Damien Lamberton Bernard Lapeyre-Introduction au Calcul
INTRODUCTION. AU CALCUL STOCHASTIQUE. APPLIQUÉ À LA FINANCE. Damien Lamberton. Université Paris-Est. Professeur à l'Université Paris-Est.
Introduction au calcul stochastique appliqué à la finance
Il en reste hélas sûrement et nous espérons que les lecteurs de cette nouvelle édition voudront bien nous les signaler. Damien Lamberton et Bernard Lapeyre.
80-646-08 - Calcul stochastique I
15 fév. 2011 Damien Lamberton et Bernard Lapeyre (1997). Introduction au calcul stochastique appliqué à la finance. deuxième édition
Master MATHÉMATIQUES ET APPLICATIONS
Responsable du Master : Damien Lamberton (damien.lamberton@univ-mlv.fr) Lamberton D. Lapeyre B. (1997)
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Introductionaucalculstochastique
appliquéàlafinanceDamienLambertonBernardLapeyre
Avant-Propos
nousaétéinspiréparMarcYOR). lessignaler.DamienLambertonetBernardLapeyre.
Tabledesmatières
Introduction9
1Modèlesdiscrets13
56TABLEDESMATIÈRES
4ModèledeBlacketScholes67
6Modèlesdetauxd'intérêt117
TABLEDESMATIÈRES7
7Modèlesd'actifsavecsauts133
Appendice161
Bibliographie167
Introduction
mine:laloidelaprobabilité. méthodesdecalcul.1Leproblèmedesoptions
d'uneobligation,d'unedeviseetc. cicedel'option. (ST-K)+=max(ST-K;0): etdeuxquestionsseposent: pricing.àuntauxconstantr.
deparitécall-put": C t-Pt=St-Ke-r(T-t): sansrisquesionavait,parexemple: C t-Pt>St-Ke-r(T-t): t,unprofitnetégalà C t-Pt-St:INTRODUCTION11
P t-St)>0. d'arbitrage. lesmarchésoùiln'yapasd'arbitrage.4Plandulivre
:cesquestionsfontl'objetduchapitre5. desmarchés. auxseptpremierschapitresde[Bou86]).5Remerciements
CERMA,enparticulierO.ChateauetG.Caplain.
Chapitre1
Modèlesdiscrets
1Leformalismedesmodèlesdiscrets
1.1Lesactifsfinanciers
;F;P), F desoptions.OnsupposeradanslasuitequeF0=f;;
g,FN=F=P( )et8!2P(f!g)>0.
donnéspardesvariablesaléatoiresS0 n;S1 n;:::;Sd descoursfuturs).LevecteurSn=(S0 n;S1 n;:::;Sd0=1.Siletauxd'intérêt
n=(1+r)n.Le coefficientn=1=S0 appelésactifs"àrisques".1.2Lesstratégies
cret)aléatoire=0 n;1 n;:::;d n lesquantités0 n;1 n;:::;d d'êtreprévisibleausenssuivant:8i2f0;1;:::;dg8
i0estF0-mesurable
et,pourn1: i nestFn-1-mesurable. 0 n;1 n;:::;d n; descotationsàladaten. V n()=n:Sn=dX i=0 i nSi n; oùn=1=S0 net˜Sn=(1;nS1 n;:::;nSd n)estlevecteurdesprixactualisés. f0;1;:::;N-1g: n:Sn=n+1:Sn: coursS0 n,...,Sd particulier,iln'yapasdeconsommation). n+1:(Sn+1-Sn)=n+1:Sn+1-n:Sn; ouencoreà V n+1()-Vn()=n+1:(Sn+1-Sn): sées. i)Lastratégieestautofinancée. ii)Pourtoutn2f1;:::;Ng, V n()=V0()+nX j=1 jSj; oùSjestlevecteurSj-Sj-1. iii)Pourtoutn2f1;:::;Ng,Vn()=V0()+nX
j=1 j˜Sj;Ch.1MODÈLESDISCRETS15
processus1 n;:::;d n dufaitque˜S0 n;:::;d n0nNetpourtoutevariable
V n0nNtelquelastratégie
Vn()=0
n+1 n˜S1 n++d n˜Sd n =V0+nX j=1 1 j˜S1 j++d j˜Sd jCequidétermine0
partirdel'égalité: 0 n=V0+n-1X j=1 1 j˜S1 j++d j˜Sd j+1 n-˜S1 n-1++d n-˜Sd n-11.3Stratégiesadmissiblesetarbitrage
n.Direque0 n<0, quei toutn2f0;1;:::;Ng. delafaçonsuivante: devaleurfinalenonnulle.2Martingalesetarbitrages
principalespropriétésdecetoutil. ;F;P),avecF=P( et8!2 f;; toutn,XnestFn-mesurable. n)0nNdel'actifiestunemartingalerevient fairedeSi n.E(Mn+jjFn)=Mn8j0
n1,HnestFn-1mesurable. par: X0=H0M0
X n=H0M0+H1M1++HnMnpourn1 estunemartingaleparrapportà(Fn)0nN.Ch.1MODÈLESDISCRETS17
E(Xn+1-XnjFn)
=E(Hn+1(Mn+1-Mn)jFn) =Hn+1E(Mn+1-MnjFn)carHn+1estFn-mesurable =0:D'où:
E(Xn+1jFn)=E(XnjFn)=Xn
cequiprouveque(Xn)estunemartingale. suite. E 0 @NX n=1H nMn1 A=0 n=1HnMn,pourtoutesuiteprévisible n=1HnMn=0 donne:E(1A(Mj+1-Mj))=0
etparconséquentE(Mj+1jFj)=Mj.2.2Marchésfinanciersviables
Démonstration:
proposition1.2:Vn()=V0()+nX
j=1 j:˜Sj: P ,P(f!g)>0. amêmeespérancesousPqueV0(): E˜VN()=E˜V0():
admissibleona:V0()=0)˜VN()=2. b1)Atoutprocessusprévisible(1 n;:::;d n),onassocieleprocessusdéfinipar:Gn()=nX
j=1 1 j˜S1 j++d j˜Sd j: quantitésd'actifsrisqués1 n,...,d (0 n)telquelastratégie((0 n;1 n;:::;dGN()=2:
l'entiern=sup kjP˜Gk()<0>0 .Ona: nN-1;P˜Gn()<0>0et8m>n˜Gm()0:Ondéfinitalorsunnouveauprocessus enposant:
j(!)=0sijn 1A(!)j(!)sij>n
mesurableonvoitque estaussiprévisible.D'autrepart:Gj( )=0sijn
1A˜Gj()-˜Gn()sij>n
Alors,onvoitque˜Gj( )0pourtoutj2f0;:::;Ngetque˜GN( )>0surAcequi detouteslesvariables aléatoiresréellesdéfiniessur leconvexecompactK=fX2jP telque:Ch.1MODÈLESDISCRETS19
1.8X2K;X
!(!)X(!)>02.Pourtoutprévisible:X
!(!)˜GN()(!)=0 ,desortequelaprobabilitéP définiepar: P (f!g)=(!) P 02 (!0) estéquivalenteàP. E 0 @NX j=1 j˜Sj1 A=0: n),àvaleursréelles,ona:
E 0 @NX j=1 i j˜Si j1 A=0; n);:::;(˜Sd n)sont desmartingales.3.1Marchéscomplets
h=S1 N-KK:h=K-S1
N P couverture.Démonstration:
h S0N=˜VN()=V0()+NX
j=1 j:˜Sj: E i˜VN()=Ei(V0())=V0(); g.Onadonc: E 1 h S0 N! =E2 hS0 N! U 0+NX n=1 n:˜Sn;(1.1) avecU0F0-mesurableet1 n;:::;d n nn'appartientpasà˜V.˜V ;F).Ch.1MODÈLESDISCRETS21
Posonsalors:
P (f!g)=1+X(!)
2kXk1!
P (f!g) oùkXk1=sup!2àP,etdistinctedeP.Onadeplus
E 0 @NX n=1 n:˜Sn1 A=0 pourtoutprocessusprévisible1 n;:::;d n que(˜Sn)0nNestuneP-martingale. complets direvérifiant: VN()=h:
Lasuite˜Vn
V 0()=E h S0 N etplusgénéralement V n()=S0 nE h S0 NjFn! ;n=0;1;:::;N: richessehàl'instantN. E h S0 N! ;F)etla unitéd'actif1auprixd'exerciceK,Zn=S1 n-K +;danslecasd'unputaméricain,Zn=K-S1 n finaleZN,c'est-à-direS0N-1E˜ZNjFN-1,avec˜ZN=ZN=S0
N.Ilestdoncnatureldeprendre
UN-1=maxZ
N-1;S0
N-1E˜ZN
FN-1: U n-1=max Z n-1;S0 n-1E Un S0 nFn-1!!
S 0 n=(1+r)n et: U n-1=max Z n-1;11+rE(UnjFn-1)!
Soit˜Un=Un
S0Proposition3.6Lasuite˜Un
surmartingalemajorantlasuite˜Zn 0nN. pasnécessairementunemartingalesousP.Démonstration:Delarelation:
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