rationnel : il peut s'exprimer sous la forme .
Quelle est la différence entre un nombre rationnel et un nombre irrationnel ?
Cela est vrai dans n'importe quelle base. Réciproquement, si un nombre possède un développement décimal périodique dans au moins une base, alors c'est un nombre rationnel. Un nombre réel qui n'est pas rationnel est dit irrationnel.
Quels sont les nombres entiers et rationnels ?
NOMBRES ENTIERS ET RATIONNELS I Nature des nombres : 1) Activité : En maternelle, on a appris à compter des objets, et on utilisait les nombres 1 , 2 , 3 ….ces nombres sont les premiers qui sont utilisés « naturellement » , on les nomme les nombres entiers naturels.
Comment évaluer la rationalité d'un nombre ?
Le développement décimal illimité d'un nombre rationnel est périodique et, réciproquement, un nombre à développement décimal périodique est toujours rationnel. Ce critère est néanmoins malcommode pour évaluer la rationalité d'un nombre. Un deuxième critère est donnée par l’utilisation de fractions continues.
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Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.frNOMBRES RÉELS - Chapitre 1/2
Tout le cours sur les ensembles de nombres en vidéo : https://youtu.be/kL-eMNZiARMPartie 1 : Nombres entiers
Vidéo https://youtu.be/HMY31orMLjs
1. Nombres entiers naturels
Définition : Un nombre entier naturel est un nombre entier qui est positif. L'ensemble des nombres entiers naturels est noté ℕ.0;1;2;3;4;...
Exemples :
4 ∈ ℕ (4 appartient à l'ensemble des entiers naturels)
-2 ∉ℕ (-2 n'appartient pas à l'ensemble des entiers naturels)2. Nombres entiers relatifs
Définition : Un nombre entier relatif est un nombre entier qui est positif ou négatif. ...;-3;-2;-1;0;1;2;3;... Partie 2 : Nombres décimaux, nombres rationnels1. Nombres décimaux
Définition : Un nombre décimal est un nombre qui s'écrit avec un nombre fini de chiffres après la virgule. L'ensemble des nombres décimaux est noté ⅅ. Exemples : 0,56 ∈ ⅅ 3 ∈ ⅅ ∉ ⅅ car ≈ 0,3333... ∈ ⅅ car =0,75Remarque :
Un nombre décimal peut toujours s'écrire sous la forme de la fraction d'un entier et d'une puissance de 10.Par exemple :2,36 =
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Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.fr2. Nombres rationnels
Définition : Un nombre rationnel est une fraction (*). (*) Une fraction s'écrit sous la forme d'un quotient avec a un entier et b un entier non nul.Exemples :
Démonstration au programme :
Vidéo https://youtu.be/SHRo1ISyIXI
Démontrons que le nombre rationnel
n'est pas décimal. On va effectuer une démonstration par l'absurde en supposant que est décimal.Si notre démonstration aboutit à une absurdité, cela prouvera que notre hypothèse de départ
est fausse.Supposons donc que
est décimal. Alors il peut s'écrire sous la forme de la fraction d'un entier et d'une puissance de 10. Soit avec entier et entier naturel.Donc 10
=3 et donc 10 est divisible par 3. Un nombre est divisible par 3 lorsque la somme de ses chiffres est divisible par 3. Or, ceci est impossible car la somme des chiffres de 10 est 1, et 1 n'est pas divisible par 3. Donc l'hypothèse posée au départ est fausse et donc n'est pas décimalPartie 3 : Notion de nombres réels
1. Nombres irrationnels
Définition : Un nombre irrationnel est un nombre qui ne peut pas s'écrire à l'aide d'une fraction.Exemples :
2,3 ou encore sont des nombres irrationnels.
Ils ne peuvent pas s'écrire sous la forme d'une fraction.Remarque :
Il n'est pas possible d'écrire un nombre irrationnel sous forme décimale. Les décimales qui le
constituent sont en nombre infini et se suivent sans suite logique.3 sur 5
Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.fr2. Nombres réels
Définition : Un nombre réel est un nombre rationnel ou irrationnel. L'ensemble des nombres réels est noté ℝ.Exemples :
2, -5, 0.67,
3 ou appartiennent à ℝ.
Remarques :
• Un nombre est réel s'il est l'abscisse d'un point d'une droite graduée appelée la droite
numérique. • ℝ est l'ensemble de tous les nombres que nous utilisons en classe de seconde. Démonstration au programme : Irrationalité de 2Vidéo https://youtu.be/oRcTlNh1Sjc
On va effectuer une démonstration par l'absurde en supposant que 2 est rationnel.Si notre démonstration aboutit à une absurdité, cela prouvera que notre hypothèse de départ est
fausse.Supposons donc que
2 est un rationnel.Il s'écrit alors
2 = avec et entiers naturels premiers entre eux, non nul.Ainsi :
= 2 soit =2On en déduit que
est pair, ce qui entraîne que est pair.En effet, si était impair, alors
serait impair (voir Chapitre " Notion de multiple, diviseur et nombre premier »). Puisque est pair, il existe un entier naturel tel que =2.Comme,
=2On a :
2
=2Soit : 4
=2Soit encore
=2On en déduit que
est pair, ce qui entraîne que est pair.Or, et sont premiers entre eux, donc ils ne peuvent être pairs simultanément. On aboutit à une
absurdité. Donc,2 n'est pas un rationnel. Et donc,
2 est un irrationnel.
" Les nombres entiers permettent de compter, les nombres réels permettent de mesurer. »4 sur 5
Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.frPartie 4 : Classification des nombres
La classification des nombres :
Vidéo https://youtu.be/kL-eMNZiARM
On a également les inclusions suivantes :
Méthode : Reconnaître la nature d'un nombre
Vidéo https://youtu.be/pKxTaiqnyHg
Quel est le plus petit ensemble de nombres auquel appartient chacun des nombres suivants ? 1) - 2)3) 1,333 4)
36 5)
6 6)5 sur 5
Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.frCorrection
1) - =-0,25Donc -
∈ ⅅ car le nombre de décimales après la virgule est en nombre fini. 2) ≈0,3333... Donc s'écrit uniquement sous forme d'une fraction et ne peut pas s'écrire sous forme décimale.3) 1,333 ∈ ⅅ car le nombre de décimales après la virgule est en nombre fini.
4) 36=6Donc
36∈ ℕ car 6 est un nombre entier positif.
5)6≈2,4495...
Donc6 ∈ℝ car c'est un nombre irrationnel.
6) -3 B 2 C 12 -3×2 12 -6 12 =-0,5 Donc ∈ ⅅ car le nombre de décimales après la virgule est en nombre fini.Déterminer un arrondi d'un nombre :
Vidéo https://youtu.be/53VOST9yJfg
Méthode : Donner un encadrement d'un nombre réelVidéo https://youtu.be/sJIXJT3fdcU
A l'aide de la calculatrice donner un encadrement à 10 de2 et de
3.Correction
La calculatrice affiche des valeurs approchées :Donner un encadrement à 10
, c'est donner un encadrement d'amplitude 0,001.On a alors les encadrements à 10
: 1,414<2<1,415 et 1,732<
3<1,733.
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